高校核心课程学习指导丛书 微积分学习指导 上册 WEIJIFEN XUEXI ZHIDA▣ 陈祖墀/主审 段雅丽 叶 盛 顾新身/编著 y=f() y=f(x) 中国科学技术大学出版社
高校核心课程学习指导丛书 微积分学习指导 上册 WEIJIFEN XUEXI ZHIDAO 陈祖墀/主审 段雅丽叶盛顾新身/编著 中国科学技术大学出版社
序 微积分课程是大学生，特别是理工科大学生最重要的基础课程之一，它对后 续课程有直接的影响.学好微积分对刚入学的大学生有至关重要的作用 数学大师陈省身先生说过.数学是做出来的，不是读出来的.也就是说，做数 学题是提高数学素质的关键一步.如何做题？怎样把题目做好？做题的思想是如 何想出来的？等等.由段雅丽副教授、叶盛副教授和顾新身教授撰写的这本《微 积分学习指导》全面地回答了这些问题.他们在中国科学技术大学从事微积分课 程的教学工作十余年，具有丰富的教学经验，对学生的要求有具体的了解，从而写 出的这本书深刻、生动、翔实，贴近学生诉求，解答了学生在解题中的诸多困惑 特别是对很多题目给出了解题的思路和适用的方法，让学生不但知其然，还知其 所以然.另外，紧扣微积分教材各章节内容，对很多典型的题目给出多思多解，还 收编或改编了中国科学技术大学多年来的期末或期中考试题目，并对其作了分析 与解答 我深信这本书将成为学生学习微积分过程中的良师益友 陈祖墀 2014年4月 中国科学技术大学数学科学学院 写在中科大校园樱花盛开的季节
前 言 微积分是一门非常重要的基础课，为了帮助广大学生学好微积分这门课程 我们根据多年的教学经验，编写了这本与教材相配套的辅导书，基本上按照《微 积分学导论》（上）和《微积分》（上）的章节对应编写.每节包括知识要点、精 选例题和小结三部分.知识要点部分对基本概念和基本定理作了简述和分析，给 出详细的注记，包括举反例、作对比等，对有些定理作了相应拓展.在精选例题部 分，选择了有代表性的典型例题，阐述了解题方法、解题思路与运算技巧，几乎每 道题都以“分析”或“注记”的形式给出解题思路或拓展性的解读：注记中给出 了题型归类、方法指导或题目延伸等，有的是一题多解，有的是一题在不同条件 下的解读，有的综合多个知识点，涉及多个章节的内容，由简到难，多方面分析，意 在培养学生分析问题、解决问题的能力：同时，有的例题后面还有相关的思考题 以培养学生的独立思考能力，更好地巩固所学知识，提高实际解题能力.小结部分 对每节题型或知识点作提纲性的总结 本书是微积分教学的重要辅导书，对教师教学中不易展开的问题和学生学习 中的疑难问题进行了一定的探讨.例题中选编或改编了一些中国科学技术大学非 数学专业本科生期中或期末试题及全国硕士研究生入学考试数学试题，进行归纳 分类，给出分析与解答，开阔思路、使学生所学知识融会贯通.另外，整本书的例题 序号按自然数编排，这样视觉上直观、简洁，并且便于老师与学生或读者之间的 交流 本书可作为理工科院校本科生学习微积分的辅导书及习题课的参考书，也可 作为考研的复习指南 对在编写过程中所有给予帮助的同事们和朋友们表示由衷的感谢，特别感谢 陈祖墀教授，他为我们编写此书提供了指导性建议和意见，并给予了鼓励与帮助 由于时间仓促、水平有限，本书错漏和不当之处在所难免，还望读者指正 编著者 2014年4月 中国科学技术大学数学科学学院
目 次 序 前言… (进) 第1章 极限与连续 (1) 1.1预备知识.. (1) 1.2数列极限 (4) 1.3函数极限 (24) 1.4函数的连续性. (39) 第2章单变量函数的微分学 (54) 2.1函数的导数 (54) 2.2函数的微分 (70) 2.3微分中值定理. (76) 2.4未定式的极限与洛必达法则 (91) 2.5泰勒公式 (98) 2.6导数的应用 (112) 第3章单变量函数的积分学 (125) 3.1不定积分的概念与性质.. (125) 3.2不定积分的计算方法 (134) 3.3定积分的概念和可积函数… (155
