一、求极限的方法 1.初等函数在定义区间内都是连续的，而连续点 设imf()=1,img()=o,对于“1"”型未 处极限等于函数值，即imf()=f(x)· 定式，一般有两种解法： m1+cosx)-(1+1)=23=8 四+六将x-子代入1+0- 3 （1)limf(x)=e=f( 而mg()mW=imr四是a9,型未定 1 0 为“1”型未定式，需要凑重要极限。 g(x) (1)注意极限过程！ 式，可用洛必达法则求解 意 (2)将x→x,代入，一般会得到各种未定 式，不同类型的未定式采取不同方法计算. 2.有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小 设lim(x)=0,lim(x)=o,则 3.x→0时，两个多项式商的极限 lim1+ 0, nm. 而im[r(e)-g9=m)-是“0型 1 0 分子次数小于分母次数时，极限为零： 分子次数大于分母次数时， 极限为无穷大： g(x) 分子与分母次数相同时，极限为最高次项系数的商 未定式，可用洛必达法则求解. 4.计算极限时，作为因式的无穷小可以用其等价无穷 小代换. (1)对8”、“吕”型未定式直接适用： 必 →0时， (2)对“00”型未定式，可通过恒等变形化 sin u~u,tan u~u,arcsin u~u,arctan u~u 法 e"-1~4,ln(1+)~4, 为8”或“”型，即 1o号+-1 2 f9g9→四或了9g9→89 1 g(x) f(x) 这里u可以是自变量，也可以是中间变量 (3)对“1”、“0”、“0”型未定式，可 例109-1-1 经f)=e/化为“0-o”型. 例207-11求极限im2x-1 例4 1 g2n交 1.1im sina 第12-21设/满足吗-1，且当x→0时， =心e器- In(cosx是比xf(x)高阶的无穷小，而xf(x)是比 (如厂-卿片皓剖 si加x= e血x-1高阶的无穷小，求正整数n. 5.凑重要极限 1 因为=（出}-- -h吗d+-e 这里可以是自变量，也可以是中间变量 所以（护
8.变量代换 例5 当x→0时，t=→0：当x0时，1=上→0 x-sinx x-sinx x-sinx 例1210-1-1 盟n(a时) 例1316-2(1) 1 例413-11设g73周9 注意洛必达法则应与其他求极限方法综合运用， 例1508-2试确定常数，c的值，使得当x→+o时， 比如先用等价无穷小代换将函数化简. aresin( 定理如果函数f(x)在区间[a,b上连续，则积分上 9.泰勒公式 限的函数 )=f0 如果函数f(x)在含有x。的某个开区间(a,b)内具有直 在[a,b)上具有导数，并且它的导数是 到(n+1)阶的导数，则当xe(a,b)时，有： x)=f(x)(a≤x≤b) f9=f+rXx-+x- 2! 推论当积分上下限是x的函数时，看做中间变量 ("r- ++x-y+ol[0e-w门 n! 当，=0时即为麦克劳林公式： rar)tad f=j0+rox+0x++0x+ox） 2! n! F'(e-t-Dat 常用n-1或n-2的情形： 例612-2-4计算im f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+o[(x-a)] 例710-24ab为常数me[eau+a-b, -)+rXx-a+(x-a+o[x-a] 求a,b. 2: 提示： f"eax- f()=f(0)+f'(0)x+o(x) 2 7.恒等变形 =f0+rox+g0e+o(r) 2! 可以用分子（分母）有理化，三角公式、提 取公因式、通分等恒等变形技巧将一个未定式转 9=j0+'ox+f0e+I0x+o(x) 化为其他类型的未定式来计算. 2 3 sin'x 刚11-3-11+x5nx-cosx tanx-sinx 例如，求极限im 时， 17-3-1 lim [sin In(x+1)-sinlnx] x0xx+x)-x-x+0() 2 3! 6 例1010-3-1 imsi如(+n tm=0n+员r+景r+的-x++) 1 练习15-3-1 limnsin(vn+1 x+)- 例11设0<a<b,求lima"+b. 父+o_1 =2 =2
