广东工业大学：《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 多元函数的微分法及其应用

ch8多元函数微分法及其应用 §1多元函数的基本概念 多元函数的概念 二元函数的极限 二元函数的连续性

多元函数的概念 二元函数的极限 二元函数的连续性

一、多元函数的概念 1.定义 例1V=πr2h r,h(r>0,h>0)可独立取 值，取定一对值，V随之确定· 例2 电流通过电阻所作的功 P与R,I,t P=I2Rt I,t,R可独立取值，取定一组值，P随之 确定

1.定义 , , . , ( 0, 0) 2 值 取定一对值 随之确定 可独立取 V V  r h r h r  h  . , , , , , , 2 确定 可独立取值 取定一组值 随之 电流通过电阻所作的功 与 I t R P P I Rt P R I t  一、多元函数的概念 例1 例2

定义（二元函数） 设有变量x,y和z,若当x,y在一定范围内 任意取定一对值，量按照一定法则，总有 确定的数值与它们对应则称z是x,y的 二元函数. 记作z=f(x,y,或z=z(x,y) 其中：x,y--称为自变量.z--因变量， x,y的变化范围--定义域D zz=f(x,y),(x,y)∈D}值域

. , , , , , , , 二元函数 确定的数值与它们对应 则称 是 的 任意取定一对值 量 按照一定法则 总有 设有变量 和 若当 在一定范围内 z x y z x y z x y   值域 的变化范围 定义域 其中 称为自变量 因变量 z z f x y x y D x y D x y z         | ( , ), ( , ) , : , . . 定义(二元函数) 记作z  f x, y,或z  zx, y~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~

注 ()可类似定义三元函数u=f(x,y,z) 以及三元以上的函数. 例2表明P是R,I,t的函数. 二元及二元以上函数统称为多元函数 (2)数轴上的点←→实数x U=f(x) 平面上的点→(x,y)→U=f(x,y) 空间上的点(x,y,z)U=f(x,,z) 可统一简记为U=f(P),称为点P的函数

注   . (1) , , 以及三元以上的函数 可类似定义三元函数 u  f x y z 例2表明P是R,I,t的函数. 二元及二元以上函数统称为多元函数. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2)数轴上的点  实数x U  f ( x) 可统一简记为U  f P，称为点P的函数. 平面上的点  x, y  U  f (x, y)      空间上的点  x, y,z U  f x, y,z ~~~~~~~~~~~

2.定义域的求法 二元函数z=f(x,y)的定义域D求法： 一切使算式有意义的变量x,y所确定的 点的集合即具有某种意义的点的全体) 例3z=√1-x2-y2 解1-x2-y2≥0，即x2+y2≤1 X 记D:x2+y2≤1 或D={(x,yx2+y2≤1} D:x2+y2≤1

2.定义域的求法 二元函数 z  f ( x, y)的定义域 D求法：  . , 点的集合即具有某种意义的点的全体 一切使算式有意义的自变量x y所确定的 2 2 例3 z  1  x  y 1 0, 1 2 2 2 2 解  x  y  即x  y   ,  1  : 1 2 2 2 2      D x y x y D x y 或 记 x y o : 1 2 2 D x  y 

例4 :=及n(r+月 解 1 x>0; In(x+y) x+y>0 或D={(,)川x>0,y>-x}

ln  0 0; 1     x y x y x x x y x z  ln  1 例4 解 x y o       y x x D 0 : D  x y x y x  y x x D           , 0, 0 : 或

3.一些概念 邻域以P(x,y为中心6>0为半径的圆的内 部点的全体一点P的6邻域记U(P,6) ppo<δ 即V(,6)=x,yx-xP+-}<6y 内点设E为平面点集，点P∈E, 且存在U(P,6)cE, P就称为E的内点. 开集若E的点都是内点，则称之开集（例4）

3.一些概念        , , 0 0 0 0 0 0 P U P P x y 部点的全体 — 点 的 邻域记 邻域 以 为中心  为半径的圆的内  ,  { ,     } 0 2 2 0 2 0 0          pp P 即U P x y x x y y   . , , , , 就称为 的内点 且存在 设 为平面点集 点 P E U P E E P E    内点 开集 若E的点都是内点 ,则称之开集 例4.  P0 E P

边界 如果点P的任一个邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点（点P本身可以属于E, 也可以不属于E),则称P为E的边界点， E的边界点的全体称为E的边界. 例3圆周x2+y2=1为 D:x2+y2<1的边界 连通性设D是开集. 如果对于D内 任何两点，都可用折线连结 起来，且该折线上的点都属 于D,则称开集D是连通的

也可以不属于 ），则称 为 的边界点． 也有不属于 的点（点 本身可以属于 ， 如果点 的任一个邻域内既有属 于 的点， E P E E P E P E D E 的边界点的全体称为 E 的边界． 于 ，则称开集 是连通的． 起来，且该折线上的点 都属 任何两点，都可用折线 连结 设 是开集．如果对于 内 D D D D             ： 的边界 例 圆周 为 1 3 1 2 2 2 2 D x y x y ~~~~~~ ~~~~ 边界 E P ~~~~~~ 连通性

区域 连通的开集称为区域或开区域， 例如，{(x,y)川1<x2+y2<4. X 闭区域开区域连同它的边界一起称为闭区域. 例如，{(x,y)川1≤x2+y2≤4

区域 连通的开集称为区域或开区域． {( , ) | 1 4}. 2 2 例如， x y  x  y  x y o {( , ) | 1 4}. 2 2 例如， x y  x  y  x y o 闭区域 开区域连同它的边界一起称为闭区域. ~~~~~~

有界点集 对于点集E如果存在正数K,使一切点P∈E与 某一定点A间的距离AP不超过K,即AP≤K 对一切P∈E成立，则称E为有界点集，否则称 为无界点集。 例如，{(x,y)川1≤x2+y2≤4} 有界闭区域； (x,y)x+y>0} 无界开区域

为无界点集． 对一切 成立，则称 为有界点集，否则称 某一定点 间的距离 不超过 ，即 对于点集 如果存在正数 ，使一切点 与 P E E A AP K AP K E K P E    {( x, y)| x  y  0} 有界闭区域； 无界开区域． x y o 例如，{( , )|1 4} 2 2 x y  x  y  有界点集