数学分析(B)历年考试真题 2022版 2018版.说明 1.这里收录了若干套中国科学技术大学数学分析(B)测验以及考试真题，以及一套数学 分析(A)的试题作为样卷 2.排序顺序优先考虑知识涵盖范围，其次为时间先后.即先B1后B2,期中复习请参考标 注有期中试卷及其前面的测验试卷，因为在它们后面的试卷都会涉及到期中考试之后的内容 3.本附录的主要作用是供同学们考试之前模拟使用，越靠近现在的考卷越能接近现在的 出题风格 4.没有参考答案，希望读者自行思考，同时熟悉题目类型.建议本门课程的助教在平时习 题课先将学过的部分的测验题进行讲解，在考前习题课讲解对应的考试题 5.正值科大60周年校庆，亦为少年班成立40周年之际，谨以此真题集锦，献礼科大，也 便于以后的助教的习题课工作和同学们复习本门课程.感谢李平教授和17级少创班同学们提 供往年题目.再次祝愿科大数学教育越办越好！ 2017年秋季学期数学分析(B1)助教 2018年春季学期数学分析(B2)助教 2015级少年班学院理科试验1班吴天1 2018年4月于合肥 2020版·说明 感谢吴天学长的辛苦整理，给近年同学们的备考提供了不少方便和有价值的参考， 岁月不居，时节如流.转眼间，科大的数学教育又走过了两载春秋.本次2020年版数学分 析(B)考试真题加入了2018-2020年共12套测验及考试真题，但为了与原2018版合并，延续 页码，只好将这些新题全部追加编排于最后.2018年版截止至47页，4860页仍按照“优先考 虑知识涵盖范围，其次为时间先后”的顺序单独排列，并在最后提供一套B3样卷作为参考 愿科大的数学教育再攀新的高峰！ 编者2 2020年9月于合肥 1欢迎访问主页：http:/home.ustc.edu.cn/-wt1997/ 2最后更新：2022年8月28日.点击此处获取最新版. 试题纠错、投稿、意见反馈欢迎来信：qifan(@mail.ustc.edu.cm
数学分析 (B) 历年考试真题 2022 版 2018 版 · 说明 1. 这里收录了若干套中国科学技术大学数学分析 (B) 测验以及考试真题, 以及一套数学 分析 (A) 的试题作为样卷. 2. 排序顺序优先考虑知识涵盖范围, 其次为时间先后. 即先 B1 后 B2, 期中复习请参考标 注有期中试卷及其前面的测验试卷, 因为在它们后面的试卷都会涉及到期中考试之后的内容. 3. 本附录的主要作用是供同学们考试之前模拟使用, 越靠近现在的考卷越能接近现在的 出题风格. 4. 没有参考答案, 希望读者自行思考, 同时熟悉题目类型. 建议本门课程的助教在平时习 题课先将学过的部分的测验题进行讲解, 在考前习题课讲解对应的考试题. 5. 正值科大 60 周年校庆, 亦为少年班成立 40 周年之际, 谨以此真题集锦, 献礼科大, 也 便于以后的助教的习题课工作和同学们复习本门课程. 感谢李平教授和 17 级少创班同学们提 供往年题目. 再次祝愿科大数学教育越办越好! 2017 年秋季学期数学分析 (B1) 助教 2018 年春季学期数学分析 (B2) 助教 2015 级 少年班学院 理科试验 1 班 吴天1 2018 年 4 月于合肥 2020 版 · 说明 感谢吴天学长的辛苦整理, 给近年同学们的备考提供了不少方便和有价值的参考. 岁月不居, 时节如流. 转眼间, 科大的数学教育又走过了两载春秋. 本次 2020 年版数学分 析 (B) 考试真题加入了 2018–2020 年共 12 套测验及考试真题, 但为了与原 2018 版合并, 延续 页码, 只好将这些新题全部追加编排于最后. 2018 年版截止至 47 页, 48–60 页仍按照 “优先考 虑知识涵盖范围, 其次为时间先后” 的顺序单独排列, 并在最后提供一套 B3 样卷作为参考. 愿科大的数学教育再攀新的高峰! 编者2 2020 年 9 月于合肥 1欢迎访问主页: http://home.ustc.edu.cn/~wt1997/ 2最后更新: 2022 年 8 月 28 日. 点击此处获取最新版. 试题纠错、投稿、意见反馈欢迎来信: qifan@mail.ustc.edu.cn i
2021版·说明 1.本次全新改版，对全部试卷重新编排，排列顺序按照“优先考虑知识涵盖范围，其次为 时间先后”，将新加入的试卷与先前的试卷合并排列，采用XTX进行编译排版，并修复了旧 版本的若干排印错误， 2.加入了目录和书签，并在页眉中加入标题，方便同学们查找索引 3.相比2020版，更新了2020-2021学年两个学期的数学分析(B1),(B2)的期中、期末等 若干套试题，并提供一套数学分析(B3)的期中试题，供同学们参考.更新试题包括： (1)2020-2021学年数学分析(B1),(B2)的期中、期末共4套试题 (2)2016-2017学年第一学期数学分析(B1)第三次测试 (3)2007-2008学年第二学期数学分析(II)期末考试 (4)2017-2018学年第二学期数学分析(B2)期中考试 (5)2017-2018学年第二学期数学分析(B2)期末考试 (6)2020-2021学年第一学期数学分析(B3)期中考试 4.由于本次对全部试卷重新编排，尽管编者己认真校对，但新的排印错误仍然难以避免， 若发现排印错误欢迎联系：qifan@mail.ustc.edu.cn,感激不尽！勘误将会实时更新到下方的 更新日志，可以根据你所使用的版本留意相应的修正或访问网页 http://home.ustc.edu.cn/-qifan/exams/MathematicalAnalysisExams.pdf 获取最新版本。 2022版·说明 更新了2021-2022学年两个学期的数学分析(B1),(B2)的期中、期末共4套试题，感谢 宗语轩助教在本材料的编写和助教工作过程中给予的大力支持割 2021年秋季学期数学分析(B1)助教 2022年春季学期数学分析(B2)助教 2019级少年班学院创新试点3班余启帆3 2022年8月于合肥 更新日志 2022.08.282022版初始版本 3欢迎访问主页：http://home.ustc.edu.cn/-qifan/, iⅱ
