张量的定义 1=30 如果某个量在任一坐标系中由{3=3个分量描述，并且在坐标变换 9=32 中=中 x=乙x,下，其中=δk,其分量如下变换： 4=A，则称 T=hAnT 标量 矢量 其为 2阶张量 类似地可定义更高阶的张量。标量又称为0阶张量，而矢量则又被称为1阶 张量。矢量的分量变换规律与点的坐标的变换规律是相同的，我们可以将其用矩 阵表示为 A A A=1A, 4= 7= A (1) A A 对于矢量除了用这里的列矩阵表示外，我们也经常用来 A=A名+A,元2+A,=A元，。类似的，2阶张量的分量变换规律也可以用 矩阵表示为紧凑的形式： T=ATA (2) 也就是说，2阶张量在不同坐标系中的分量矩阵相差一个相似变换。对于更高阶 的张量，通常我们都是用分量来表示的。 标量常见的例子如：质量、温度、圆周率、一个盒子中粉笔的数目，等等。 最简单的矢量例子是粒子的位矢。下面举一个二阶张量的例子。 考虑一个线性映射T,它把任一矢量A按照一定规则映射为另外一个矢量 第1页，共4页
张量的定义 如果某个量在任一坐标系中由 0 1 2 1 3 3 3 9 3 ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ = ⎩ 个分量描述，并且在坐标变换 i ij j x ′ = λ x 下，其中λij kj ik λ δ = ，其分量如下变换： i ij j ，则称 ij ik jl kl A A T T φ φ λ λ λ ⎧ ′ = ⎪ ⎨ ′ = ⎪ ′ = ⎩ 其为 标量 矢量 2 阶张量 类似地可定义更高阶的张量。标量又称为 0 阶张量，而矢量则又被称为 1 阶 张量。矢量的分量变换规律与点的坐标的变换规律是相同的，我们可以将其用矩 阵表示为 1 1 2 3 3 , , 2 A A A AAA A A A A λ ⎛⎞ ⎛⎞′ ⎜⎟ ⎜⎟ ′ == = ⎜⎟ ⎜ ⎜⎟ ⎜⎟ ′ ′ ⎟ ′ ⎝⎠ ⎝⎠ K KK K (1) 对于矢量除了用这里的列矩阵表示外，我们也经常用来 11 2 2 33 ˆˆˆ i i A =+ + = Ax A x Ax Axˆ K 。类似的，2 阶张量的分量变换规律也可以用 矩阵表示为紧凑的形式： T T T ′ = λ λ (2) 也就是说，2 阶张量在不同坐标系中的分量矩阵相差一个相似变换。对于更高阶 的张量，通常我们都是用分量来表示的。 标量常见的例子如：质量、温度、圆周率、一个盒子中粉笔的数目，等等。 最简单的矢量例子是粒子的位矢。下面举一个二阶张量的例子。 考虑一个线性映射T ，它把任一矢量 A K 按照一定规则映射为另外一个矢量 第 1 页，共 4 页
B,通常记为 T:A→B=T(A (3) 这里线性是指T(A+B)=T(A+T(B),T(a4=aT(A. 设在某一个 坐标系中，A用分量表示为A文，由于映射是线性的，有 B-T(A=T(4,,)=A,T() (4) 由于T(:,)是某一个矢量，不妨设它在此坐标系中的第i个分量为T,即 T()=T,因此 B=B =(T4) (5) 或者 B=TA (B=TA) (6) 我们有理由把T,称为线性映射T在相应坐标系中的分量，因为它完全确定了T 对任何一个矢量的作用。下面我将证明T确实是一个二阶张量，也就是说，其分 量满足相应的变换规律。假设有一个新的坐标系，它与原来坐标系由某个正交矩 阵九相联系x=乙x,在此坐标系中，矢量B的分量矩阵为 B'=AB=ATA=(ATAT)(1A)=TA (7) 也就是说，在新的坐标系中映射T的分量矩阵为 T=ATAT (8) 因此，所有从矢量到矢量的线性映射都是一个2阶张量。 最简单的线性映射是恒等映射I:A→I(A=A,显然在任一坐标系中 其分量矩阵都是单位矩阵I,=δ，：主动意义下的转动也是这样一个线性映射， 因此它也是一个二阶张量；后面我们还会看到，惯量张量将角速度映射为角动量， 它也是一个2阶张量，而电磁学中的极化张量则将电场映射为极化强度。再比如 矢量在空间某个方向n上的投影T:A→(i:A)。其分量为 第2页，共4页
