梯度算子 首先我想谈谈场这个在物理学中非常基本的概念。我们所说的场是指取决于 空间位置的一个量。最可能简单的一种物理场是标量场，所谓标量场，是指每点 仅有一个单独数量一一个标量一所标志的那种场。当然这个数量还可随时间 而变，不过眼下我们还无需为此操心。我们将只谈论在某一特定时刻，场看来是 个什么样子。作为标量场的一个例子，你可以考虑一块固体材料，其中某些地方 受热而另一些地方受冷，使得该物体的温度以一种复杂方式逐点改变。于是温度 将是从某个迪卡尔坐标系上量得的代表空间每一位置的函数。可见温度是一标量 场。另一个常见的例子则是势场。 还有一种场叫做矢量场，意义也十分简单。就是在空间每一点给出一个矢量， 这个矢量逐点变化。作为一个例子，可考虑一个旋转物体。在每点上物体中原子 的速度便是位置函数的矢量。作为第二个例子，考虑在一块材料中的热流。如果 某处的温度高于另一处的，热量就会从较热处流至较冷处。在材料中的不同位置 热量将朝不同的方向流动，这一热流就是一个矢量场。 当然，类似的，你也可以给张量场下个定义。 当场随时间变化时，可通过给出场对时间的微商来加以描述。我们希望也按 同样办法来描述场对空间的变化，因为对于例如或者相邻两点之间的温度或者势 能关系我们是感兴趣的。值得注意的是，对任一标量场，例如·，其可能的微商 有三个：O中/ax1、O中/ax2和0φ/ax3。由于有这三种微商，而我们又知道要 形成一个矢量需要三个数量，也许这三个微商就是一个矢量的分量？！ 当然，一般并非任何三个数量都能构成为一个矢量的。只有当我们旋转坐标 系，各个分量按照正确的方式变换时，这才成立。所以需要分析坐标系旋转时， 这些微商是如何变换的。为此，我们采用一个新坐标系x=人x,在这个坐标 系中，微商变为0'/ax'=O中/ax,这是因为0中'/ax是一个标量。利用链 式法则，有 8o ox,80 (1) Ox dx Ox 第1页，共7页
梯度算子 首先我想谈谈场这个在物理学中非常基本的概念。我们所说的场是指取决于 空间位置的一个量。最可能简单的一种物理场是标量场，所谓标量场，是指每点 仅有一个单独数量——一个标量——所标志的那种场。当然这个数量还可随时间 而变，不过眼下我们还无需为此操心。我们将只谈论在某一特定时刻，场看来是 个什么样子。作为标量场的一个例子，你可以考虑一块固体材料，其中某些地方 受热而另一些地方受冷，使得该物体的温度以一种复杂方式逐点改变。于是温度 将是从某个迪卡尔坐标系上量得的代表空间每一位置的函数。可见温度是一标量 场。另一个常见的例子则是势场。 还有一种场叫做矢量场，意义也十分简单。就是在空间每一点给出一个矢量， 这个矢量逐点变化。作为一个例子，可考虑一个旋转物体。在每点上物体中原子 的速度便是位置函数的矢量。作为第二个例子，考虑在一块材料中的热流。如果 某处的温度高于另一处的，热量就会从较热处流至较冷处。在材料中的不同位置 热量将朝不同的方向流动，这一热流就是一个矢量场。 当然，类似的，你也可以给张量场下个定义。 当场随时间变化时，可通过给出场对时间的微商来加以描述。我们希望也按 同样办法来描述场对空间的变化，因为对于例如或者相邻两点之间的温度或者势 能关系我们是感兴趣的。值得注意的是，对任一标量场，例如φ ，其可能的微商 有三个： 1 ∂ ∂ φ x 、 2 ∂ ∂ φ x 和 3 ∂φ ∂x 。由于有这三种微商，而我们又知道要 形成一个矢量需要三个数量，也许这三个微商就是一个矢量的分量？！ 当然，一般并非任何三个数量都能构成为一个矢量的。只有当我们旋转坐标 系，各个分量按照正确的方式变换时，这才成立。所以需要分析坐标系旋转时， 这些微商是如何变换的。为此，我们采用一个新坐标系 i ij j x ′ = λ x ，在这个坐标 系中，微商变为 i i ∂φ′ ′ ∂ =∂ ∂ x φ x ′ ，这是因为 i ∂φ′ ∂x ′是一个标量。利用链 式法则，有 j i i x j x x x ∂φ ∂ ∂φ = ∂ ′ ′ ∂ ∂ (1) 第 1 页，共 7 页