2021 版 · 说明 1. 本次全新改版, 对全部试卷重新编排, 排列顺序按照 “优先考虑知识涵盖范围, 其次为 时间先后”, 将新加入的试卷与先前的试卷合并排列, 采用 XƎLATEX 进行编译排版, 并修复了旧 版本的若干排印错误. 2. 加入了目录和书签, 并在页眉中加入标题, 方便同学们查找索引. 3. 相比 2020 版, 更新了 2020–2021 学年两个学期的数学分析 (B1), (B2) 的期中、期末等 若干套试题, 并提供一套数学分析 (B3) 的期中试题, 供同学们参考. 更新试题包括: (1) 2020–2021 学年数学分析 (B1), (B2) 的期中、期末共 4 套试题 (2) 2016–2017 学年第一学期数学分析 (B1) 第三次测试 (3) 2007–2008 学年第二学期数学分析 (II) 期末考试 (4) 2017–2018 学年第二学期数学分析 (B2) 期中考试 (5) 2017–2018 学年第二学期数学分析 (B2) 期末考试 (6) 2020–2021 学年第一学期数学分析 (B3) 期中考试 4. 由于本次对全部试卷重新编排, 尽管编者已认真校对, 但新的排印错误仍然难以避免, 若发现排印错误欢迎联系: qifan@mail.ustc.edu.cn, 感激不尽! 勘误将会实时更新到下方的 更新日志, 可以根据你所使用的版本留意相应的修正或访问网页 http://home.ustc.edu.cn/~qifan/exams/MathematicalAnalysisExams.pdf 获取最新版本. 2022 版 · 说明 更新了 2021–2022 学年两个学期的数学分析 (B1), (B2) 的期中、期末共 4 套试题, 感谢 宗语轩助教在本材料的编写和助教工作过程中给予的大力支持! 2021 年秋季学期数学分析 (B1) 助教 2022 年春季学期数学分析 (B2) 助教 2019 级 少年班学院 创新试点 3 班 余启帆3 2022 年 8 月于合肥 更新日志 2022.08.28 2022 版初始版本 3欢迎访问主页: http://home.ustc.edu.cn/~qifan/ ii
目 录 第1部分数学分析(B1) 1 1.12011-2012学年第一学期第一次测试 1 1.22011-2012学年第一学期第二次测试 2 1.32012-2013学年第一学期第一次测试 3 1.42012-2013学年第一学期第二次测试 4 1.52013-2014学年第一学期 第一次测试 5 1.62013-2014学年第一学期第二次测试 6 1.72015-2016学年第一学期第一次测试. 7 1.82015-2016学年第一学期第二次测试.. 8 1.92003-2004学年第一学期期中考试 9 1.102005-2006学年第一学期期中考试 10 1.112006-2007学年第一学期期中考试 11 1.122007-2008学年第一学期期中考试 12 1.132017-2018学年第一学期期中考试 13 1.142018-2019学年第一学期期中考试 14 1.152019-2020学年第一学期期中考试 15 1.162020-2021学年第一学期期中考试 16 1.172021-2022学年第一学期期中考试 17 1.182015-2016学年第一学期数学分析(A1)期中考试 18 1.192012-2013学年第一学期第三次测试. 19 1.202012-2013学年第一学期第四次测试 20 1.212013-2014学年第一学期第三次测试 21 1.222015-2016学年第一学期第三次测试 22 1.232016-2017学年第一学期第三次测试 23 1.242003-2004学年第一学期期末考试 24 1.252005-2006学年第一学期期末考试 25 1.262006-2007学年第一学期期末考试 26 1.272007-2008学年第一学期期末考试 27 1.282008-2009学年第一学期期末考试(A卷) 28 1.292008-2009学年第一学期期末考试(B卷) 29 1.302011-2012学年第一学期期末考试 30 1.312012-2013学年第一学期期末考试 31 1.322013-2014学年第一学期期末考试 32 1.332015-2016学年第一学期期末考试 33 1.342016-2017学年第一学期期末考试 34 iii
