3.2微分 第二章！ 单变量函数的微分学 §3.2 微分 §3.1 微分的定义 §3.2 微分的运算与形式不变性 2
2 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 §3.2 微分 §3.1 微分的定义 §3.2 微分的运算与形式不变性
3.2微分 第二章 单变量函数的微分学 定义：设y=f(x)在给定一点x的附近有定义.如果存在A=A(x) 使得 f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x),(△x→0) 则称f在x可微，线性部分A·△x称为函数y=∫(x)在x处的微分 记为dy=A△x,或df(x)=A·△x. 函数f(x)在x可微，表明在x处，函数的增量△y=f(x+△x)-f(x) 与微分A△x只差一个关于自变量增量△x的高阶无穷小量. 3
3 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 定义：设 在给定一点 的附近有定义. 如果存在 使得 则称 在 可微，线性部分 称为函数 在 处的微分， 记为 或 函数 在 可微，表明在 处, 函数的增量 与微分 只差一个关于自变量增量 的高阶无穷小量
3.2微分 第二章 单变量函数的微分学 由定义，f在x可微 →3A,s.t.f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x),(△x→0) →3A,s.tlim fx+△x)-f)=4 △x→0 △x 今f在x可导，且A=∫'(x) 定理：函数y=(x)在x可微的充分必要条件是f(x)在x可导 f可微时dy=f'(x)△.由此，dx=(x)'△x=△x.故微分也常写为 dy=f'(x)dxoo微分公式 f'(x)= dy df(x).… 导数也称微商，“两个微分的商” dx dx 4
4 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 定理：函数 在 可微的充分必要条件是 在 可导. 可微时， 由定义， 在 可微 在 可导，且 由此， 故微分也常写为 微分公式 导数也称微商，“两个微分的商
3.2微分 第二章 单变量函数的微分学 微分的几何意义 △y=f(x+△x)-f(x) y=f(x) =f'(x)△x+o(△x),(△x→0) dy=f'(x)△x. >x X x+△x 在点X附近，用过(x,f(x)的切线近似函数描述的曲线，这就是 微积分中“以直代曲”的基本思路 5
5 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 在点 附近，用过 的切线近似函数描述的曲线，这就是 微分的几何意义 x y O P Q y f x ( ) x x x y dy 微积分中“以直代曲”的基本思路. x
3.2微分 第二章 单变量函数的微分学 微分在近似计算中的应用 若函数y=∫(x)在x=x,处可微，则 f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x),(△x→0) 则对于充分小的△x,有近似公式 f(x,+△x)≈f(x)+f'(x)△x 当f(x,),∫'(x)都容易计算时，可利用此式作函数值的近似计算. 例如，在0附近： (1+x)0≈1+ax. S1nx≈x, tanx≈x,e*≈l+x,ln(1+x)≈x. 6
6 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 微分在近似计算中的应用 则对于充分小的 ，有近似公式 0 0 0 f x x f x f x x ( ) ( ) ( ) . 若函数 y f x ( ) 在 x x 0 处可微，则 x 当 都容易计算时，可利用此式作函数值的近似计算. (1 ) 1 . x x sin , tan , 1 , ln(1 ) . x x x x x e x x x 例如，在0附近： 0 0 f x( ), ( ) f x
3.2微分 第二章 单变量函数的微分学 1.求V245的近似值. 解25=25-2-+元》5） ≈3.0048 2.求sin(30°30)的近似值. 解：sm600)-smr+60ng π 360 6 ≈0.5076. 7
7 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 5 245 1. 245 求 的近似值. 解： 3.0048. 1/5 (243 2) 1/5 2 3 1 243 1 2 3 1 5 243 2. sin(30 30') 求 o 的近似值. 解： sin(30 30') o sin( 6 3 0 ) 6 sin cos 6 360 6 0.5076
3.2微分 第二章！ 单变量函数的微分学 微分的计算公式与去贝则 由微分公式dy=f'(x)dx以及基本初等函数的求导，可以对应地 给出基本初等函数地微分公式： d(c)=0(c为常数) dsinx cos xdx: dcosx=-sin xdx dtanx sec2 x dx; dx, 1 d arcsin x d arctan x 1+x2 dx, V1-x2 da*a*In adx dlogx= dx, xlna de*e*dx dx“=Hx“-dx 8
8 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 由微分公式 以及基本初等函数的求导， 可以对应地 给出基本初等函数地微分公式: dy f x x ( )d 微分的计算公式与法则 d (c)=0 d cos sin d x x x 2 d tan sec d ; x x x (C为常数) dsin cos d ; x x x d ln d x x a a a x 1 d log d ; ln a x x x a 2 1 d arcsin d ; 1 x x x 2 1 d arctan d ; 1 x x x 1 d d x x x d d x x e e x
3.2微分 第二章 单变量函数的微分学 由于微分和导数的对应关系，可得到下列性质结论. 设函数H和v在x处可微则函数c,u士Y,y,(V≠0) 在X处可微，且有 1.d(cu)=cdu, 其中C为常数 2.d(u±v)=du±dy 3.d(uv)=vdu +udv 49*0 9
9 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 由于微分和导数的对应关系，可得到下列性质结论. 设函数 和 在 处可微, 则函数 在 处可微, 且有 其中C为常数
3.2微分 第二章 单变量函数的微分学 定理：设y=p(x)定义在区间I上，z=f(y)定义在一个包含 p)的区间J上.如果y=p(x)在x处可微，z=f(y)在p(x) 处可微，则复合函数z=∫((x)在x处也可微并有 dz f"(y)dy f'(o(x))p(x)dx 定理说明，求z的微分的时候，无论是将z看做是x的函数，还 是看成是中间变元y的函数来进行计算，最后的结果都是一样的. 此称之为一阶微分的形式不变性 例：求y=e sinbx的微分. 10
10 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 定理：设 定义在区间 上， 定义在一个包含 的区间 上. 如果 在 处可微， 在 处可微, 则复合函数 在 处也可微, 并有 定理说明，求 的微分的时候， 无论是将 看做是 的函数，还 此称之为一阶微分的形式不变性. 是看成是中间变元 的函数来进行计算，最后的结果都是一样的. 例：求 的微分
3.2微分 第二章 单变量函数的微分学 例：设0<q<1,函数y=y(x)满足y-x-gsiny=0.求 函数y=y(x)的导数 例：参数方程表示的函数 y=w0fe[a,P月的导数 x=p(t) y'= dy d(v(t)) '(t)dt_'(t) dx d(()) o'(t)dt p'(t) d(dy/dx)_d(w'(t)/o'(t)_(y'(t)/p'(t)' dx d(o(t)） (p(t)” 11
11 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 例：设 函数 满足 求 函数 的导数. 例：参数方程表示的函数 的导数
