第九章环与域 ·9.1环：两个二元运算的代数结构 。1.环的概念 ·定义9.1：是代数系统，+，·是二元运 算，若满足： (1):是阿贝尔群；(2)：是半群； (3):·对+可分配；则称为环(Ring),+称 为加法，·称为乘法（未必是数加和数乘）；同时 加法么元记为0，加法逆元-x,n次幂为nx,若存 在的话，乘法么元记为1，逆元为x1n次幂为x” 173
1/73 第九章 环与域 • 9.1 环：两个二元运算的代数结构 • 1.环的概念 • 定义9.1：是代数系统，+， ·是二元运 算，若满足： (1):是阿贝尔群；(2):是半群； (3):·对+可分配；则称为环(Ring)，+称 为加法，·称为乘法(未必是数加和数乘)；同时 加法幺元记为0，加法逆元-x，n次幂为nx，若存 在的话，乘法幺元记为1，逆元为 x −1 n次幂为 n x
9.1环 例9-1：（(1)：, ， , 均为环： (2):实数分量的n×n方阵集 合Mn(R),构成环：；(3)： (4)为环。 证：为加群，为半群； a,b∈Zk,有a+kb=(a+b)modk,a×kb=(a×b)modk .a×k(b+kc)=a×k(b+c)modk)=(a●(b+c)modk)modk =(a●(b+c)modk=(a●b+a●c)modk =(a●b)modk+k(a●c)modk=a×kb+ka×kc 同理：(b+kc)×ka=b×ka+kc×a.为环。 (5):(0为加法么元，乘法零元)为环， 称为零环；(6)：(1为乘法么元)为环 2/73
2/73 9.1 环 • 例9-1：(1):， ， ， 均为环；(2):实数分量的n×n方阵集 合 Mn (R) ，构成环： M (R),+, • ；(3): n P(A),, (4): Zk ,+k ,k 为环。 同理： 为环。 ，有 证： 为加群， 为半群； + = + = • + • = + = • + = • + • + = + = • + + = + = + b c a b a c a a b k a c k a b a c a b c k a b a c k a b c a b c k a b c k k a b Z a b a b k a b a b k Z Z k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ( ) ( )mod ( )mod ( ( ))mod ( )mod ( ) (( )mod ) ( ( )mod )mod , ( )mod , ( )mod , , (5):(0为加法幺元，乘法零元)为环， 称为零环；(6):(1为乘法幺元)为环
9.1环 2.环的性质 ·定理9.1：设是环，则对任意的a,b,c有： (1):加法么元必为乘法零元；(2)：(-a)·b=a·( b)=-(a·b);(3):a·(b-c)=a·b-a·c,(b-c) ·a=b·a-c·a;（4):a,beR,∑a,•∑b,=∑a,b 证：(1a●0=a●(0+0)=a●0+a·0,是阿贝尔群， .满足消去律，.a●0=0，同理0·a=0: (2)(-a)·b+a·b=(-a+a)·b=0·b=0,是阿贝尔群， .逆元唯一，∴.(-a●b=-a●b (3)a●(b-c)=a●(b+(-c)=a●b+a●(-c)=a●b+(-a●c) =a●b-a●c,同理(b-c)●a=b●a-c●a (4)略（书上） 3/73
3/73 9.1 环 • 2.环的性质 •定理9.1：设是环，则对任意的a,b,c有: (1):加法幺元必为乘法零元；(2):(-a)·b=a·(- b)=-(a·b)；(3):a·(b-c)=a·b-a·c, (b-c) ·a=b·a-c·a；(4): • = • ai bj R ai bj ai bj , , (4) ( ) ( ) (3) ( ) ( ( )) ( ) ( ) , ( ) ; (2)( ) ( ) 0 0, , , 0 0 0 0 (1) 0 (0 0) 0 0 , 略 书上 ，同理 逆元唯一 是阿贝尔群， 满足消去律 ，同理 ； 证： ， 是阿贝尔群， a b a c b c a b a c a a b c a b c a b a c a b a c a b a b a b a b a a b b R a a a a a a R = • − • − • = • − • • − = • + − = • + • − = • + − • − • = − • − • + • = − + • = • = + • = • = • = • + = • + • +