目 录 第 1 部分 数学分析 (B1) 1 1.1 2011–2012 学年第一学期 第一次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 2011–2012 学年第一学期 第二次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 2012–2013 学年第一学期 第一次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 2012–2013 学年第一学期 第二次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 2013–2014 学年第一学期 第一次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 2013–2014 学年第一学期 第二次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7 2015–2016 学年第一学期 第一次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.8 2015–2016 学年第一学期 第二次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9 2003–2004 学年第一学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.10 2005–2006 学年第一学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.11 2006–2007 学年第一学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.12 2007–2008 学年第一学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.13 2017–2018 学年第一学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.14 2018–2019 学年第一学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.15 2019–2020 学年第一学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.16 2020–2021 学年第一学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.17 2021–2022 学年第一学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.18 2015–2016 学年第一学期 数学分析 (A1) 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.19 2012–2013 学年第一学期 第三次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.20 2012–2013 学年第一学期 第四次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.21 2013–2014 学年第一学期 第三次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.22 2015–2016 学年第一学期 第三次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.23 2016–2017 学年第一学期 第三次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.24 2003–2004 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.25 2005–2006 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.26 2006–2007 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.27 2007–2008 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.28 2008–2009 学年第一学期 期末考试 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.29 2008–2009 学年第一学期 期末考试 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.30 2011–2012 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.31 2012–2013 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.32 2013–2014 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.33 2015–2016 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.34 2016–2017 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 iii
