中国科学技术大学2021年秋季学期 (数学分析(B1)期中考试试卷，2021年11月20日) 考试形式：闭卷、考试时间：120分钟满分： 100分 题号 三 四 五 六 七 八 九 总分 分数 评阅人 一、 (5分)用e-6语言证明：1 im Vsin是=0. →0十 证明对任意e>0,取6=e2,则当x∈(0,6)时，有 Visin-. 故，根据极限的定义lim√sin是=0. 二、 (24分)求下面的极限： n(1+n)n+e2n S 1. lim nn+1 =e; 2.lim(n!=1; 3. lim x2+3x-4_5】 4.lim cos-1+2 1x2+2x-3=4 x→0 24 第1页（共6页)
Æ Ò: 6 ¶: ¤3 X: |: Ò: ✍✌ ✎☞ ✍✌ ✎☞ µ K Ø L d ✍✌ ✎☞ ✍✌ ✎☞ ¥IÆEâÆ 2021c¢GÆÏ (êÆ©Û(B1) Ï¥ÁÁò, 2021 c 11 20 F) Á/ª: 4ò Ám: 120 ©¨ ÷©: 100 © KÒ n o Ê 8 Ô l Ê o© ©ê µ 0, δ = ε 2 , K x ∈ (0, δ) , k √ x sin 1 x − 0 6 √ δ = ε. , â4½Â lim x→0+ √ x sin 1 x = 0. !(24 ©) ¦e¡4µ 1. limn→∞ n(1 + n) n + e 2n nn+1 = e; 2. limn→∞ (n!) 1 n2 = 1; 3. limx→1 x 2 + 3x − 4 x 2 + 2x − 3 = 5 4 ; 4. limx→0 cos x − 1 + 1 2 x 2 x 3 sin x = 1 24 . 1 1 £ 6 ¤
三、(12分)设f(x)= 2,x≠0 求f'(x). 1, x=0. 解当x卡0时， f)=C-c-)-c-1e2+1 (6分) x2 @-o-一： 2-1-1 e-1-x lim x40 lim 号+o2_1 x→0 故，f'0)= .(12分) 四、(12分)设y(x)=x2e-r,f(x)=xyn+(x)+(n+x-2)ym(x)+nym-(x). (1)求ym)(x)；(2)求证f(x)=0. 解 ye国-(G付）e9 =(-1)"x2ex+(-1)m-12n.xer+(-1)m-2n(n-1)ex -(-1)"ex(z2-2n.x+n(n-1)）. (（8分) 因此 f(z)=zy(n+D(z)+(n+z-2)y()(x)+ny(n-1(a) =x(-1)+1e(e2-2n+1)x+nn+1) +(m+x-2(-1严e(x2-2nx+nn-1) +n(-1)-1e(e2-2n-1)x+(m-2m-1)》 =0 (12分) 第2页（共6页）
n!(12 ©) f(x) = e x−1 x , x 6= 0 1, x = 0. ¦ f 0 (x). ) x 6= 0 , f 0 (x) = xex − (e x − 1) x 2 = (x − 1)e x + 1 x 2 . (6 ©) limx→0 f(x) − f(0) x = limx→0 e x−1 x − 1 x = limx→0 e x − 1 − x x 2 = limx→0 x 2 2 + o(x 2 ) x 2 = 1 2 . , f 0 (0) = 1 2 . ..........(12 ©) o!(12 ©) y(x) = x 2 e −x , f(x) = xy(n+1)(x) + (n + x − 2)y (n) (x) + ny(n−1)(x). (1) ¦ y (n) (x); (2) ¦y f(x) = 0. ) y (n) (x) = Xn k=0 k n (x 2 ) (k) (e −x ) (n−k) = (−1)nx 2 e −x + (−1)n−1 2nxe−x + (−1)n−2n(n − 1)e −x = (−1)n e −x x 2 − 2nx + n(n − 1) . (.........8 ©) Ïd f(x) = xy(n+1)(x) + (n + x − 2)y (n) (x) + ny(n−1)(x) = x (−1)n+1e −x x 2 − 2(n + 1)x + n(n + 1) + (n + x − 2) (−1)n e −x x 2 − 2nx + n(n − 1) + n (−1)n−1 e −x x 2 − 2(n − 1)x + (n − 2)(n − 1) = 0. (.........12 ©) 1 2 £ 6 ¤
