第一章矩阵及其应用 矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象，也是数 学许多分支研究及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分.在很多领域 中的一些数量关系都可以用矩阵来描述。 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算：可逆矩阵的计算；还将介绍矩阵的 初等变换及分块矩阵等相关知识，为今后的学习打下扎实的理论基础 一、 矩阵的概念 1.矩阵的引出 考察线性方程组 x-x32+2x3=1, 2x+3x2+x3=2 x-2x3-3x3=4 隐去未知量和等号，所有未知量的系数按原来位置排列成一矩阵列表 [1 -1 2 2 -2 -3 同理，未知数的系数与常数项也可以构成一矩形表格 1 -121 2 3 12 -2-34 这样的矩形数表在数学上就称为矩阵。 定义由m×n个数a=1,2,,mj=1,2,…,n)排成一个m个行n个列的矩 形数表 d a aun az an d2n am1anm2… 称为m×n矩阵或m行n列矩阵，简称矩阵。横排称为矩阵的行，纵排称为矩阵 的列，a(i=1,2,…,mj=1,2,…,n)称为矩阵的第i行第j列元或(6)元。 4
4 第一章 矩阵及其应用 矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象，也是数 学许多分支研究及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分.在很多领域 中的一些数量关系都可以用矩阵来描述。 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算；可逆矩阵的计算；还将介绍矩阵的 初等变换及分块矩阵等相关知识，为今后的学习打下扎实的理论基础 一、 矩阵的概念 1. 矩阵的引出 考察线性方程组 12 3 1 23 123 2 1, 2 3 2, 2 3 4. xx x x xx xxx ⎧ − + = ⎪ ⎨ + + = ⎪ ⎩ − − = 隐去未知量和等号，所有未知量的系数按原来位置排列成一矩阵列表 1 12 23 1 123 ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎣ ⎦ 同理，未知数的系数与常数项也可以构成一矩形表格 1 121 23 12 1 2 34 ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎣ ⎦ 这样的矩形数表在数学上就称为矩阵。 定义 由 m×n 个数 ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i mj n = = " " 排成一个 m 个行 n 个列的矩 形数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn aa a aa a aa a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " ## # " 称为m n × 矩阵或 m 行 n 列矩阵，简称矩阵。横排称为矩阵的行，纵排称为矩阵 的列， ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i mj n = = " " 称为矩阵的第 i 行第 j 列元或( ) i j , 元
表示法： ①A、B、C、E;等； ②Amxn,B,X灯等； ③A=(a或A=(admn等。 2.几种特殊的矩阵 1)同型矩阵：行数相等且列数相等的两个矩阵。 1 2 14 3 例如： 6 与 8 4 为同型矩阵。 3 9 2) 相等矩阵：若两个矩阵A=(a)与B=(色)为同型矩阵，并且对应元素相等， 即a=b(=1,2,…,mj=1,2,…,n）,记作A=B。 例 设 46 己知A=B,求x,y, 解：A=B,∴x=2,y=3,2=2 3)方阵：行数与列数都等于n的矩阵A a11 a ain 412 2 a2n A= am an2 4)上、下三角矩阵 a a12 … a 0 … 0 0 a2 A= a2n az a22 0 ,A= : : 0 0 an2 … ann 主对角线、次对角线 5)对角矩阵 5
5 表示法： ① A、B、C、E；等； ② A m×n， B s ×r 等； ③ A=(aij) 或 A=(aij) m×n 等。 2. 几种特殊的矩阵 1) 同型矩阵：行数相等且列数相等的两个矩阵。 例如： 1 2 14 3 56 8 4 37 3 9 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 与 为同型矩阵。 2) 相等矩阵：若两个矩阵 A = = (a Bb ij ij )与 为同型矩阵 ( ) ,并且对应元素相等, 即a b i mj n ij ij == = ( 1, 2, , ; 1, 2, , " " )，记作 A B = 。 例 设 123 1 3 , , 312 1 x A B y z ⎛⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ 已知 求 A = B xyz , , ,. 解：∵ A B = , ∴xyz = == 2, 3, 2. 3) 方阵：行数与列数都等于n 的矩阵 A 11 12 1 12 22 2 1 2 . n n n n nn aa a aa a aa a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " ## # " A 4) 上、下三角矩阵 11 12 1 11 22 2 21 22 1 2 0 0 0 0 , , 0 0 n n nn n n nn aa a a a a aa a aa a ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = = ⎣ ⎦⎣ ⎦ " " " " ## # ## # " " A A 主对角线、次对角线 5) 对角矩阵