iv目录 目录 1.352017-2018学年第一学期期末考试 35 1.362018-2019学年第一学期期末考试 36 1.372019-2020学年第一学期期末考试 37 1.382020-2021学年第一学期期末考试 38 1.392021-2022学年第一学期期末考试 39 第2部分数学分析(B2) 41 2.12011-2012学年第二学期 第二次测试 41 2.22012-2013学年第二学期第一次测试.· 42 2.32012-2013学年第二学期 第二次测试 43 2.42013-2014学年第二学期第一次测试 44 2.52019-2020学年第二学期第8-9章测试 45 2.62017-2018学年第二学期期中考试 46 2.72018-2019学年第二学期期中考试 47 2.82020-2021学年第二学期期中考试 48 2.92021-2022学年第二学期期中考试 50 2.102011-2012学年第二学期第三次测试.. 51 2.112011-2012学年第二学期第四次测试 52 2.122012-2013学年第二学期第三次测试 53 2.132012-2013学年第二学期第四次测试 54 2.142013-2014学年第二学期第三次测试 55 2.152013-2014学年第二学期第四次测试 56 2.162015-2016学年第二学期第三次测试 57 2.172015-2016学年第二学期第四次测试 58 2.182019-2020学年第二学期第10-11章测试 59 2.192019-2020学年第二学期第12章测试 60 2.202019-2020学年第二学期第13章测试 60 2.212007-2008学年第二学期期末考试.. 61 2.222012-2013学年第二学期期末考试 62 2.232013-2014学年第二学期期末考试 63 2.242015-2016学年第二学期期末考试 64 2.252016-2017学年第二学期期末考试 65 2.262017-2018学年第二学期期末考试 66 2.272018-2019学年第二学期期末考试 67 2.282019-2020学年第二学期期末考试 68 2.292020-2021学年第二学期期末考试 70 2.302021-2022学年第二学期期末考试 71
iv 目 录 目 录 1.35 2017–2018 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.36 2018–2019 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.37 2019–2020 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.38 2020–2021 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.39 2021–2022 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 第 2 部分 数学分析 (B2) 41 2.1 2011–2012 学年第二学期 第二次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 2012–2013 学年第二学期 第一次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 2012–2013 学年第二学期 第二次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 2013–2014 学年第二学期 第一次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5 2019–2020 学年第二学期 第 8–9 章测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6 2017–2018 学年第二学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 2018–2019 学年第二学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.8 2020–2021 学年第二学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.9 2021–2022 学年第二学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.10 2011–2012 学年第二学期 第三次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.11 2011–2012 学年第二学期 第四次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.12 2012–2013 学年第二学期 第三次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.13 2012–2013 学年第二学期 第四次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.14 2013–2014 学年第二学期 第三次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.15 2013–2014 学年第二学期 第四次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.16 