第七章参数估计 §7.1点估计 9§7.2基于截尾样本的最大似然估计 9§7.3估计量的评选标准 9§7.4区间估计 。§7.5正态总体均值和方差的区间估计 §7.6(0一)分布参数的区间估计 §7.7单侧置信区间 2/103
2/103 第七章 参数估计 §7.1 点估计 §7.2 基于截尾样本的最大似然估计 §7.3 估计量的评选标准 §7.4 区间估计 §7.5 正态总体均值和方差的区间估计 §7.6 (0－1)分布参数的区间估计 §7.7 单侧置信区间
§7.1点估计 从本章开始讨论统计推断的两类基本问题：参数 估计和假设检验问题，本章讨论总体参数的点估计和 区间估计。参数估计问题是利用从总体抽样得到的信 息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数。 估计新生儿的平均体重 估计废品率 估计平均降雨量 估计湖中鱼数 ●●● 3/103
3/103 从本章开始讨论统计推断的两类基本问题：参数 估计和假设检验问题，本章讨论总体参数的点估计和 区间估计。参数估计问题是利用从总体抽样得到的信 息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 估计废品率 估计新生儿的平均体重 估计湖中鱼数 … … 估计平均降雨量 §7.1 点估计
§7.1点估计 问题：在总体形式已知时，对参数进行估计，有3个问题： (1)估计值？（点估计） (2)统计量选择的科学性（评选标准） 3)估计值的可信度？ (区间估计) 点估计： 设总体X的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个 参数为未知，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数 的值的问题称为参数的点估计问题 9如：已知X~N(4,o2),但参数4，o2为未知，需要估计 4/103
4/103 §7.1 点估计 问题：在总体形式已知时，对参数进行估计，有3个问题： (1) 估计值?(点估计) (2) 统计量选择的科学性（评选标准） (3) 估计值的可信度？（区间估计） 点估计： 设总体X的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个 参数为未知，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数 的值的问题称为参数的点估计问题 如：已知X～N(μ,σ 2 )，但参数μ,σ 2为未知，需要估计
§7.1点估计 点估计问题用数学模型来描述： 设总体X的分布函数Fx;0)的形式为已知，是待估参数， X1,X2,Xn是X的一个样本，x1,2,,飞n是相应的一个样本 值 点估计问题就是要基于样本构造一个适当的统计量0(X, X2,…,X),并用它的一个观察值0（化1，x2,,xn)作为未知参 数的近似值。 称0(X1,X2,…,Xm)为0的估计量，0（化1,2，，x)为0的估计值 不致混淆情况下，称估计量和估计值为估计，并都简记为0 估计量是样本的函数，样本值不同，0的估计值一般不同， 这体现了样本的个性 5/103
5/103 §7.1 点估计 点估计问题用数学模型来描述： ⚫ 设总体X的分布函数F(x; θ)的形式为已知，θ是待估参数， X1 ,X2 ,…,Xn是X的一个样本，x1 , x2 ,…, xn是相应的一个样本 值 ⚫ 点估计问题就是要基于样本构造一个适当的统计量 (X1 , X2 ,…,Xn )，并用它的一个观察值 (x1 , x2 ,…, xn )作为未知参 数的近似值。 ⚫ 称 (X1 ,X2 ,…,Xn )为θ的估计量， (x1 , x2 ,…, xn )为θ的估计值 不致混淆情况下，称估计量和估计值为估计，并都简记为 ⚫ 估计量是样本的函数，样本值不同，θ 的估计值一般不同， 这体现了样本的个性 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
§7.1点估计 例1：某炸药厂，一天中发生着火现象的次数X~π(2)泊松分布，参数2 未知，现有以下样本值，试估计参数2。 着火次数k|0123456 发生k次着火的天数n475905422621总计250天 。解：首先找到一个对的估计量 已知1=EX,而样本均值的数学期望E函=E(X,即AkP→kk 所以可以用样本均值X来估计总体均值) 样本容量为250，均值相当于250天的着火次数相加/250 o 即的估计量元=E(X)=1X,n=250 k=1 。的估计值7上E=202X=0×75+1x90++6x=1.2 250 9可见对未知参数的估计量的构造方法是值得研究的 6/103
6/103 §7.1 点估计 例1：某炸药厂，一天中发生着火现象的次数X～π(λ)泊松分布，参数λ 未知，现有以下样本值，试估计参数λ。 着火次数k 0 1 2 3 4 5 6 发生k次着火的天数nk 75 90 54 22 6 2 1 总计250天 解：首先找到一个对λ的估计量 已知λ＝E(X)，而样本均值的数学期望E( )＝E(X)，即Ak μk |k=1 所以可以用样本均值 来估计总体均值λ 样本容量为250，均值相当于250天的着火次数相加/250 即λ的估计量 ＝ ，n＝250 λ的估计值 ＝ ＝ =1.22 可见对未知参数的估计量的构造方法是值得研究的 X ⎯⎯P → ˆ = = n k Xk n E X 1 1 ( ) ˆ ˆ ( ) E ˆ X (0 75 1 90 6 1) 250 1 250 1 250 1 = + + + = k Xk X