9.1环 >中·不一定满足交换律，也不一定有幺 元，但一定有零元。 •3.子环与环同态 定义9.2：子环：环,若S∈R,构 成环，则为R的子环。 +:阿贝尔群 子环判定：。：半群 +:群 +:子群判定定理 :封闭 分配律 封闭 ·定义9.3：环同态： R→RpxW=o0y [p(x+y)=(x)+(y) 4/73
4/73 9.1 环 ➢中·不一定满足交换律，也不一定有幺 元，但一定有零元。 • 3.子环与环同态 • 定义9.2：子环：环，若 构 成环，则为R的子环。 子环判定： • 定义9.3：环同态： S R, S,+, • • • = • + + = + → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 1 2 x y x y x y x y R R • + • + • + 封闭 子群判定定理 封闭 群 分配律 半群 阿贝尔群 : : : : : :
9.2整环和域 定义9.4：设是环： ().若·满足交换律，则称R是交换环； (2).若·运算含有么元，则称R是含幺环； (3).若有非零元素a,b满足a·b=0,则称a,b为R 的零因子(a为左零因子，b为右零因子)，此时称R 为含零因子环，否则称R为无零因子环； (4).若R是交换环，含么环，也是无零因子环，则称 R是整环。 ·例9-2：（1)：Z,Q,R,C都是交换环，含么环，无零 因子环，整环； 5/73
5/73 9.2 整环和域 •定义9.4：设是环： (1).若·满足交换律，则称R是交换环； (2).若·运算含有幺元，则称R是含幺环； (3).若有非零元素a, b满足a·b=0，则称a, b为R 的零因子(a为左零因子，b为右零因子)，此时称R 为含零因子环，否则称R为无零因子环； (4).若R是交换环，含幺环，也是无零因子环，则称 R是整环。 • 例9-2：(1):Z,Q,R,C都是交换环，含幺环，无零 因子环，整环；
9.2整环和域 (2):中，[0]是零元，[2]，[4]是零因子，([2]×g[4]=[0]) 中有零因子 6889 定理9.2：设R是环，则R中无零因子当且仅当R中 乘法运算满足消去律，即：Va,b,ceR,a≠0有： ab=ac→b=c,ba=ca→b=c(R中非零元可约 证：（∈）任取a,b∈R,a≠0，若ab=0=a0,则b=0,∴.R无零因子 (→)任取a,b,c∈R,且a≠0，ab=ac,则ab-ac=0, 即a(b-c)=0,由于R无零因子，a≠0，∴.b-c=0,即b=c +:封闭，可结合，含么、逆元，可交换 整环：封闭，可结合，含么，无零因子，可交换 ·对+可分配 6/73
6/73 9.2 整环和域 (2): • 定理9.2：设R是环，则R中无零因子当且仅当R中 乘法运算满足消去律，即： 有： + • + = 0 1 0 0 0 0 1 0 ( ), , , , [0] [2],[4] ([2] [4] [0]) 2 8 8 8 8 中有零因子： 和 中， 是零元， 是零因子， M R Z a,b,c R, a 0 ab = ac b = c,ba = ca b = c(R中非零元可约) a b c R a b c b c a b c R a ab ac ab ac a b R a ab a b R − = − = = = − = = = = 即 ，由于 无零因子， ， ，即 任取 ，且 ， ，则 ， 证： 任取 ， ，若 ，则 ， 无零因子 ( ) 0 0 0 ( ) , , 0 0 ( ) , 0 0 0 0 • + • + 对 可分配 ：封闭，可结合，含幺，无零因子，可交换 ：封闭，可结合，含幺、逆元，可交换 整环：
9.2整环和域 定义9.5：R是环，令R=R-{0},若为阿 贝尔群，则称为域(field)。 由于R为群，满足消去律，无零因子，域必定是 整环；域也可定义为：非零元素都有乘法逆元的 整环。 例9-2：（1)：, ●1 ,均 为域，不是域，无乘法逆元； (2)是域，2,4,3,5互为逆元，1的逆元为， 6的逆元为6 不是域，不是整环，有零因子，2,4无乘法逆元 773