例1609-1-3已知函数f(x)在x=0的某个邻域内有 1.若m,(四=mf,即mf存在， 连续的导激，且-（如+ -2,试求f(0) 但f(x)不存在或者imf(x)≠f(x),则点 及f'(0 称为()的可去间断点. 2.若m,9卡i四四，则点七称为(9 练习11-1-2设函数f(x)在点x=a处的二阶导数存 x-+ J(a+)-J(a)-f(a) 的跳跃间断点。 h 可去间断点和跳跃间断点的共同特征是左右极限 在，求四 都存在，统称为第一类间断点：不是第一类间断 点的任何一类间断点，称为第二类间断点 10.杂题 例1713-2-2求极限1im sinxiax 3.若，=心或f=0,则点称 为f(x)的无穷间断点。 1 例1808-1-4设()=+ae在（←0+回内连续， 4.函数f(x)在点七没有定义，当x→七时， 且imf(x)=0，则imf(x)=一，1f()=一 函数值在常数a、b之间变动无限多次，则点x。 (cosx-b)sinx=5 ,,b. 称为f(y的振荡间断点，如点x=0是函数sm 例1915-1-2若im e-a 的振荡间断点。 函数的间断点一般有两种： 例2017-2-1设对任意的实数x, 1.初等函数(x)在点没有定义而在x的去心 总有)≤f(x)≤g(9,且im[g9-网x]=0, 邻域内有定义，则点x。一定是(x)的间断点. 则imf()【】 这时，一般直接求极限1m了(：)即可，除非遇到 (A)存在且等于零(B)存在但不一定等于零 lim e"-oo lim e"=0, (C)一定不存在 (D)不一定存在 lim arctan=.lim arctan u=- 2 才需要分左右求极限。 最后，根据极限情况判断间断点类型。 二、间断点的判别 ~的间断点并指出其类型， 判别函数f(x)在点处的连续性，首先要求∫() 例1求函数r9=1 在点x。的某去心邻域内有定义，如果 I-e mf()f(x) 例2求函数(x)= Inxl 则称f(x)在点七处连续，否则，为f(x)的间断点. Γx2-3x+2 的间断点并指出其类 型. -x 例3求函数)= cotx 的间断点并指出其类型
「f(,x≤x; 例1设f(x)在x=a处可导，求 2.分段函数f(x)= J(9,x>x0 的分段点x m(a+h)-f(a-2) 处，必须分别求左右极限，然后判断七是否间 断点，是哪种类型的间断点. 解吗a+-1a-2 [x2-1,-1sx<0, =g/a+0-fa-a-2m-a刨 h 例413-2-1设f()=} x,0≤x<1 2-x,1≤x≤2， =-▣a+》/@+2ga-2》f@ h -2h 讨论函数f(x)的连续性并判断间断点类型， =f'"(a)+2f'(a) =3f'(a) 例512-26x=0是函数 分析 由了化)四化+。可以得到 △x f(x)= (sinxx+0. ▣/+A9rG-A剑 △r x2-1,x=0 的【】 -+A0-2,1化-A9- Ar -△r (A)连续点 (B)无穷型间断点 (C)第一类间断点(D)第二类间断点 =2∫'(x) 但是im+Ae)-fs-A) 存在与否与 △r 函数∫(x)在点处的值无关，也就不能推出∫'() 存在与否 三、导数概念 1.函数∫(x)在点x处的导数，是在点七处自变量 1 取得增量△r时，函数值相应的增量△与△x商的 例如函数∫(x) 当△x→0时的极限. 0,x=0. 注1自变量增量用什么符号表示，是△x还是2△x 1 或者-△x等都可以，只要它趋于零，并与函数值 (o+△)roA2Ac0s c05 -△ 增量对应一致，商的极限就是点七处的导数. △r △r 0 注2必须从定点x处取得增量，即 A r)-+Ag-国 =0 =imw- 但是∫(x9在x=0处不连续，所以∫'(O)不存在 h x-xo 自变量起点自变量终点自变量增量 函数值增量 例2函数()在点七处的导数∫'（化）存在，等 价于 6+△x △r f(+△x)-f(x) 州 七+h h f(x+h)-f(xo) A吗+3a-A存在 △r x-x。f()-f(x) r)-+A-f B.m-)存在 x-Xo △ =+- h C.四代+-A9存在 △r lim f(x)-f(xo) 0X-X。 D.m旷（飞+-】存在