2015–2016 学年第二学期 第三次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.17 2015–2016 学年第二学期 第四次测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.18 2019–2020 学年第二学期 第 10–11 章测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.19 2019–2020 学年第二学期 第 12 章测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.20 2019–2020 学年第二学期 第 13 章测试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.21 2007–2008 学年第二学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.22 2012–2013 学年第二学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.23 2013–2014 学年第二学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.24 2015–2016 学年第二学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.25 2016–2017 学年第二学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.26 2017–2018 学年第二学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.27 2018–2019 学年第二学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.28 2019–2020 学年第二学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.29 2020–2021 学年第二学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.30 2021–2022 学年第二学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
目录 目录v 第3部分数学分析(B3) 73 3.12020-2021学年第一学期期中考试 73 3.22018-2019学年第一学期期末考试..... 74
目 录 目 录 v 第 3 部分 数学分析 (B3) 73 3.1 2020–2021 学年第一学期 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2 2018–2019 学年第一学期 期末考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
第1部分 数学分析(B1) 1.1中国科学技术大学2011-2012学年第一学期 数学分析(B1)第一次测试 1.(10分)用数列极限的定义证明：，2n十imn=2 2.(10分)设函数f(x)在x>0有定义，请叙述极限limf(x)存在且有限的Cauchy收敛 元→十。X 准则. 3.(40分，每小题10分)求下列极限（其中n均为正整数）： (1)lim n Vn+sin1-vn (21i x3-x2+2x-2 x2-1 (3)lim(2”+3"): n→0o (4)1im(2-cosx)立 x→0 4.(10分)设正数列{an}满足an+1≤ban,n=1,2,…,其中00.求证： (1)lim 工收敛： → (2)存在常数a使得对任意x,有f(x)-ax≤M
第 1 部分 数学分析 (B1) 1.1 中国科学技术大学 2011–2012 学年第一学期 数学分析 (B1) 第一次测试 1. (10 分) 用数列极限的定义证明: limn→∞ n 2n + sin n = 1 2 . 2. (10 分) 设函数 f(x) 在 x > 0 有定义, 请叙述极限 lim x→+∞ f(x) 存在且有限的 Cauchy 收敛 准则. 3. (40 分, 每小题 10 分) 求下列极限 (其中 n 均为正整数): (1) limn→∞ n 3 2 r n + sin 1 n − √ n ! ; (2) limx→1 x 3 − x 2 + 2x − 2 x 2 − 1 ; (3) limn→∞ (2n + 3n ) 1 n ; (4) limx→0 (2 − cos x) 1 x2 . 4. (10 分) 设正数列 {an} 满足 an+1 ⩽ ban, n = 1, 2, · · · , 其中 0 0. 求证: (1) limx→∞ f(x) x 收敛; (2) 存在常数 a 使得对任意 x, 有 |f(x) − ax| ⩽ M. 1