B K ，通常记为 TA B TA : = ( ) K K K 6 (3) 这里线性是指T A B T A T B T aA aT A ( += + = ) ( ) ( ), ( ) ( ) KK K K K K 。设在某一个 坐标系中， A K 用分量表示为 ˆ Aj j x ，由于映射是线性的，有 B == = T A T A x AT x ( ) ( j ˆj j ) ( ˆj) K K (4) 由于T x( ˆj) 是某一个矢量，不妨设它在此坐标系中的第 i 个分量为Tij ，即 ( ) ˆ ˆ T x Tx j = ij i ，因此 B = = Bx T A x i i ij j i ˆ ( ) ˆ K (5) 或者 Bi ij j = T A B TA , ( = ) K K (6) 我们有理由把 称为线性映射T 在相应坐标系中的分量，因为它完全确定了T 对任何一个矢量的作用。下面我将证明T 确实是一个二阶张量，也就是说，其分 量满足相应的变换规律。假设有一个新的坐标系，它与原来坐标系由某个正交矩 阵 Tij λ 相联系 i ij j x ′ = λ x ，在此坐标系中，矢量 B K 的分量矩阵为 ( )( ) T B′ ′ == = = λ λ λλ λ B TA T A T A′ K K K K K (7) 也就是说，在新的坐标系中映射T 的分量矩阵为 T T T ′ = λ λ (8) 因此，所有从矢量到矢量的线性映射都是一个 2 阶张量。 最简单的线性映射是恒等映射 I : A IA → = ( ) A K K K ，显然在任一坐标系中 其分量矩阵都是单位矩阵 ij ij I = δ ；主动意义下的转动也是这样一个线性映射， 因此它也是一个二阶张量；后面我们还会看到，惯量张量将角速度映射为角动量， 它也是一个 2 阶张量，而电磁学中的极化张量则将电场映射为极化强度。再比如 矢量在空间某个方向 上的投影 nˆ T A nnA : ˆ ˆ ( ⋅ ) K K 6 。其分量为 第 2 页，共 4 页
Ti=nn (9) 如果在某个坐标系中n=(cos0sin0),那么 cos2 0 sin 0 cos0 (10) sin0cosθ cos2 0 在这里我们看到，T,=T,而且你不难证明，如果一个张量的分量在某一 坐标系中关于两个指标交换是不变的，那么这个性质在所有坐标系中也都是成立 的，我们将这样的张量称为对称张量。类似的，如果T,=一T,那么称张量是 反对称的。一个有意思的结论是：反对称张量的独立分量个数则只有3个，恰好 等于矢量分量的数目。实际上，这三个分量是可以构成一个矢量的，也就是说， 它们与矢量的三个分量的变换规律（几乎）一样。为了看出这一点，我们引入一 个很有用的记号：排列符号￡，其定义如下 +1 (ijk)is an even permutation of(123) (ijk)is an odd permutation of (123) δk2 δk3 0 otherwise (11) 它关于任意两个指标的交换都是反对称的 ￡k=-8k=-8=一8内 (12) 由排列符号的定义可知 8123=8231=6312=+l 6132=8213=6321=-1 6122=E222=8212=0,etc. 排列符号是一个很重要的性质，由定义可知 6 +1 (ijk)is an even permutation of (Imn) E张Em=δ δm 8m (ijk)is an odd permutation of(Imn) δu n Su 0 otherwise (13) 第3页，共4页