例314-2-1设f(0)=0,则函数了(x)在x=0处可导 3.用定义求分段函数分段点的导数 的充要条件是(). ∫x2,x≤ )婴n-刻存在 例807-1-2设f(x)= 在x=1处 lax+b,x>1 可导，求a,b的值 (B)卿1-e内存在 例910-1-2若二次曲线y=ax2+bx+c(0<x<1)将 1 ()行∫仙-)存在 两条曲线l:y=e(-o<x≤0)与L:y=二(1≤x<+oo 1 连接成处处有切线的曲线，求该二次曲线方程 (D)im-[f(2h)-f(h】存在 h-0h 例414-3-1设f(x)为有界函数，f(0)=1, 4.微分定义若y=f(x)在某区间内有定义，x,及 n(1-)+9sx=0,证明函数∫(x在 。+4x在这区间内，如果函数的增量4y可以表示 e-1 为4y=∫(x+△)-∫(x)=A+o(4y),称函数 点x=0处可导，并求f'0). Jy=f(x)在点x。是可微的，dy=AMr称为函数的 微分 例509-4设函数f(x)在(-0，+∞)有定义， 函数∫()在点七处可微 且f'(0)=1,对任意的数七，y恒有等式 A=f(xo) 0 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy dy=f(x)dx 函数f()在点处可导 少 成立，求函数(x)的表达式 函数f(x)在点处连续 2.由条件(1)函数(x)在点x=0处连续； 例10设函数y=f(x)在点x处可导，当自变量x 由x,增加到七+c时，记4y为y=∫()的增量， (2②极限即/四存在四/= dy为y=了四的微分，a=4-,在4c→0 Ax 可以得到： 时，a是 0=g=四[g40-0 A.无穷小B.无穷大C.常数D.极限不存在 例1108-1-2设函数y=f(x)的增量 0=/二0=四.4 x-0xx 4y=V4x-x24x+o(4, 则f'xar= 例6已知回存在，且四在点x=0处连 四.初等函数求导问题 1.函数f(x)在点七处的导数∫'(x),即为其导函 续，则有 数f(x)在点七处的函数值 A.(0不存在 B.'0)不一定存在 例1设f(x)=xnx在x处可导，且f'(x)=2, C.∫'(0)存在但非零 D.∫"(O)存在且为零 则f(x)= 【】 例713-3-2设f(9)在x=0的某邻域内二阶可导， A.0 B.e C.1 D.e 且f"0≠0，lm四=0，m roat 例2设f(x)=x+x(x-1)arcsin x x-)0 sinx =B≠0， x+i,则 求a与B. f')=
2.初等函数求导数或微分 (1)熟记基本初等函数求导公式，四则运算求导 例1213-3-1已知两条曲线y=f(x)与 法则，复合函数求导公式 (2)会利用恒等变形简化运算，如对数函数 y=“edt在点(0，)处的切线相同，写出此 h(g（田=-almJ(+bing(x)-cnA) 切线方程，并求极限月 h(x) 及幂指函数 f(y)）=e86r)mfe) 例1308-4设函数f(x)可导，且f(x)≠0，证 明曲线y=f()与曲线y=f(x)sinx在它们的 (3)会处理抽象函数 (4)对计算结果进行化简。 交点处相切. 5.高阶导数 例312-1-4y=n(x+1+),则y= (sinx)()=sin (e)= 例415-1-1y=x5+5-tan(x2+1),求y. 