微积分学习指导 3.4 定积分的基本性质与微积分基本定理 (159) 3.5定积分的计算方法 (183) 3.6定积分的应用. (210) 3.7广义积分 (218) 第4章微分方程.… (227) 4.1微分方程的基本概念... (227) 4.2一阶微分方程... (231) 4.3可降阶的二阶微分方程..· (243) 4.4二阶线性微分方程解的结构. (247) 4.5二阶常系数线性微分方程. (251) 综合练习题… (263) 部分综合练习题解答或提示… (269
第1章 极限与连续 1.1预备知识 首先，我们介绍一些基础而重要的等式和不等式（证明略），以供读者查阅 使用. 1.合比与分比的关系 设所有分母α，不为零且同号（同大于零或同小于零），则有 b: m{合 其中等号成立当且仅当分比{合} 全相等。 2.乘积的变差 AB-ab=A(B-6)+b(A-a). 3.三角不等式 对任给的两个实数α，b都有 la-l≤la±b≤la+b 4.阿贝尔(Abel)分部求和及其估算 记Ak=a1+a2+…+ak,1≤k≤n,则有：
2 微积分学习指导 (四∑a,=A.b+∑Au以-月 (2)若对于k=1,2,·,n皆有|Ak≤L,且数列{bs}=1是单调的，那么 ∑ab ≤L(0b+2bl)月 (3)若对于k=1,2,·,n皆有m≤Ak≤M,且{b}=1是非负单调递减的， 那么 mb≤∑axb≤Mb. k=1 5.余弦（正弦）和式 当x不是2π的整数倍时，有 n sin( c-sin 2 COS- cosk= 2 sinka= k=1 2sin 2 2sin 2 6.伯努利(Bernoulli)不等式 假设-11或a1+ah. 7.加权均值不等式 假设X1+2+…+入=1，入：>0(i=1,2,…,:n≥2)，则对任给的n个正 数x1,x2,…,xn,都有 其中等号成立当且仅当x1,x2,…,xm全相等. (当入皆为时，上式便是平均值不等式)
弟1章极限与连续 3 &赫尔德(H6lder)不等式 设x1,x2,…,xm;1,2,…,m为两组不全为零的非负实数(n≥2)，p> 1,9>1,三+三=1，则有 p g ≤（区）（区） 其中等式成立当且仅当存在常数入>0，使得对于i=1,2,….n皆有x= (当p=q=2时，即柯西(Cauchy)一施瓦茨(Schwarz)不等式) 9.闵可夫斯基(Minkowski)不等式 设c1,2,…,xn;,,…,m为两组不全为零的非负实数(n≥2)，p>1, 则有 (∑+r)产0，使得对于i=1,2,…,n皆有x=: (当p=2时，就是通常的三角不等式) 注记1.前五条有中学知识范围内的初等证明。 2.写出函数f(h)=(1+h)n在h=0处的一阶带拉格朗日(Lagrange)余项 的泰勒(Taylor)展式，并以此可以证明结论6（伯努利不等式）. 3.结论6(1)与结论7(n=2情形)等价.实际上，结论6(1)可改写为：当 00,2>0,x1卡c2时 x-ax<(1-a)x1+a·x2→(1+h)P<1+ah, 其中h=2-1. 4.在结论7（加权均值不等式）中，n=2情形蕴含一般的n≥2情形（数学 归纳法)： 5.lnx在区间(0，+oo)中是凹函数，可用此事实证明结论7
微积分学习指导 6.由结论7(n=2情形)证结论8（赫尔德不等式），由结论8证结论9（闵 可夫斯基不等式)，关于结论8与结论9，读者还可参考书末综合练习题中积分意 义上两相应不等式的证明方法 1.2数列极限 知识要点 ◇数列极限的定义 (e-N定义)设有数列{an}及实数a,若对任给的e>0,总存在自然数 N=N(e),使得当n>N时，都有 lan-a|0,3N=N(e)∈N,使得当n>N时，恒有an-a0”换为“对任给的0<<1”，或“对任给的e=(m是正整数)”：又比