五、(12分)求函数f(x)=(x-)x号在(-∞，+o∞)上的极大值和极小值. 解当x≠0时，有 r回=36-1 由此f(x)在(-o∞，0)单调递增，在(0,1)单调递减，在(1，+o∞)上单调递增.故 f(0)=0是f(x)的极大值；f1)=-多是f(x)的极小值 注：求得驻点x=1给4分 指出f(O)=0是f(x)的极大值给4分. 指出f(1)=-号是f(x)的极小值给4分. 常 六、(10分)设函数y=y(x)是由方程y=1+xe确定的隐函数.求该函数曲线上 点(0,1)处的切线方程 解该隐函数就是函数f(x)=e-(x-1)的反函数.显然f(x)可导，且 f'(1)=-e-1<0.故，y(x)在f1)=0附近可导，且y(0)=-e.于是，在点(0,1)处， 函数y(x)的切线方程为 y=-ex+1. 第3页（共6页)
Æ Ò: 6 ¶: ¤3 X: |: Ò: ✍✌ ✎☞ ✍✌ ✎☞ µ K Ø L d ✍✌ ✎☞ ✍✌ ✎☞ Ê!(12 ©) ¦¼ê f(x) = x − 5 2 x 2 3 3 (−∞, +∞) þ4Ú4. ) x 6= 0 , k f 0 (x) = 5 3 x − 1 3 (x − 1). dd f(x) 3 (−∞, 0) üN4O,3 (0, 1) üN4~, 3 (1, +∞) þüN4O. , f(0) = 0 ´ f(x) 4; f(1) = − 3 2 ´ f(x) 4. 5: ¦7: x = 1 4 ©. Ñ f(0) = 0 ´ f(x) 4 4 ©. Ñ f(1) = − 3 2 ´ f(x) 4 4 ©. 8!(10 ©) ¼ê y = y(x) ´d§ y = 1 + xey (½Û¼ê. ¦T¼êþ : (0, 1) ?§. ) TÛ¼êÒ´¼ê f(x) = e −x (x − 1) ¼ê. w, f(x) , f 0 (1) = −e −1 < 0. , y(x) 3 f(1) = 0 NC, y 0 (0) = −e. u´, 3: (0, 1) ?, ¼ê y(x) § y = −ex + 1. 1 3 £ 6 ¤
七、(10分)设函数f(x)定义在[a,b且f(x)∈[a,,又[a,中任意不同的x,y满 足|f(x)-f(y)川<z-外令1∈[a,,并归纳定义xn+1=(cn+f(xn).求证： (1){xn}是单调数列：(2){xn}收敛于[a,)中一点c且f(c)=c(3)满足 f(x)=x的x是唯一的. 证明(1)由条件f(x)-f()川<lz-可知 2a1-m=a--1+fe)-fen-》 与xn-xn-1同号，因而与2-x1同号.故，{xn}是单调数列. … (4分) 2)因为xn∈a,且{红n}单调，所以{zn}收敛.设imn=c则c∈a,小 由 1f(x)-f(y)川<x- 可知f(x)在[a,上连续。 在 inti=(n+f(En)) 令n→o,得c=(c+f(c).即，f(c)=c. .(7分) (3)若另有c1∈[a,,G≠c使得f(c)=G1.则 lc-cl=f(c)-f(c)<lc-cil. 这不可能.故，满足f(x)=x的x是唯一的. .…(10分) 第4页（共6页）
Ô! (10 ©) ¼ê f(x) ½Â3 [a, b] f(x) ∈ [a, b], q [a, b] ¥?¿ØÓ x, y ÷ v |f(x) − f(y)| < |x − y|. - x1 ∈ [a, b], ¿8B½Â xn+1 = 1 2 xn + f(xn) . ¦y: (1) {xn} ´üNê; (2) {xn} Âñu [a, b] ¥: c, f(c) = c; (3) ÷v f(x) = x x ´. y² (1) d^ |f(x) − f(y)| < |x − y| xn+1 − xn = 1 2 xn − xn−1 + f(xn) − f(xn−1) xn − xn−1 ÓÒ, Ï x2 − x1 ÓÒ. , {xn} ´üNê. ............ (4 ©) (2) Ï xn ∈ [a, b] {xn} üN, ¤± {xn} Âñ. limn→∞ xn = c. K c ∈ [a, b]. d |f(x) − f(y)| < |x − y| f(x) 3 [a, b] þëY. 3 xn+1 = 1 2 xn + f(xn) - n → ∞, c = 1 2 (c + f(c)). =, f(c) = c. ............ (7 ©) (3) e,k c1 ∈ [a, b], c1 6= c ¦ f(c1) = c1. K |c − c1| = |f(c) − f(c1)| < |c − c1|. ùØU. , ÷v f(x) = x x ´. ............ (10 ©) 1 4 £ 6 ¤