21.22011-2012学年第一学期第二次测试 第1部分数学分析(B1) 1.2中国科学技术大学2011-2012学年第一学期 数学分析(B1)第二次测试 1.(50分)计算题. (1)求函数f(x)=xer在R上的最大值，最小值和凸凹区间： (②)计算极限m（1+》 e-; (3)计算极限 2cosx-V1+6x-e-3z ln(1-x2) (4)计算2，精确到10-3.（注意：要求给出计算过程，不允许使用计算器） (5)水果公司在对其最新电子产品iDayDream售前市场调研发现，如以3000元的价格 出售iDayDream,会有一百万顾客有购买意向，此时每台iDayDream会有l0O0元的利润； 而每当价格提升或降低100元，潜在顾客会在原来基础上降低或增加5%.试求对水果公 司而言DayDream的最佳定价以及此时的利润.（在计算中，你可以使用：当x靠近0时， ln(1+x)≈x) 2.(10分设多项式f回)=e-m,其中k≥2，…，m为正整数，且∑%=n i=l x10，≤三+当 4.(10分)设函数f(x)在区间[-A,A(A为正常数)上满足f”=-f.证明： f(x)=f(0)cosx+f(0)sinx. 5.(20分)设f(x)在[a,b1上一阶可导，在(a,b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b)> 0.证明： (1)存在ξ∈(a,b),f()=0; (2)存在a<51<2<b,f(51)=f(ξ1)，f'(2)=f(2): (3)存在n∈(a,b),f"(n)=f()
2 1.2 2011–2012 学年第一学期 第二次测试 第 1 部分 数学分析 (B1) 1.2 中国科学技术大学 2011–2012 学年第一学期 数学分析 (B1) 第二次测试 1. (50 分) 计算题. (1) 求函数 f(x) = xe −x 2 在 R 上的最大值, 最小值和凸凹区间; (2) 计算极限 lim x→+∞ 1 + 1 x x 2 e −x ; (3) 计算极限 limx→0 2 cos x − √ 1 + 6x − e −3x ln(1 − x 2 ) ; (4) 计算 √4 2, 精确到 10−3 . (注意: 要求给出计算过程, 不允许使用计算器) (5) 水果公司在对其最新电子产品 iDayDream 售前市场调研发现, 如以 3000 元的价格 出售 iDayDream, 会有一百万顾客有购买意向, 此时每台 iDayDream 会有 1000 元的利润; 而每当价格提升或降低 100 元, 潜在顾客会在原来基础上降低或增加 5 %. 试求对水果公 司而言 iDayDream 的最佳定价以及此时的利润. (在计算中, 你可以使用: 当 x 靠近 0 时, ln(1 + x) ≈ x) 2. (10 分) 设多项式 f(x) = Y k i=1 (x − xi) ni , 其中 k ⩾ 2, n1, · · · , nk 为正整数, 且 X k i=1 ni = n, x1 0, x1x2 ⩽ x p 1 p + x q 2 q . 4. (10 分) 设函数 f(x) 在区间 [−A, A] (A 为正常数) 上满足 f ′′ = −f. 证明: f(x) = f(0) cos x + f ′ (0)sin x. 5. (20 分) 设 f(x) 在 [a, b] 上一阶可导, 在 (a, b) 内二阶可导, 且 f(a) = f(b) = 0, f ′ (a)f ′ (b) > 0. 证明: (1) 存在 ξ ∈ (a, b), f(ξ) = 0; (2) 存在 a < ξ1 < ξ2 < b, f ′ (ξ1) = f(ξ1), f ′ (ξ2) = f(ξ2); (3) 存在 η ∈ (a, b), f ′′(η) = f(η)
第1部分数学分析(B1) 1.32012-2013学年第一学期第一次测试3 1.3中国科学技术大学2012-2013学年第一学期 数学分析(B1)第一次测试 1.(20分，每小题5分)判断下列命题的真伪，并说明理由 (1)若对任意e>0,存在无穷多个n,使得lan-ad0,存在正整数N,当n>N时，lan-aw1,x1>0,cn+1= a1+m）(m=1,2,求im a+In 68分)设a之上判断数列o}的收敛性 k=1 7.(8分)设数列{an}满足1im=0,证明：1 lim max{a}=0. 2→oon n→on1≤k≤n
第 1 部分 数学分析 (B1) 1.3 2012–2013 学年第一学期 第一次测试 3 1.3 中国科学技术大学 2012–2013 学年第一学期 数学分析 (B1) 第一次测试 1. (20 分, 每小题 5 分) 判断下列命题的真伪, 并说明理由. (1) 若对任意 ε > 0, 存在无穷多个 n, 使得 |an − a| 0, 存在正整数 N, 当 n > N 时, |an − aN | 1, x1 > 0, xn+1 = α(1 + xn) α + xn (n = 1, 2, · · ·). 求 limn→∞ xn. 6. (8 分) 设 an = Xn k=1 (−1)k−1 k , 判断数列 {an} 的收敛性. 7. (8 分) 设数列 {an} 满足 limn→∞ an n = 0, 证明: limn→∞ 1 n max 1⩽k⩽n {ak} = 0