为了得到ax,/x这个系数， 我们写出坐标变换的反变换 X=九X (2) 并将其两边对x,求导数，得 ax=九，⊙s= (3) Ox; 将它代入式(1)，我们就得到了 aφ x (4) 这个式子说明（中/ax1,0p/ax2,00/ax3）是一个矢量。 上面的论证与我们究竟是在对哪一个标量场进行微分是没有关系的。既然不 管我们对之进行微分的是什么，那些变换公式都相同，那就可以略去中而由一个 算符方程式来代替式(4)： a (5) Ox, 在很多参考书上也将⊙/⊙x,用⊙，来表示，即⊙，三O/x,。这样的记号写起来更 加简单，而且在复杂的场合也不容易出错。而目前，我们则可以利用它将上面的 变换关系可以写得好看一些 d,=1,0, (6) 由于这些微分算符本身就己如同一个矢量的分量那样进行变换，我们便可以 称之为一个矢量算符的分量，通常用符号V来表示这个矢量算符，即可以写成 V≡（⊙1,02,03） (7) 或者 7=,0, (8) 那当然就意味着其分量 V,=0, (9) 顺便提一句，在有关张量的现代处理中，我们正是把O,这样的微分算符看作矢 量基的。 第2页，共7页
为了得到 j i ∂ ∂ x x ′ 这个系数，我们写出坐标变换的反变换 j kj k x = λ x ′ (2) 并将其两边对 i x ′求导数，得 j k kj kj ik ij i i x x x x λ λδ λ ∂ ∂ ′ = == ∂ ∂ ′ ′ (3) 将它代入式(1)，我们就得到了 ij i j x x φ φ λ ∂ ∂ = ∂ ′ ∂ (4) 这个式子说明(∂∂∂∂ ∂∂ φ x1 2 , , φ φ x x3 )是一个矢量。 上面的论证与我们究竟是在对哪一个标量场进行微分是没有关系的。既然不 管我们对之进行微分的是什么，那些变换公式都相同，那就可以略去φ 而由一个 算符方程式来代替式(4)： ij i j x x λ ∂ ∂ = ∂ ′ ∂ (5) 在很多参考书上也将 i ∂ ∂x 用 i ∂ 来表示，即 i i ∂ ≡∂ ∂x 。这样的记号写起来更 加简单，而且在复杂的场合也不容易出错。而目前，我们则可以利用它将上面的 变换关系可以写得好看一些 i ij λ j ∂′ = ∂ (6) 由于这些微分算符本身就已如同一个矢量的分量那样进行变换，我们便可以 称之为一个矢量算符的分量，通常用符号∇ 来表示这个矢量算符，即可以写成 ∇ ≡∂∂ ∂ ( 123 , , ) (7) 或者 ˆi i ∇ = ∂ x (8) 那当然就意味着其分量 ∇i = ∂i (9) 顺便提一句，在有关张量的现代处理中，我们正是把 i ∂ 这样的微分算符看作矢 量基的。 第 2 页，共 7 页
当又作用在标量函数或者矢量场上，就是我们所熟悉的梯度、散度以及旋度： 8rad功=Vb=(0,p)元=斗 divA=V·A=o,A (10) curl=V×A=(e⊙，A)3 值得注意的是，上面的式子中顺序是很重要的，例如又·A是矢量场A的散度， 它是一个标量：而A·又并非一个数值，它仍然是某种算符。另外，这里我还写 出了标量场梯度的另一种表示方法，即V中=©时/衍，在分析力学部分我们会 比较多的采用这个记法，其好处在下面这样一个简单的例子中可见一斑。设「是 粒子位矢下的函数，而下本身又是某个变量q的函数，现在我们要求∫对q的 微商，根据链式法则，有 df of dx (11) dq 6x,dq 而采用这里的写法，我们就可以将上式写为 df_afd折 (12) dg or dq 这在涉及质点组问题时会带来较大的方便。 利用式(10)给出的这些结合，就可以按照一种方便的方式一一种并不依赖 于任一特定坐标系的普遍方式一来写出关于场的空间变化。作为对矢量微分算 符V应用的一个例子，我在这里把Maxwell方程写出来： aB 7.E=p, VxE=_ 8t (13) OE 7.B=0, VXB= +J 8t 迄今为止，我们只有场的一阶变化。当然我们本来也可以考虑二阶微商，这 有以下几种可能的结合式： 7.(),V×(V),(.,V(7×A,V×(7xA (14) 第3页，共7页
当 作用在标量函数或者矢量场上，就是我们所熟悉的梯度、散度以及旋度： ∇ ( ) ( ) grad ˆ div curl ˆ i i i i ijk j k i f x r A AA A A A φφ φ ε x ∂ =∇ = ∂ = ∂ =∇⋅ =∂ =∇× = ∂ K K K K K (10) 值得注意的是，上面的式子中顺序是很重要的，例如∇⋅ A K 是矢量场 A K 的散度， 它是一个标量；而 A⋅∇ K 并非一个数值，它仍然是某种算符。另外，这里我还写 出了标量场梯度的另一种表示方法，即∇φ =∂ ∂ f r K ，在分析力学部分我们会 比较多的采用这个记法，其好处在下面这样一个简单的例子中可见一斑。