中国辩空我术大学 University of Science and Technology of China 第三章单变量函数的微分学 §3.1导数 §3.2 微分 §3.3 微分中值定理 §3.4未定式的极限 育創 §3.5 函数的单调性与凸性 天下 寰宇 来 學 §3.6 Taylor展开 才府
1 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 第三章 单变量函数的微分学 §3.1 导数 §3.2 微分 §3.3 微分中值定理 §3.4 未定式的极限 §3.5 函数的单调性与凸性 §3.6 Taylor展开
3.1导数 第二章1 单变量函数的微分学 §3.1 导数 1.导数的定义与性质 导数的四则运算 复合函数的求导 反函数的求导 2.导数的计算 基本初等函数的导数 高阶导数 参数方程表示的函数的导数 隐函数的导数 2
2 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 §3.1 导数 1. 导数的定义与性质 导数的四则运算 2. 导数的计算 复合函数的求导 反函数的求导 基本初等函数的导数 隐函数的导数 参数方程表示的函数的导数 高阶导数
3.1导数 第二章】 单变量函数的微分学 问题1：变速直线运动的瞬时速度 s(t)s(t+△t) 0 to △t △S 匀速运动： s(t+△t)-s(to) V= △t △t 而在t,时刻的瞬时速度定义为 △S v()=lim lim s(t+△t)-s(t) △1→0 △t △1→0 △t 3
3 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 匀速运动： 而在 时刻的瞬时速度定义为 问题1: 变速直线运动的瞬时速度 O 0 t t 0 s t( ) 0 s t t ( )
3.1导数 第二章 单变量函数的微分学 问题2求曲线的切线 在曲线y=f(x)上一点P(x,y)切线，定义为割线PQ,当Q 沿曲线趋近于P时的极限位置 割线的斜率： △y=f(x)-f(x) y=f(x) △x x-xo 切线的斜率： lim f(x)-f(x) x→x0 △x x→x0 x-Xo lim f(x+△x)-f(x) →X x Ax→0 △x 4
4 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 问题2 求曲线的切线 割线的斜率： 切线的斜率： 在曲线 上一点 切线，定义为割线 ，当 沿曲线趋近于 时的极限位置
3.1导数 第二章 单变量函数的微分学 瞬时速度：v(t)=lim △S lim s(t+△t)-s(t) At-0△t △1→0 △t 切线斜率：k=lim f(x+△x)-f(x) △x→0△X △x→0 △x 无论是物理中的从平均速度到瞬时速度，还是几何上的从割线到切线，抽象 地说，都是刻划函数在一点的变化率，或者说是在一点函数的变化量与自变 量的变化量之间的比率. 将其抽象出来，就有了关于导数的定义. 5
5 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 瞬时速度： 切线斜率： 无论是物理中的从平均速度到瞬时速度，还是几何上的从割线到切线， 抽象 地说，都是刻划函数在一点的变化率，或者说是在一点函数的变化量与自变 量的变化量之间的比率. 将其抽象出来, 就有了关于导数的定义
3.1导数 第二章 单变量函数的微分学 定义：设函数y=f(x)在点x,的某个邻域内有定义，若极限 lim f(x+△x)-f(x) 存在，则称函数y=f(x)在点x,处 △x→0 △x 可导，其极限值称为函数y=f(x)在x,处的导数或微商，记为 df(x) d dr x=x0 导数的几何意义：切线的斜率 y=f(x) T f(xo)=tana 切线方程为： y-f(xo)=f(xo)(x-xo) X 6
6 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 设函数 在点 的某个邻域内有定义，若极限 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x 定义： 存在，则称函数 其极限值称为函数 记为 在点 处 可导， 在 处的导数或微商， 导数的几何意义： 切线的斜率 0 f x ( ) tan 切线方程为： 0 0 0 y f x f x x x ( ) ( )( )
3.1导数 第二章 单变量函数的微分学 导数存在的条件 f'(x)=lim f(x+△x)-f(xo) 导数 △x>0 △x ()lim f(x+△x)-f(x) 左导数 Ar->0 △x fx) lim f(x+△x)-f(x) 右导数 Ax→0 △x 定理：函数f(x)在x处可导的充要条件是它的左、右导数存在 且相等。 7
7 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 左导数 右导数 定理：函数 在 处可导的充要条件是它的左、右导数存在 导数存在的条件 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x f x( ) 0 x 且相等. 导数
3.1导数 第二章 单变量函数的微分学 命题：函数在某点可导，则一定在此点连续，反之不然.即： 可导 连续 证明：若f(x)在x可导，则f'()=1im f(x+△)-fx存在 △x→0 △x 于是limf(x+△x)-f(x,)=1i f(x+△x)-f(xo).Ax △x→0 △x =f'(xo)·lim Ax=0.即f(x)在x处连续 △x>0 例：1.f(x)=|x在x,=0处连续，但不可导 8
8 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x 命题：函数在某点可导，则一定在此点连续，反之不然. 即： 证明：若 在 可导，则 可导 连续 存在, 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim x x f x x f x f x x f x x x 0 0 '( li ) m x f x x 0. 即 在 处连续. 于是 例：1. 在 处连续，但不可导
3.1导数 第二章 单变量函数的微分学 例：Weierstrass function:处处连续，处处不可导. f(x)=2acos(bπx 00, ab>1+ 3π 2 e572 9
9 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 例：Weierstrass function: 处处连续，处处不可导
3.1导数 第二章】 单变量函数的微分学 定义：如果y=f(x)在区间I的每一点都可导，则称y=f(x) 在I上可导，f'(x)是I上一个函数，称为.f(x)的导函数.如果区 间I包含有端点，则在该端点处，f(x)只需有相应的单侧可导性 f(x)的导函数，也可记成y', d dx 常见函数的导函数： 1.c'=0. 2.(x）=r.3.(sin刘j=cosx 4.(cos刘j=-sinx5.(log。=.→(nx= X x3,x>0 10
10 3.1 导数 第二章 单变量函数的微分学 定义：如果 在区间 的每一点都可导, 则称 在 上可导， 是 上一个函数，称为 的导函数. 如果区 间 包含有端点，则在该端点处， 只需有相应的单侧可导性. 常见函数的导函数： 的导函数, 也可记成 等. 3 2 , 0 ( ) , , 0 x x f x x x 例： 求 f x ( )