第八章群论 在研究代数系统时，可以将结合律看成是代数系统 的基本性质，并且将具有相同性质的代数集中研 究，从而形成了很多特定的代数系统，如半群 群，环，域，格，布尔代数等等。 而群是最早被研究的代数系统，半群的概念则是群 的理论发展之后才引进的。 173
1/73 第八章 群论 在研究代数系统时，可以将结合律看成是代数系统 的基本性质，并且将具有相同性质的代数集中研 究，从而形成了很多特定的代数系统，如半群， 群，环，域，格，布尔代数等等。 而群是最早被研究的代数系统，半群的概念则是群 的理论发展之后才引进的
8.1半群 ·1.概念 定义8.1：设是代数系统，*是二元运算，如 ● 果*运算满定结合律，则称它为半解(Semi groups) 例：,,，是半群不是 半设【6】aRa0,则8，是 半群（矩阵乘法） a 证：对任意的 ∴.封闭，又矩阵乘法满足结合律，∴是半群。 (2)不是半群， 68〕08-8)不封闭 2/73
2/73 8.1 半群 • 1.概念 • 定义8.1：设是代数系统，*是二元运算，如 果*运算满足结合律，则称它为半群(Semigroups) 例： • 例8-1：(1)设 ，则是 半群(*矩阵乘法) N,+ ， Z, ， P(S), ， S S , 是半群 Z,− 不是 = | , , 0 0 0 a b R a a b S 不是半群， ，不封闭 封闭，又 矩阵乘法满足结合律， 是半群。 且 ， 证：对任意的 ，有 S a b a b b b S S S a a a b a a a a a b a b a b S a b S a b + = − + + = 0 0 0 0 0 0 0 (2) , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
8.1半群 •2.半群的幂运算 设x为半群中的元素，x的n次幂定义如下： (1):x2=x(2)xm+1=x"*xn∈Z+ 由于半群满足结合律，所以可用归纳法证明 x"*x”=xm+”(x")”=xmm,如果x2=X,则称x是 的幂等元。 ● 定理8.1：若是半群，S是有限集合，则称S 中必含有幂等元。 3/73
3/73 8.1 半群 • 2.半群的幂运算 设x为半群中的元素，x的n次幂定义如下： 由于半群满足结合律，所以可用归纳法证明 ，如果 ，则称x是 的幂等元。 • 定理8.1：若是半群，S是有限集合，则称S 中必含有幂等元。 + + x = x x = x x nZ 1 n 1 n (1): (2) m n m n m n mn x x = x x = x + ( ) x = x 2
8.1半群 证明：因为是半群，则Va∈S,有a,a3,∈S 而S是有限集合，所以必有j>i,使得a=a'。 令p=j-i,则有a=a=aP*a, 所以：a9=aP*a9(g≥) 因为p≥1，所以存在k≥1，使得kp≥i,则 ap=aP*ap=aP*(aP*ap）=a2p*ap=…=a0*a0 即在S中存在元素b=α仰，使得b*b=b 4/73
4/73 8.1 半群 S b a b b b a a a a a a a a a a p k k p i a a a q i p j i a a a a S j i a a S a S a a S kp kp p kp p p kp p kp kp kp q p q i j p i i j = = = = = = = = = − = = = 即在 中存在元素 ，使得 因为 ，所以存在 ，使得 ，则 所以： 令 ，则有 而 是有限集合，所以必有 ，使得 。 证明：因为 是半群，则 ，有 2 2 3 ( ) 1 1 ( ) , ,* ,
8.1半群 •3.特殊半群 ·定义8.2：如果半群中二元运算*是可交换的 则称是可交换半群；如：, P(S),①>可交换半群，不是。 定义8.3：含有关于*运算么元的半群 例：？，+，0>，《Z,X,1>,是独异点 ,不是。 >对于独异点，一般规定，a°=e(a∈S) 5/73
5/73 8.1 半群 • 3.特殊半群 •定义8.2：如果半群中二元运算*是可交换的 ，则称是可交换半群；如：， ，可交换半群， 不是。 •定义8.3：含有关于*运算幺元的半群，称它 为独异点(monoid)，或含幺半群，常记作 例： ，，是独异点 ， 不是。 ➢对于独异点，一般规定， , S S , , A , E , S S I Z ( ) 0 a = e aS