设 f 是 粒子位矢r 的函数，而 本身又是某个变量 的函数，现在我们要求 K r K q f 对 的 微商，根据链式法则，有 q i i df f dx dq x dq ∂ = ∂ (11) 而采用这里的写法，我们就可以将上式写为 df f dr dq r dq ∂ = ⋅ ∂ K K (12) 这在涉及质点组问题时会带来较大的方便。 利用式(10)给出的这些结合，就可以按照一种方便的方式——一种并不依赖 于任一特定坐标系的普遍方式——来写出关于场的空间变化。作为对矢量微分算 符 应用的一个例子，我在这里把 ∇ Maxwell 方程写出来： , 0, B E E t E B B t ρ J ∂ ∇⋅ = ∇× =− ∂ ∂ ∇⋅ = ∇× = + ∂ K K K K K K K (13) 迄今为止，我们只有场的一阶变化。当然我们本来也可以考虑二阶微商，这 有以下几种可能的结合式： ∇⋅ ∇ ∇× ∇ ∇ ∇⋅ ∇⋅ ∇× ∇× ∇× ( φ φ ), , , , ( ) ( A) ( A A ) ( ) K K K (14) 第 3 页，共 7 页
你可以核实一下，这些是所有的各种可能结合。 在这些项中，你会发现第二和第四项实际上总是等于零的： [V×()]=E0,(O)=￡0,09 =x0,0.+50,p) 2x(6,0:0-00,p)=0 (15) 7.(×A)=a,(7×A,=0,(e0,4)=e0,0,4 =26x(a0,4-a,0,4)=0 第一个式子说明任一标量场的梯度是无旋场，而第二个则是说任一矢量场的旋度 是无散场（或无源场）。 现在我将不加证明地陈述两个物理学中非常有用的数学定理。在一个物理问 题中，我们经常会发现某一个矢量场的旋度为零，而我们注意到，一个梯度的旋 度为零，于是，肯定有可能本来就是某一个标量的梯度，这样它的旋度才必然等 于零。第一个定理是讲： 如果 V×A=0 就有一个 Ψ (16) 使得 A=Vu 当散度为零时，还有一个类似定理： 如果 7.B=0 就有一个 A (17) 使得 B=V×A 在检查由两个算符的可能结合中，我们已经找出了其中有两种结合总是等于 零的。现在看看那些不等于零的。考虑(14)所列的第一结合， 7.(7)=0,(0,)=0,0,= ap,a2p,a中 (18) Ox2Ox22x2 因此在这个式子中我们没必要保留那个括号，所以，在不引起混乱的情况下写成 7.(7)=7.Vφ=(7.7)中=7p (19) 第4页，共7页
你可以核实一下，这些是所有的各种可能结合。 在这些项中，你会发现第二和第四项实际上总是等于零的： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 2 1 0 2 ijk j k ijk j k i ijk j k ikj k j ijk j k k j i i ijk j k ijk i j k i ijk i j k i j k A A A A A φ ε φε φ ε φε φ ε φφ ε ε ε ⎡ ⎤ ∇× ∇ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎣ ⎦ = ∂∂ + ∂∂ = ∂ ∂ −∂ ∂ ≡ ∇⋅ ∇× =∂ ∇× =∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂∂ −∂∂ ≡ K K A (15) 第一个式子说明任一标量场的梯度是无旋场，而第二个则是说任一矢量场的旋度 是无散场（或无源场）。 现在我将不加证明地陈述两个物理学中非常有用的数学定理。在一个物理问 题中，我们经常会发现某一个矢量场的旋度为零，而我们注意到，一个梯度的旋 度为零，于是，肯定有可能本来就是某一个标量的梯度，这样它的旋度才必然等 于零。第一个定理是讲： 0 A A ψ ψ ∇× = = ∇ K K 如果 就有一个 使得 (16) 当散度为零时，还有一个类似定理： 0 B A B A ∇ ⋅ = = ∇ × K K K K 如果 就有一个 使得 (17) 在检查由两个算符的可能结合中，我们已经找出了其中有两种结合总是等于 零的。现在看看那些不等于零的。考虑(14)所列的第一结合， () () 2 2 2 2 1 2 i i ii 2 2 3 x x x φ φ φ φ φφ ∂ ∂ ∂ ∇⋅ ∇ =∂ ∂ =∂∂ = + + ∂ ∂ ∂ (18) 因此在这个式子中我们没必要保留那个括号，所以，在不引起混乱的情况下写成 ( ) ( ) 2 ∇⋅ ∇ =∇⋅∇ = ∇⋅∇ =∇ φ φ φ φ (19) 第 4 页，共 7 页