例5( 1(,>0,滚 (e)w=0 例610-1-5f(Nx)=sinx,则f'f(x)= (目-(er-4m =(-1):x*1 例717-3-1设对任意的xe(-0,+∞)，都有 fx)+2f1-x)=x2-2x,求f'(x). 要学会总结规律而不仅仅是记公式！ 五、中值定理及导数的应用 3.隐函数求导，参数方程确定的函数求导 1.函数单调性的判别和极值的求法 例815-1-3设si血y+e*-g2=0,则 (1)确定定义域： dx (2)求∫'()，得到∫"(x)不存在的点（即不可 导点，奇点)； 例912-3-1设y=()由方程e5+6y+x2-1=0 （3)令∫"(x)=0,解出方程的根（即驻点，使导数 为零的点)； 所确定，求y“(0 (4)驻点和奇点把()的定义域分成若千个区间， 判断每个开区间上∫'(x)的符号，确定函数在对应 例10设"()存在且不为零，求由参数方程 闭区间上的单调性，判定极值点和极值 x=f'(0, 注意(1)在定义域内讨论： y=f'()-f(t) 所确定的函数的二阶导数 d (2)单调区间端点看具体情况： 4.导数的几何意义 判定极值点的第二充分条件 函数y=f()在点七处的导数∫'(x)在几何上表 设函数f(x)在点七。处具有二阶导数且∫()=0， 示曲线y=f(x)在点M(o,∫(x)处的切线斜率 "(七)≠0，那么 明1114曲线-牛8过原点的切线为 （1)当∫"(x)0时，函数(x)在处取得极 小值
例115-2-1设f(x)=x3+a2+r在x=1处取 2.利用单调性证明不等式，证明根的唯一性 得极小值-2，求a,b. 注意单调区间的端点一般是驻点或奇点（导数等 例211-2-1若y=f(x)满足y"+y-e血x=0, 于零或者不存在)，而判断函数单调性要根据导数 且'(x)=0,则fx) 【】 大于零还是小于零（不能包括等于零或者不存在）， 所以必须在开区间内讨论导函数的符号. (A)在x,的某个邻域内单调增加 (B)在七，的某个邻域内单调减少 注意因为利用单调性证明不等式需要将区间内部 的点与区间端点的函数值相比较，所以讨论单调性 (C)在七，处取得极小值 时一定要包括区间端点，即在闭区间讨论函数单调 (D)在处取得极大值 性 例811-2-2若3a2-5b0时，方程：+是=1有 且仅有一个实根，试求k的取值范用. 例60910一条水渠的横断面为等腰梯形（如 3.曲线的凹凸与拐点 图所示)，若渠中水流的横断面积为S,水面 定义设f(9在区间1上连续，如果对I上任意两 高度为h,问如何选取渠边的倾角0，才能使横 点，，恒有 断面被水浸湿的周长最小？ f(s)+f() A.是函数f(x)的极小值 2 B.是函数∫(x)的极大值 (即连接任意两点的弦总位于这两点间的弧段的下 方)则称(x)在I上的图形是向上凸的 C.不是函数∫(x)的极值 D,不一定是函数f(x)的极值
六、不定积分 定理设f()在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶 1.不定积分概念 和二阶导数，那么 若F'(x)=f(x),则称F(x)是f(x)的一个原函 (1)若在(a,b)内f"(x)>0,则f(x)在[a,上 数，∫f(x)x=F(x)+C为函数f()的不定积分 的图形是凹的： 例112-1-3已知[f(x)dr=e+C, (2)若在(a,b)内f"(x)0,∫'(x)0, 0 ∫“(x)0, 例407-4设函数f(四在(-0，+∞)内可导，且 则【】 f0=0,又f'm)= 1,01, 在(-o,+o)内的表达式. C.4<dy<0 D.0<d<4y 练习161-1设f(sinx)=cos°x,求f(x). 3.第二类换元法 例1312-22设f(x)有二阶连续的导数，且 被积函数中含有Va-x时，令x=asint,则 0-,1.则 √a-x=acost,dx=acostdt,被积函数转化为 (A)f(O)不是f(x)的极值，(O,f(O)不是曲线 三角函数.需要注意不定积分完成后要利用x=asint y=(x)的拐点 的反函数将t换回x,可设1为直角三角形的一个 锐角，如图： (B)f(O)是f(x)的极小值 由smt=设角t的对边为x, (C)(0,f(O)是曲线y=f(x)的拐点 a 斜边为a,则邻边为√a2-x, (D)f(O)是f()的极大值 角t的三角函数表达式都可得出