41.42012-2013学年第一学期第二次测试 第1部分数学分析(B1) 1.4中国科学技术大学2012-2013学年第一学期 数学分析(B1)第二次测试 1.(35分，每小题5分)计算题. (1)x2e2的n阶导数： (2已知sin(r)+y2=,求 (用心，y的函数表示) x (3)lim 1-cos z2 0 x3 sinx (4)1imx(a2-b),a,b>0: 工+C0 (5)lim 1+x)是） →0 e 1-cos cos 24 cos3x (6)lim 工→0 1-cos (7)求函数lnx,x>0的曲率 2.(10分)求证：A:=max{元：n=1,2,…}存在，并求出相应的no使得pno=A. tan2(ar) 3.(10分)求常数a,b使得f(x)= x>0,在定义域上可导。 (2a-1)x+b,x≤0 4.(15分)设函数f在区间I上可导.证明：f(x)在I上一致连续的充分条件是导函数有 界，并举例说明必要性不成立 5.(15分)设有界闭区间[a,b上函数f(x)满足 f(Ax+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-A)f(y),x,y∈[a,,入∈(0,1)， 证明：f(x)在[a,bl上有界. 6.(15分)设f(x)在x=0附近有二阶连续导数，且"(0)≠0.求证：对任意x,若x充 分小，则存在唯一的0∈(0,1)，使得f(x)=f(0)+f'(0x)x,并求lim0. ℃→0
4 1.4 2012–2013 学年第一学期 第二次测试 第 1 部分 数学分析 (B1) 1.4 中国科学技术大学 2012–2013 学年第一学期 数学分析 (B1) 第二次测试 1. (35 分, 每小题 5 分) 计算题. (1) x 2 e x 的 n 阶导数; (2) 已知 sin(xy) + y 2 = x, 求 dy dx . (用 x, y 的函数表示) (3) limx→0 1 − cos x 2 x 3 sin x ; (4) limx→∞ x(a 1 x − b 1 x ), a, b > 0; (5) limx→0 (1 + x) 1 x e !1 x ; (6) limx→0 1 − cos x cos 2x cos 3x 1 − cos x ; (7) 求函数 ln x, x > 0 的曲率. 2. (10 分) 求证: A := max{ √n n : n = 1, 2, · · · } 存在, 并求出相应的 n0 使得 n0 √ n0 = A. 3. (10 分) 求常数 a, b 使得 f(x) = tan2 (ax) x , x > 0, (2a − 1)x + b, x ⩽ 0 在定义域上可导. 4. (15 分) 设函数 f 在区间 I 上可导. 证明: f(x) 在 I 上一致连续的充分条件是导函数有 界, 并举例说明必要性不成立. 5. (15 分) 设有界闭区间 [a, b] 上函数 f(x) 满足 f(λx + (1 − λ)y) ⩽ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ [a, b], λ ∈ (0, 1), 证明: f(x) 在 [a, b] 上有界. 6. (15 分) 设 f(x) 在 x = 0 附近有二阶连续导数, 且 f ′′(0) 6= 0. 求证: 对任意 x, 若 |x| 充 分小, 则存在唯一的 θ ∈ (0, 1), 使得 f(x) = f(0) + f ′ (θx)x, 并求 limx→0 θ
第1部分数学分析(B1) 1.52013-2014学年第一学期第一次测试5 1.5中国科学技术大学2013-2014学年第一学期 数学分析(B1)第一次测试 1.(10分)用数列极限的定义证明：2n+-V万=2 2.(18分，每小题9分)判别下面两个极限是否收敛： (1)1im(-1)网 x+1 gm乃k n→o0 k=1 3.(32分，每小题8分)求下列极限：（其中n均为正整数） 1 ①n+(-1V厉 n00 (2)lim(1 In(2x+1)) 3)期 x+1-1 (4)lim ((n.+In n)a-na)(a(0,1)) 4.(15分)设g(x)在(-oo,+o)上是单调函数，f(x)=sig(x).求证：f(x)在任意点xo的 左右极限都存在。 5.(15分)设数列{a}收敛于a,且相邻两项之差为整数.求证：从某项开始都有an=a. 0分)设@1=1，an+1=1+乙(n∈N求证：{o}收敛，并求其
第 1 部分 数学分析 (B1) 1.5 2013–2014 学年第一学期 第一次测试 5 1.5 中国科学技术大学 2013–2014 学年第一学期 数学分析 (B1) 第一次测试 1. (10 分) 用数列极限的定义证明: limn→∞ n 2n + (−1)n √ 2 = 1 2 . 2. (18 分, 每小题 9 分) 判别下面两个极限是否收敛: (1) lim x→+∞ (−1)[x] x x + 1 ; (2) limn→∞ Xn k=1 (−1)k−1 ln k k 3 . 3. (32 分, 每小题 8 分) 求下列极限: (其中 n 均为正整数) (1) limn→∞ Xn k=1 1 n + (−1)k √ k ; (2) limx→0 (1 + ln(2x + 1)) 1 sin x ; (3) limx→0 √n x + 1 − 1 x ; (4) limn→∞ ((n + ln n) α − n α ) (α ∈ (0, 1)). 4. (15 分) 设 g(x) 在 (−∞, +∞) 上是单调函数, f(x) = sin g(x). 求证: f(x) 在任意点 x0 的 左右极限都存在. 5. (15 分) 设数列 {an} 收敛于 a, 且相邻两项之差为整数. 求证: 从某项开始都有 an = a. 6. (10 分) 设 a1 = 1, an+1 = 1 + 2 an (n ∈ N ∗ ). 求证: {an} 收敛, 并求其极限