8.1半群 定义8.4：（1)设为一半群，若TS,*在T 中封闭，则称为子半群；(2)设为一 独异点，若TsS,*在T中封闭，且幺元e∈T, 则称为子独异点。 6/73
6/73 8.1 半群 •定义8.4：(1)设为一半群，若 ， *在T 中封闭，则称为子半群；(2)设为一 独异点，若 ， *在T中封闭，且幺元 ， 则称为子独异点。 T S T S eT
8.1半群 •4.性质 定理8.2：一个有限独异点，的运算表中 不会有任何两行或两列元素相同。 证明：Va,b∈S,且a≠b时，有： e*a=a≠b=e*b和a*e=a≠b=b*e .命题成立 但这个性质对有限半群不一定成立。 ·例8-2：(1)S={a,b,c},*运算的定义如表，判 断的代数结构； a D (2)判断的代数结构。 a a b C b a b c a b C 773
7/73 8.1 半群 • 4.性质 •定理8.2：一个有限独异点，的运算表中 不会有任何两行或两列元素相同。 •例8-2：(1)S={a，b，c}， *运算的定义如表，判 断的代数结构； (2)判断 的代数结构。 但这个性质对有限半群不一定成立。 命题成立 和 证明： ，且 时，有： = = = = e a a b e b a e a b b e a,b S a b Z4 ,+4 * a b c a a b c b a b c c a b c
8.1半群 解：(I),i):封闭性：xy∈S,x*y∈S；ii):可结合： Vx,y,z∈S,有X*(y*z)=x*z=2,(x*y)*z=y*2=z ∴.是半群，α，b,c均有左么元，该表中任何两行元素相同 ∴.不是独异点 十4 [0] [ [2] [3 (2),i):封闭性：（画表）， [O] [0] [1] [2] [3] [1 [1] [2] [3] [0] i):可结合性：有的定义可知， [2] [2] [3] [0] [1] iii):么元：[0]， [3] [3] [0] [1] [2] 表中没有人员两行或两列元素完全相同。 8/73
8/73 8.1 半群 不是独异点 是半群， 均有左幺元，该表中任何两行元素相同 ，有 解： ：封闭性： ； ：可结合： = = = = ,* ,* , , , , ( ) ,( ) (1), ) , , ii) S S a b c x y z S x y z x z z x y z y z z i x y S x y S (2),i)：封闭性：(画表)， ii)：可结合性：有的定义可知， iii)：幺元：[0], 表中没有人员两行或两列元素完全相同。 [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2] +4
8.1半群 定理8.3：设,是半群，f为S到T的同 态，这时称f为半群同态，对半群同态，有(1)： 同态像为一半群；(2)：当为独异 点时，则为一独异点。 证：由7.10,7.11可得。 9/73
9/73 8.1 半群 •定理8.3：设，是半群，f为S到T的同 态，这时称f为半群同态，对半群同态，有(1)： 同态像为一半群；(2)：当为独异 点时，则为一独异点。 证：由7.10，7.11可得
8.2群的定义与性质 ·1.概念 独异点中含有幺元，可以考虑其中每个元素是否有 逆元，由此引出一个特殊的独异点，即群的概念 定义8.5：如果代数系统满足：(1)为 一半群；(2）为群 (Groups)。 >群：每个元素都可逆的独异点，常用G表示；封闭 可结合，含么元，元素可逆。 例：,,(A≠D)为群： ,,(A≠0)不是。 10/73
10/73 8.2 群的定义与性质 • 1.概念 独异点中含有幺元，可以考虑其中每个元素是否有 逆元，由此引出一个特殊的独异点，即群的概念 • 定义8.5：如果代数系统满足：(1) 为 一半群；(2) 中有幺元；(3) 中每个 元素 均有逆元 ；则称代数系统为群 (Groups)。 ➢群：每个元素都可逆的独异点，常用G表示；封闭 ，可结合，含幺元，元素可逆。 例： xG −1 x ， ， 不是。 ， ， 为群； , , , ( ), ( ) , , , ( ), ( ) + + Z Q P A A Z Q P A A