这里我们把又看成一个新的算符，这是一个标量算符。由于经常出现在物理学 中，因而它被赋予一个名称，即Laplace算符： V2=0,0,= 22 ∂2 ax2x20x (20) 由于Laplace算符是一个标量算符，就可以用它来对一个矢量进行运算一这意 味着对在直角坐标系的每一个分量进行同一种运算： 2A=(24) (21)》 另一结合由于 [7×(×A]=c0,(×A4=c0,(enmk0nA,) -EukEmk8 Om An =(6n6m-dnδm)o,0mA, (22) =0,0,A-0,0,A =0,(.-v24 因而 7×(×A=(.A-VA (23) 而这里出现的V(7·A也就是我们仅剩的还未考虑的一个组合，不过是偶尔会 出现的一种矢量场罢了，对它没什么特别需要注意的。 把上面的结论放在一起： V.(Vo)=o=scalar field V×(7p)=0 V(V.)=vector field (24) 7.(7×A=0 Vx(Vx)=V(V.-V24=vector field (V.V)=V24=vector field 第5页，共7页
这里我们把 看成一个新的算符，这是一个标量算符。由于经常出现在物理学 中，因而它被赋予一个名称，即 Laplace 算符： 2 ∇ 2 2 2 2 2 1 2 i i 2 2 3 x x x ∂ ∂ ∂ ∇ =∂∂ = + + ∂ ∂ ∂ (20) 由于 Laplace 算符是一个标量算符，就可以用它来对一个矢量进行运算——这意 味着对在直角坐标系的每一个分量进行同一种运算： ( ) 2 2 ˆ ∇ =∇ A A x i i K (21) 另一结合由于 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ijk j ijk j mnk m n i k ijk mnk j m n im jn in jm j m n ji j j ji i i A A A A A A A A A ε εε ε ε δ δ δδ ⎡ ⎤ ∇× ∇× = ∂ ∇× = ∂ ∂ ⎣ ⎦ = ∂∂ = − ∂∂ =∂ ∂ −∂ ∂ =∂ ∇⋅ −∇ K K K (22) 因而 ( ) ( ) 2 ∇× ∇× =∇ ∇⋅ −∇ A A A K K K (23) 而这里出现的∇ ∇⋅ ( A) K 也就是我们仅剩的还未考虑的一个组合，不过是偶尔会 出现的一种矢量场罢了，对它没什么特别需要注意的。 把上面的结论放在一起： (24) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 scalar field 0 vector field 0 vector field vector field A A A AA A A φ φ φ ∇⋅ ∇ =∇ = ∇× ∇ = ∇ ∇⋅ = ∇⋅ ∇× = ∇× ∇× =∇ ∇⋅ −∇ = ∇⋅∇ =∇ = K K K KK K K 第 5 页，共 7 页
附录：不同坐标系中的梯度算子 设某一给定正交坐标系的三个单位矢量为以，而线元的平方可以表示为 ds2=8,d,那么体积元（其中8=818283） dy =gdu dudu; (A1) 梯度算子的作用则分别为 ofi 1 V.A=1 a Vf= g:ou Vg ou (A2) ggAin ×A=8脉g日 a j V√gau,8,ou, 例如，对于柱坐标系有 ds"2 dr2 +r2d02 d22 (A3) 即 gm=8=1,80=r2,V8=r (A4) 因此，体积元为 dv =gdrdod=rdrdedz (A5) 而 Vf= ar r00 0z r2a020z2 v.=14)+ a4+a4 r Or r00 dz xa=60}-是0}p+) (A6) 第6页，共7页