5.有理函数积分 类似地， 当被积函数中含有Vx+a时，令x=atant, 首先将假分式化为多项式和真分式之和，例如： x 1 当被积函数中含有√x2-a时，令x=asect. +1+x 然后将真分式的分母分解因式，进而将真分式分 x+v1-x 解为部分分式之和，例如： 1 AB C 例6∫xv1+xar xD)xx1x+1 1 A B Cx+D xa+x巧x++x+1 除了上述三角代换，还可以根据被积函数的情况 x-2 采取其他代换，例如： x2-3x+1+x-3 例7 dx 当被积函数的分母是二次质因式（实数域内不能分 解)时，先拿分子凑分母的导数： 例8 , (2x-2) 1 dx x2-2x+3 当被积函数分母次数高于分子二次以上时，可使 其中片 1rd(x2-2x+3) 用倒代换x片 2x2-2x+3 dx d(x-1) 例 J(x-1)2+(N2 4.分部积分法 除了由基本初等函数的求导公式推出的基本积分表， ∫uwv'dr=jadv=uv-Jdu=w-∫v'dr 以下积分公式也要熟记： 一般地，我们应该选择“反对幂三指”中前面的函 ftanxdx=-In|cosx+C 数作为)，余下的部分作为'(x),将v'dx ∫cot xdx=Inlsin+C 转化为[vm'dx. [secxdx =In |seex+tanx|+C esadx-mlacx-c0tx1+Cta+C 例1014-1H1已知f(田)的一个原函数是s血x t, a a 求∫yf(x)dr 。六 +C 例1110-3-2设f0m9=n1+9,计算rxax. 例12095 jex+v++c c
七、积分上限的函数 3.导数的应用 定理如果函数∫()在区间[a,b上连续，则积分上 例310-2-2设f()在【a,上连续，且f(9>0, 限的函数 )-∫f0a 在[a,b)上具有导数，并且它的导数是 则方程广70a+和=0在a创内有几个实 ()=f(x)(a≤x≤b) 根？ 推论当积分上下限是x的函数时，看做中间变量 例410-3-3设∫(x)满足 (o =f[B(x)1B(x) fu-w=￡ +e3-1, ra =f[B(x)IB(x)-f[ax)la(x) 求∫(9的极值与渐近线。 积分6f(知)也是x的函数，可以令u=过， 则ar=aa, 由定积分的换元法， ①若mfx)=o,则x=为)=f(的铅直渐近线： roau-2rwau-foau. ②若im∫(x)=A,则=A为y=∫()的水平渐近线： ③若y=c+b为y-()的斜渐近线，则 对积分rx-，令=x-1即1=x-u, limf(y-(+b刎=0， 则dt=du,由定积分的换元法， S(x-t)ar=5(x-f((-1)du 从而k=m四，b=婴了-创. =i(-f(01au=xfodu-j)g(oa. 八、定积分的计算 1.积分上限的函数求导 1.利用对称性，几何意义及公式计算定积分 0, ∫rac= f(-x)=-f(x 例115-5设函数f(x)连续，且 2f(xax,(-x)-f(x). ax-nat-arcta 意利用双对称性简化定积分运算，必须同时满 已知f四=1，求fxax的值. 足 (1)积分区间关于原点对称， (2)被积函数是奇函数（图形关于原点对称）， 或者被积函数是偶函数（图形关于y轴对称）· 定积分几何意义：对应图形面积的代数和， 2.洛必达法则求极限 (sin xs (rat, 例215-4设F(x) 0, x=0,其中 f(l.x)x=-2f月f(inx)dx In(1+x) x<0 月rin9ar-j月f0os9r 连续，且g八四-2，求F0 月sin'xdr n为奇数 x =fcos'xdx=n-1.n-3. (2. 3 n n-2 52n为偶数 1π
