中国斜空我术大学 University of Seience and Technology of China Mathematics Analysis Bl 数学科学学院 张明波 mbzhang@ustc.edu.cn 育創 2022年9月 嚴濟感 天下 寰宇 英 學 题 才府
1 前 言 第一章 极限 Mathematics Analysis B1 数学科学学院 张明波 2022年9月 mbzhang@ustc.edu.cn
前言 第一章 极限 数学分析是研究实数、函数和极限的基本理论的数学分支，又称 高级微积分.一般以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容， 并包括它们的理论基础的数学学科. 实数理论 微分学：极限理论、导数、微分等 微积分 积分学：定积分、不定积分 内容 微积分基本定理 常微分方程初步 级数 3
3 前 言 第一章 极限 内容 微分学：极限理论、导数、微分等 积分学：定积分、不定积分 微积分基本定理 数学分析是研究实数、函数和极限的基本理论的数学分支, 又称 高级微积分. 一般以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容， 并包括它们的理论基础的数学学科. 级数 微积分 常微分方程初步 实数理论
前言 第一章 极限 微积分的萌芽 古代数学家的极限、积分思想 朴素、典型 ◆割圆术（魏晋刘徽） 的极限概念 ◆一尺之棰，日取其半，万世不竭（《庄子杂篇天下》) ◆圆周率、球体积、球表面积的研究 （祖冲之、祖暅) ◆号 穷竭法(Euclid,《几何原本》) ◆某些曲线或曲面围成的面积(Archimedes) 5
5 前 言 第一章 极限 古代数学家的极限、积分思想 ◆ 割圆术（魏晋刘徽） ◆ 圆周率、球体积、球表面积的研究（祖冲之、祖暅） ◆一尺之棰，日取其半，万世不竭（《庄子·杂篇·天下》） 朴素、典型 的极限概念 微积分的萌芽 ◆ 穷竭法(Euclid,《几何原本》) ◆ 某些曲线或曲面围成的面积(Archimedes )
前言 第一章 极限 Archimedes(阿基米德287B.c.-212B.C.)--穷竭法 问题：计算弓形（抛物线与直线BC围成）的面积 B 阿基米德的想法是用无数个三角形去逼近这个弓形，他发现： 每次新画的三角形的面积都是上一轮三角形面积的1/4. △ABC· 6
6 前 言 第一章 极限 阿基米德的想法是用无数个三角形去逼近这个弓形，他发现： Archimedes(阿基米德 287 B.C. --212 B.C. )---穷竭法 每次新画的三角形的面积都是上一轮三角形面积的1/4. 问题：计算弓形(抛物线与直线BC围成)的面积
前言 第一章 极限 刘徽(225.-295)--割圆术 问题：计算圆周率（圆周长），R=1. 割之弥细 失之弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体 而无所失矣 4n:正3.2”边形的边长.→a1=V2-√4-(4=1) 至正24576边形时得到：3.1415926<π<3.1415927 7
7 前 言 第一章 极限 刘徽(225. --295)---割圆术 问题：计算圆周率(圆周长) 正 边形的边长. 至正24576边形时得到：
前言 第一章 极限 微积分的发展 17世纪，生产的发展和科学问题的解决需求，成为促使微积分 产生的因素. ◆运动学方面，物体移动的距离、速度. ◆几何学方面，求曲线的切线方程， ◆优化方面，求函数的最大值和最小值 ◆测量方面，求曲线长度，平面区域面积空间区域体积 物体的重心，两物体的引力等. 无穷小量被引入微分学，但计算仍靠技巧. 8
8 前 言 第一章 极限 17世纪，生产的发展和科学问题的解决需求，成为促使微积分 微积分的发展 ◆运动学方面, 物体移动的距离、速度. ◆几何学方面, 求曲线的切线方程. ◆优化方面, 求函数的最大值和最小值. ◆测量方面, 求曲线长度, 平面区域面积, 空间区域体积, 产生的因素. 物体的重心, 两物体的引力等. 无穷小量被引入微分学，但计算仍靠技巧
前言 第一章 极限 微积分的建立 Newton(1687)和Leibniz(1684)分别发明微积分 微积分基本定理：积分和微分是一对互逆运算 从此微积分成为一门独立的学科，处理很多广泛的问题.微积分的 创立是17世纪科学发展最重要的成就. 你偷了我的微积分> 我独立发现的 早发表 哈哈，我的笔记本 比你早十年… 牛顿 莱布尼茨 9
9 前 言 第一章 极限 Newton (1687) 和 Leibniz (1684)分别发明微积分 微积分的建立 从此微积分成为一门独立的学科，处理很多广泛的问题. 微积分的 创立是17世纪科学发展最重要的成就. 微积分基本定理：积分和微分是一对互逆运算
前言 第一章 极限 18世纪（分析的时代），微积分进一步发展：多变量微积分、无穷 级数、常微分方程、变分法等；基础概念混乱--第二次数学危机 薛定谔家的“无穷小量” dx≠0 dx=0 10
10 前 言 第一章 极限 18世纪(分析的时代)，微积分进一步发展: 多变量微积分、无穷 级数、常微分方程、变分法等; 基础概念混乱---第二次数学危机 薛定谔家的“无穷小量
前言 第一章 极限 极限理论的严格化 直觉不可靠，我们能依靠的只有严密的逻辑和确凿的实验， 如果失去了严密性，数学将什么都不是， 如何使微积分严密化？如何把微积分建立在一个坚实的基础之上？ 19世纪，极限理论的严格化. 时代的著作：Cauchy《无穷小分析》 Veierstrass:采用&-6语言更严格定义极限，并沿用至今. 极限理论严格化的标志性节点是实数理论的建立. 20世纪60年代初，有一个叫鲁滨逊的德国人重新捡起了Leibniz 的无穷小量--非标准分析 11
11 前 言 第一章 极限 19世纪，极限理论的严格化. 划时代的著作：Cauchy《无穷小分析》 直觉不可靠，我们能依靠的只有严密的逻辑和确凿的实验. 如何使微积分严密化？如何把微积分建立在一个坚实的基础之上？ 20世纪60年代初，有一个叫鲁滨逊的德国人重新捡起了Leibniz 的无穷小量----非标准分析 如果失去了严密性，数学将什么都不是. 极限理论严格化的标志性节点是实数理论的建立. 极限理论的严格化 Weierstrass采用 语言更严格定义极限， 并沿用至今
前言 第一章 极限 Riemann、Lebeque等重建积分定义，使之适用性更广 一个函数到底要满足什么条件才是可以求积分的呢？ 20世纪初，Lebeque基于测度定义了适用范围更广的Lebegue积分， 也给出了一个函数是否可积的判断条件. 更多的以微积分为基础的学科（微分几何、微分方程、复分析等） 成为数学的主流，数学分析也进入更复杂和宽广的领域： 12
12 前 言 第一章 极限 更多的以微积分为基础的学科(微分几何、微分方程、复分析等) 成为数学的主流，数学分析也进入更复杂和宽广的领域. 一个函数到底要满足什么条件才是可以求积分的呢？ 20世纪初， Lebegue 基于测度定义了适用范围更广的Lebegue积分， 也给出了一个函数是否可积的判断条件. Riemann、Lebegue等重建积分定义，使之适用性更广