附录：不同坐标系中的梯度算子 设某一给定正交坐标系的三个单位矢量为 ，而线元的平方可以表示为 ，那么体积元（其中 ˆi u 2 i i ds g du = 2 123 g gg g = ） 1 2 dV 3 = gdu du du (A1) 梯度算子的作用则分别为 2 1 1 ˆ , 1 ˆ , i i i i i i k k ijk i i j i ii f g f u A g g u u g g A g A g f A uf g u g ugu ε ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∇ = ∇⋅ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∇× = ∇ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ K K (A2) 例如，对于柱坐标系有 2 2 22 ds dr r d dz2 = + + θ (A3) 即 2 1, , rr zz g g g r g r == = = θθ (A4) 因此，体积元为 dV = = gdrd dz rdrd dz θ θ (A5) 而 ( ) ( ) 2 2 2 22 2 1 ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ z r z r z f ff fr z rr z f ff f r rr r r z A A A rA rr r z A AA A Ar A r r r z z r rr θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ∂ ∂∂ ∇= + + ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∇= + + ⎜ ⎟ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∇⋅ = + + ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞⎛ ∂ ∇× = − + − + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ K K A z ∂ ⎞ ⎟ ⎠ (A6) 第 6 页，共 7 页
而对于球坐标系，则有 ds2 dr2 +r2de2 +r2sin2Odo2 (A7) 即 gm=1,8oo=r2,goe=r2sin20,g=r2sin ）(A8) 因此，体积元为 dv =gdrdodo r"sin Odrdedo (A9) 而 Vf= e+106+1 of o ar ra0 rsinθao vr-ionot 1 1 8"f r2 oror r2sinea0 sina)） 00)r2 sin2000 1 OAo rsin0 00 (sin4)+ rsine do vxa=am0)0片 rsine a0 tgm小b-)0 (A10) 第7页，共7页
而对于球坐标系，则有 2 2 22 2 2 ds dr r d r d sin 2 =+ + θ θ ϕ (A7) 即 2 2 2 2 1, , sin , sin rr g g r g r gr == = = θθ ϕϕ θ θ (A8) 因此，体积元为 2 dV gdrd d r drd d = = θ ϕ θθ sin ϕ (A9) 而 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ sin 11 1 sin sin sin 11 1 sin sin sin 1 sin ˆ sin 1 ˆ sin sin r r ff f f r rr r 2 f f f f r rr r r r A A rA A rr r r A A Ar r A rA r r ϕ θ θ ϕ ϕ θ ϕ θ θϕ θ θ θθ θ θ θ θ θ ϕ θ θθ ϕ θ θ ϕ ∂∂ ∂ ∇= + + ∂∂ ∂ ϕ ∂ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∇= + ⎜⎟ ⎜ ⎟ + ∂∂ ∂ ∂ ∂ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∇⋅ = + + ∂∂ ∂ ⎡ ∂⎤ ∂ ∇× = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ⎡ ⎤ ∂ ∂ + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∂ ∂ K K ∂ ( ) 1 ˆ Ar rA r r θ θ ϕ θ ⎡ ∂∂ ⎤ + − ⎢ ⎥ ⎣∂ ∂ ⎦ (A10) 第 7 页，共 7 页