7/73 9.2 整环和域 •定义9.5：R是环，令 ，若 为阿 贝尔群，则称为域(field)。 由于 为群，满足消去律，无零因子，∴域必定是 整环；域也可定义为：非零元素都有乘法逆元的 整环。 • 例9-2：(1):, , 均 为域， 不是域，无乘法逆元； {0} * R = R − , • * R * R 不是域，不是整环，有零因子， 无乘法逆元 的逆元为 是域， ， ，互为逆元， 的逆元为 , , 2,4 6 6 (2): , , 2,4 3 5 1 1, 8 8 8 7 7 7 + + Z Z
9.2整环和域 定理9.3：有限整环都是域。 证：设是有限整环，R={,,…,n},不妨设=0， 片=1，考虑R-{0}={,2,…,n}则只需证r∈R-{0}有逆元， r:∈{i,2,…,n,则{5●，5●1，…，●n}∈R, 由整环中的消去律，1≠时，≠，即 {,51,…,n的元素互异，故{，，…，rm}=R, 于是存在，使得1=1，即1是的逆元。 ·定理9.4：Z(指)为域的充要条件是p是 素数。 8/73
8/73 9.2 整环和域 •定理9.3：有限整环都是域。 •定理9.4： 为域的充要条件是p是 素数。 于是存在 ，使得 ，即 是 的逆元。 的元素互异，故 ， 由整环中的消去律， 时， ，即 ，则 ， ，考虑 ，则只需证 有逆元， 证：设 是有限整环， ，不妨设 ， j i j j i i i i n i i i n i k i l i n i i i n n i n r r r r r r r r r r r r r r r r r R l k r r r r r r r r r r r r r r R r R r r r r R R R r r r r 1 { , , , } { , , , } { , , , } { , , , } 1 {0} { , , , } {0} , , { , , , } 0 0 1 0 1 1 2 0 1 1 1 2 0 1 0 • = • • • • • • = • • • • • = − = − + • = = ( ,+ , ) Zp 指 Zp p p
9.2整环和域 证：(=)p是素数→Z,为有限整环→Z,为域， 易知为含么1交换环，任取i,j∈Zp,i≠0 若]×，[]=[0]，则pi×j,而i≠0，即p∥i,.plj,j=0 即Z中无零因子，为整环，有限，.为域； (→)若p不是素数，则p=a×b,0为域，则F中非零元素在 中有相同的阶。 9/73
9/73 9.2 整环和域 •定理9.5：设为域，则F中非零元素在 中有相同的阶。 是素数。 ， 为零因子，而 为域 为整环，矛盾 若 不是素数，则 ， ，则 即 中无零因子，为整环，有限， 为域； 若 ，则 ，而 ，即 ， 易知 为含幺 交换环，任取 证： 是素数 为有限整环 为域， p a b a b Z Z p p a b a p b p Z i j p i j i p i p j j Z i j Z i p Z Z p p p p p p p p p p p = = = = + [ ] [ ] [0] , ( ) 0 , 0 [ ] [ ] [0] | 0 | | , 0 , , 1 , , 0 ( )
9.2整环和域 证：当中每个元素都是无限阶时，命题成立； 当中有非零元素a具有有限阶n时， 则中任一非零元素b的阶也是n。 (nb)•a=b·(na)=0,而F无零因子，且a≠0，故nb=0 ∴.b的阶不超过n,即lb≤a设b的阶为m,即|b=m, 由(ma·b=a●(mb)=0可知，ma=0,∴a的阶不超过m, 即|a≤bb=a •定义9.6：设为域，S,+,·>为F的子环 ,且为域，则称S为F的子域。 10/73
10/73 9.2 整环和域 •定义9.6：设为域， 为F的子环 ，且为域，则称S为F的子域。 | | | | | | | | ( ) ( ) 0 0 | | | | | | ( ) ( ) 0 0 0 , , , a b b a m a b a m b m a a m b n b a b m b m nb a b na F a nb F b n F a n F = • = • = = = • = • = = + + + 即 由 可知， ， 的阶不超过 ， 的阶不超过 ，即 设 的阶为 ，即 ， ，而 无零因子，且 ，故 则 中任一非零元素 的阶也是 。 当 中有非零元素 具有有限阶 时， 证：当 中每个元素都是无限阶时，命题成立；