T nn ij i j = (9) 如果在某个坐标系中nˆ = ( ) cos sin θ θ ，那么 2 2 cos sin cos sin cos cos T θ θ θ θ θ θ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠⎟ T (10) 在这里我们看到， ，而且你不难证明，如果一个张量的分量在某一 坐标系中关于两个指标交换是不变的，那么这个性质在所有坐标系中也都是成立 的，我们将这样的张量称为对称张量。类似的，如果 T T ij ji = Tij ji = − ，那么称张量是 反对称的。一个有意思的结论是：反对称张量的独立分量个数则只有 3 个，恰好 等于矢量分量的数目。实际上，这三个分量是可以构成一个矢量的，也就是说， 它们与矢量的三个分量的变换规律（几乎）一样。为了看出这一点，我们引入一 个很有用的记号：排列符号 ijk ε ，其定义如下 ( ) ( ( ) ( 123 123 123 1 is an even permutation of 123 1 is an odd permutation of 123 0 otherwise ii i ijk j j j kk k ijk ijk δδδ ε δδδ δδδ +⎧ ⎪ = = ⎨− ⎪ ⎩ ) ) (11) 它关于任意两个指标的交换都是反对称的 ijk jik kji ikj ε =− =− =− ε ε ε (12) 由排列符号的定义可知 123 231 312 132 213 321 122 222 212 1 1 0, etc. ε ε ε εεε εεε = = =+ = = =− === 排列符号是一个很重要的性质，由定义可知 ( ) ( ) ( ) ( 1 is an even permutation of 1 is an odd permutation of 0 otherwise il im in ijk lmn jl jm jn kl km kn ijk lmn ijk lmn δδ δ εε δ δ δ δδ δ +⎧ ⎪ = = ⎨− ⎪ ⎩ ) (13) 第 3 页，共 4 页
由此可得到排列符号的一些常用性质 m EykEimk δm =8u8im-8mn EEk=δ，δi-δ，01=3δ-δ=2ld (14) EkEk=21δn=3! 此外，排列符号的另一些性质涉及行列式的计算，其中最常见的是下面两个 关系式： Euk AnA24k3=EkA A Ask det a (15) Euk A Aim Amn Eimn det A 这里A是某个3×3矩阵。 现在假设T是一个反对称张量，即T,=一Ti,那么C,=ETk在新的坐 标系中的分量就是 C=EuTik=Eykm/nTmm (16) =(det a)T=(det 1)C 我们看到，与通常的矢量定义相比，这里多出了一个因子dt入，其含义是：对 于转动变换，C,与矢量分量的变换规律相同，而对于空间反演，则多出了一个 符号。我们将这样的矢量称为赝矢量，或物理上更经常地将其称为轴矢量，而有 时也将像位矢这样真正的矢量称为极矢量。 第4页，共4页
由此可得到排列符号的一些常用性质 3 2! 3! il im ijk lmk il jm im jl jl jm ijk ljk il jj ij jl il il il ijk ijk ii δ δ ε ε δδ δ δ δ δ ε ε δδ δδ δ δ δ 2! εε δ = =− = − = −= = = (14) 此外，排列符号的另一些性质涉及行列式的计算，其中最常见的是下面两个 关系式： 1 2 3 12 3 det det ijk i j k ijk i j k ijk il jm kn lmn AA A AA A AA A A ε ε λ ε ε = = = (15) 这里 A是某个3×3矩阵。 现在假设T 是一个反对称张量，即T T ij ji = − ，那么Ci ijk jk = ε T 在新的坐 标系中的分量就是 () () det det i ijk jk ijk jm kn mn il lmn mn il l CT T T C ε ελλ λ λε λ λ ′ ′ = = = = (16) 我们看到，与通常的矢量定义相比，这里多出了一个因子detλ ，其含义是：对 于转动变换， 与矢量分量的变换规律相同，而对于空间反演，则多出了一个 符号。我们将这样的矢量称为赝矢量，或物理上更经常地将其称为轴矢量，而有 时也将像位矢这样真正的矢量称为极矢量。 Ci 第 4 页，共 4 页