八、(8分)设函数f(x)在[0，+o∞)上存在二阶导数，f0)=0,f'(0)>0, f"(x)≤a0使得f'(xo)=0:(2)方程f(x)=0在(0，+o∞)内有唯一实根 盖 证明(1)对于x∈(0，+o)根据Taylor公式，存在0∈(0,1)使得 fa)=f0)+f0z+0四z2 2 于是由条件可得 f(x)≤f'(O)x+ 由于a-2@时，f(x)0.由导数的定义可知存在6>0 使得f(x)>f0)=0,x∈(0,6).根据介值定理可知存在a>0使得f(a)=0.再由 Rolle定理可知存在xo∈(0，a)使得f'(xo)=0. (4分) (2)若f(x)=0(0,+oo)内有不同的实根E1,x2,不妨设00) 矛盾！故，f(x)=0在(0，+∞)内有唯一的实根。 …(8分) 第5页（共6页）
Æ Ò: 6 ¶: ¤3 X: |: Ò: ✍✌ ✎☞ ✍✌ ✎☞ µ K Ø L d ✍✌ ✎☞ ✍✌ ✎☞ l!(8 ©) ¼ê f(x) 3 [0, +∞) þ3 ê, f(0) = 0, f0 (0) > 0, f 00(x) 6 α 0 ¦ f 0 (x0) = 0; (2) § f(x) = 0 3 (0, +∞) Sk¢. y² (1) éu x ∈ (0, +∞) â Taylor úª, 3 θ ∈ (0, 1) ¦ f(x) = f(0) + f 0 (0)x + f 00(θx) 2 x 2 . u´d^ f(x) 6 f 0 (0)x + α 2 x 2 . du α − 2f 0 (0) α , f(x) 0. dê½Â3 δ > 0 ¦ f(x) > f(0) = 0, x ∈ (0, δ). â0½n3 a > 0 ¦ f(a) = 0. 2d Rolle ½n3 x0 ∈ (0, a) ¦ f 0 (x0) = 0. ..............(4©) (2) e f(x) = 0 (0, +∞) SkØÓ¢ x1, x2, Ø 0 0) gñ! , f(x) = 0 3 (0, +∞) Sk¢. ..............(8©) 1 5 £ 6 ¤
九、(7分)设函数f(x)在(-∞，+o∞)上有任意阶导数，且对任意实数x及n= 0,1,2…满足fm(x川≤nlx斗.求证：f(x)=0. 证明由|fm)(x川≤nlx可知对任意自然数n有fm(O)=0.对于x∈(-1,1) 根据Taylor展开存在9∈(0,1)使得 f()=f(0)+f'(0)x+…+ -0))o)() (n-1)！ n! n! 因此 |f(xl≤Iox·lz≤xm+1 在此式中令n→o得f(x)=0(x∈(-1,1).由连续性可知 f(x)=0,x∈[-1,1] (4分) 假设f(x)=0,x∈【-k,.令g(x)=f(x+),h(x)=f(x-).则g(x)和h(x)在0 点的任意阶导数为0.根据Taylor展开存在01,2∈(0,1)使得 g=gm6四g=fo8r+月 n! n！ h(x)=了 o=fo6t-月gn n! n! 因此 lg(x川≤l9x+·lzm, h(x)川≤l2x+kA·lzm. 令n→o得g(x)=0,h(x)=0,x∈(-1,1).于是f(x)=0,x∈【-k-1,k+1小.根 据归纳原理可知f(x)=0,x∈R. (7分) 第6页（共6页）
Ê!(7 ©) ¼ê f(x) 3 (−∞, +∞) þk?¿ ê, é?¿¢ê x 9 n = 0, 1, 2 · · · ÷v |f (n) (x)| 6 n!|x|. ¦y: f(x) = 0. y² d |f (n) (x)| 6 n!|x| é?¿g,ê n k f (n) (0) = 0. éu x ∈ (−1, 1) â Taylor Ðm3 θ ∈ (0, 1) ¦ f(x) = f(0) + f 0 (0)x + · · · + f (n−1)(0) (n − 1)! x n−1 + f (n) (θx) n! x n = f (n) (θx) n! x n . (1 ©) Ïd |f(x)| 6 |θx| · |x| n 6 |x| n+1 . 3dª¥- n → ∞ f(x) = 0 (x ∈ (−1, 1)). dëY5 f(x) = 0, x ∈ [−1, 1]. (4 ©) b f(x) = 0, x ∈ [−k, k]. - g(x) = f(x + k), h(x) = f(x − k). K g(x) Ú h(x) 3 0 :?¿ ê 0. â Taylor Ðm3 θ1, θ2 ∈ (0, 1) ¦ g(x) = g (n) (θ1x) n! x n = f (n) (θ1x + k) n! x n . h(x) = h (n) (θ2x) n! x n = f (n) (θ2x − k) n! x n . Ïd |g(x)| 6 |θ1x + k| · |x| n , |h(x)| 6 |θ2x + k| · |x| n . - n → ∞ g(x) = 0, h(x) = 0, x ∈ (−1, 1). u´ f(x) = 0, x ∈ [−k − 1, k + 1]. â8Bn f(x) = 0, x ∈ R. (7 ©) 1 6 £ 6 ¤