§7.1点估计 有两种典型的点估计方法： ·矩估计法和最大似然估计法 (一)矩估计法 0 它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计 方法 是英国统计学家K皮尔逊最早提出的 其基本思想是用样本矩估计总体矩 ·理论依据是大数定律 7/103
7/103 §7.1 点估计 有两种典型的点估计方法： ⚫ 矩估计法和最大似然估计法 (一)矩估计法 ⚫ 它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计 方法 ⚫ 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 ⚫ 其基本思想是用样本矩估计总体矩 ⚫ 理论依据是大数定律
§7.1点估计 可以通过构造样本矩来构造估计量，因为总体矩 总可以表示为未知参数的函数，如果令总体矩等 于样本矩的观察值，则构建了一个等式 ⊙设X为连续型随机变量，概率密度为 fx;01,02,,0) ⊙或X为离散型随机变量，其分布律为 P{X=x}=pK;01,02,,0k) 。其中01,02,0k为待估的k个未知参数， 0X1,X2…,Xn是来自总体X的样本 8/103
8/103 §7.1 点估计 可以通过构造样本矩来构造估计量，因为总体矩 总可以表示为未知参数的函数，如果令总体矩等 于样本矩的观察值，则构建了一个等式 设X为连续型随机变量，概率密度为 f(x; θ1 , θ2 ,…, θk ) 或X为离散型随机变量，其分布律为 P{X=x}＝p(x; θ1 , θ2 ,…, θk ) ⚫ 其中θ1 , θ2 ,…, θk为待估的k个未知参数， ⚫ X1 ,X2 ,…,Xn是来自总体X的样本
§7.1点估计 ⊙假设总体X的前阶总体矩存在，记为41,2…k, 其中对任意的u有 X为连续型：4=EX)x'f(x;8,0,,0)c ●】 或离散型：41=EX9∑xp(x8,8,…,8) 它们都是待估参数01,02，，0k的函数，写成方程 组得「 41=41(81,81,…,8) 42=2(81,8,…,84) 4k=4k(8,01,,0) 9/103
9/103 §7.1 点估计 假设总体X的前k阶总体矩存在，记为μ1 , μ2 ,…,μk， 其中对任意的μl有 X为连续型：μl＝E(Xl )＝ 或离散型：μl＝E(Xl )＝ 它们都是待估参数θ1 , θ2 ,…, θk的函数，写成方程 组得 − x f x k dx l ( ; , , , ) 1 1 ( ; , , , ) 1 1 1 i k i l xi p x = = = = ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k
§7.1点估计 一般情况下，包含k个未知参数的方程组可以求出k个未知 参数，即9=8(4,41，…，4k) 82=82(41,41,…,4k) 0=0(4h1,41,…,4k) 但总体矩的形式容易求得，即待估参数的函数，但实际值 未知，而我们有辛饮定理的推论，即 若总体X的k阶矩E(X)=4x存在，则由辛软定理，当→o 时，样本k阶矩Ak=二∑XP→k,k=1,2,…, n i=1 由依概率收敛的性质知道 g(A1,A2,,A)P→g(41,42,4),g为连续函数 10/103
10/103 §7.1 点估计 一般情况下，包含k个未知参数的方程组可以求出k个未知 参数，即 但总体矩的形式容易求得，即待估参数的函数，但实际值 未知，而我们有辛钦定理的推论，即 若总体X的k阶矩E(Xk )＝μk存在，则由辛钦定理，当n→∞ 时，样本k阶矩Ak μk，k＝1,2,…， 由依概率收敛的性质知道 g(A1 , A2 ,…, Ak ) g(μ1 , μ2 ,…, μk )，g为连续函数 = = = ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k = ⎯→ = P n i k Xi n 1 1 ⎯⎯P →
§7.1点估计 因此我们就以样本阶矩A代替上式中的总体阶矩w,1= 12,..k,并以 0,=0,41,A2,A),1=1,2k 作为未知参数0的估计量，1=1,2，..k,这种估计量称为矩 估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值 9矩估计法定义： 象以上过程那样，基于样本矩依概率收敛于总体矩， 并进而有样本矩的连续函数依概率收敛于总体矩的连续函 数的性质，而用样本矩（或样本矩的连续函数)作为相应 的总体矩（或总体矩的连续函数）的估计量，这种估计方 法称为矩估计法。 11/103
11/103 §7.1 点估计 因此我们就以样本l阶矩Al代替上式中的总体l阶矩μl，l＝ 1,2,…k，并以 ＝ (A1 , A2 ,…, Ak ) ，l＝1,2,…k 作为未知参数 的估计量，l＝1,2,…k，这种估计量称为矩 估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值 矩估计法定义： 象以上过程那样，基于样本矩依概率收敛于总体矩， 并进而有样本矩的连续函数依概率收敛于总体矩的连续函 数的性质，而用样本矩（或样本矩的连续函数）作为相应 的总体矩（或总体矩的连续函数）的估计量，这种估计方 法称为矩估计法。 l ˆ l l