第一章基础知识 背景知识 最优化问题举例 优化问题的数学模型及其分类 最优解与极值点
⚫ 背景知识 ⚫ 最优化问题举例 ⚫ 优化问题的数学模型及其分类 ⚫ 最优解与极值点 第一章 基础知识
§1背景知识 最优化技术是一门较新的学科分支。它是在上世纪五十年 代初在电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为 一门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题 是在一定的限制条件下，在众多的可行方案中怎样选择最合理 的一种方案以达到最优目标。 将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策，搜寻最 优方案的方法称为最优化方法，关于最优化方法的数学理论称 为最优化理论。 最优化问题至少有两要素：一是可能的方案；二是要追求 的目标。后者是前者的函数。如果第一要素与时间无关就称为 静态最优化问题，否则称为动态最优化问题。 本科程专门讲授静态最优化问题
§1 背景知识 最优化技术是一门较新的学科分支。它是在上世纪五十年 代初在电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为 一门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题 是在一定的限制条件下，在众多的可行方案中怎样选择最合理 的一种方案以达到最优目标。 将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策，搜寻最 优方案的方法称为最优化方法，关于最优化方法的数学理论称 为最优化理论。 最优化问题至少有两要素：一是可能的方案；二是要追求 的目标。后者是前者的函数。如果第一要素与时间无关就称为 静态最优化问题，否则称为动态最优化问题。 本科程专门讲授静态最优化问题
最优化技术应用范围十分广泛，在我们日常生活中，在工农 业生产、社会经济、国防、航空航天工业中处处可见其用途。 比如：结构最优设计、电子器件最优设计、光学仪器最优设计、 化工工程最优设计、运输方案、机器最优配备、油田开发、水库 调度、饲料最优配方、食品结构优化等等。 最优化技术工作被分成两个方面，一是由实际产生或科技问 题形成最优化的数学模型，二是对所形成的数学问题进行数学加 工和求解。对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资 料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目 前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问 题时是十分关键的基础，没有这一工作，最优化技术将成为无水 之源，难以健康发展
最优化技术应用范围十分广泛，在我们日常生活中，在工农 业生产、社会经济、国防、航空航天工业中处处可见其用途。 比如：结构最优设计、电子器件最优设计、光学仪器最优设计、 化工工程最优设计、运输方案、机器最优配备、油田开发、水库 调度、饲料最优配方、食品结构优化等等。 最优化技术工作被分成两个方面，一是由实际产生或科技问 题形成最优化的数学模型，二是对所形成的数学问题进行数学加 工和求解。对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资 料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目 前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问 题时是十分关键的基础，没有这一工作，最优化技术将成为无水 之源，难以健康发展
因此，在学习本科程时要尽可能了解如何由实际问 题形成最优化的数学模型。为了便于大家今后在处理实 际问题时建立最优化数学模型，下面我们先把有关数学 模型的一些事项作一些说明。 数学模型：对现实事物或问题的数学抽象或描述 建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，但要注意到过于简单的数学模型所得到的结果 可能不符合实际情况，而过于详细复杂的模型又给分析计算 带来困难。因此，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验 和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也 必须对模型进行必要的数学简化以便于分析、计算
因此，在学习本科程时要尽可能了解如何由实际问 题形成最优化的数学模型。为了便于大家今后在处理实 际问题时建立最优化数学模型，下面我们先把有关数学 模型的一些事项作一些说明。 数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。 建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，但要注意到过于简单的数学模型所得到的结果 可能不符合实际情况，而过于详细复杂的模型又给分析计算 带来困难。因此，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验 和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也 必须对模型进行必要的数学简化以便于分析、计算
一般的模型简化工作包括以下几类： (1)将离散变量转化为连续变量。 (2)将非线性函数线性化。 (3)删除一些非主要约束条件
一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数线性化。 （3）删除一些非主要约束条件
建立最优化问题数学模型的三要素： (1)决策变量和参数。 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示 系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。 (2)约束或限制条件。 由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内，即约束条件，而这通常 是用约束的数学函数形式来表示的。 (3)目标函数。 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的 效率，即系统追求的目标
建立最优化问题数学模型的三要素： （1）决策变量和参数。 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示 系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。 （2）约束或限制条件。 由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内，即约束条件，而这通常 是用约束的数学函数形式来表示的。 （3）目标函数。 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的 效率，即系统追求的目标
例 对于规划问题， Find X=(x,x22...,m) Min.f=f(Y) Min.f=m 8.t8,(X)≤0，j=12,…J m只能取正整数 其中，∫(X)与8，(X)均为非线性函数。 请问，这种设计变量数随时可变的问题如何求解？
例
§2最优化问题举例 最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿治金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不 强的实例。 例1.把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即 p为金属比重p≠0.R=1
§2 最优化问题举例 最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不 强的实例。 例1. 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即 2 3 4 3 r h R = 为金属比重. 0.R =1
即 元r2h= 一元 ,即 问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即 min 2ah+2元r2 min(2xrh+2πr 则得原问题的数学模型： 4 s.l.h-= s.t→Subject to.(以.…为条件) 利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题 )=2m+2-2r7h- 分别对r,,求偏导数，并令其等于零.有：
即 , 即 问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即 min 则得原问题的数学模型： s.t. Subject to.(以…为条件) 利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题 分别对r, h,λ求偏导数,并令其等于零.有: 3 2 4 r h = 0 3 2 4 r h − = ( ) 2 2rh + 2 r ( ) 2 2 min 2 2 4 . . 0 3 rh r s t r h + − = ( ) 2 2 4 , , 2 2 3 L r h rh r r h = + − −
=2zh+4元r-2rh2=0 Or 2πr-Zr2=0 →h=2r Ch aL 4 a入 -rh+30 2-3 此时圆柱体的表面积为 2-3
此时圆柱体的表面积为 2 2 2 4 2 0 2 0 2 4 0 3 L h r rh r L r r h r h L r h = + − = = − = = = − + = . 3 2 r = 3 3 3 2 h = 2 3 2 3 2 6