0 0 0 0 A= 0 0 6)单位矩阵 「1 0… 0 0 1 0 E= 0 0. 7)行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵。 A=(a11,412,…,a1n) 8)列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵。 「6， B= ba LbmJ 9)零矩阵：元素全为零的矩阵。 「0 0 0 0 0 0 0= 10 0… 0 注意：不同阶数的零矩阵是不同的， 矩阵的重要性在于它可以把一个实际问题变成一个数值表，使得我们可以通 过研究数值表的规律和特性来解决实际问题！ 例四个城市间的单向航线如下图所示 2 若令 1 从i市到j市有一条单向航线： a=0 从i市到了市没有单向航线。 则图中的航线用矩阵表示为 6
6 1 2 0 0 0 0 . 0 0 n λ λ λ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " # #%# " Λ 6) 单位矩阵 10 0 01 0 . 00 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " # #%# " E 7) 行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵。 11 12 1 ( , , , ). n A = aa a " 8) 列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵。 11 21 1 . m b b b ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ # B 9) 零矩阵：元素全为零的矩阵。 00 0 00 0 . 00 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " " # #%# " O 注意：不同阶数的零矩阵是不同的. 矩阵的重要性在于它可以把一个实际问题变成一个数值表，使得我们可以通 过研究数值表的规律和特性来解决实际问题！ 例 四个城市间的单向航线如下图所示 1 3 4 2 若令 从 i 市到 j 市有一条单向航线； 从 i 市到 j 市没有单向航线。 则图中的航线用矩阵表示为 1 0 ij a ⎧ = ⎨ ⎩
「0111 1000 4= 0100 1 010 例 线性变换：设n个变量x,x2,…,xn与m个变量，乃2，，ym之间的关系式为 y=a+ax2+...+ainxn, y=a+a++aznx ym =am+am2x2++amnxn 其中a,为常数 这个关系称为从变量x,x,…,xn到变量，2，…，y的线性变换。 %11 a12 ain a21 A= a22 d2n 系数矩阵 … am am2 d 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。 若线性变换为 片=X, y2=x2, yn=xn 称之为恒等变换。 片=为， 10… 0 y32=X2, 对 应 0 1… 0 单位矩阵。 yn =xn 0 0… 二、 矩阵的计算 1.矩阵的加法 1)定义 个
7 0111 1000 . 0100 1010 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 例 线性变换： 12 12 ,,, ,,, n m 设 个变量 与 个变量 之 间的关系式为 n xx x m yy y " " 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 11 2 2 , , . n n n n m m m mn n y ax ax ax y ax ax ax y ax ax ax ⎧ = + ++ ⎪ ⎪ = + ++ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = + ++ " " """"""""" " . ij 其中 为常数 a 这个关系称为 12 12 ,,, ,,, n m 从变量 到变量 的线性变换 x x x yy y " " 。 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn aa a aa a A aa a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " " """ " 系数矩阵 若线性变换为 1 1 2 2 , , n n y x y x y x ⎧ = ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ = """ 称之为恒等变换。 1 1 2 2 , , n n y x y x y x ⎧ = ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = """ 10 0 01 0 00 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " """" " 单位矩阵。 二、 矩阵的计算 1. 矩阵的加法 1) 定义 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。 对 应
定义两个m×n矩阵A=(a),B=(b),那末矩阵A与B的和记作A+B, 规定为 A+B=(ag +by)mxm a1+b1a2+b2 …an+bn a21+b21a22+b22 …an+b2n … … am+bm am2 +bm2 … amn+bun 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。 (12 3 5 189 例 计算 1 -9 0 3 6 8 32 12 3 12+13+8 -5+9 (13 114 解 -9 0 1+6 -9+5 0+4 -44 6 3+36+2 8+1 6 89 2)矩阵加法的运算规律 (1)A+B=B+4. (2)(A+B)+C=A+(B+C) -a11 -412… -ain (3)-A= -a2 -a22 -02m =（-a),称为矩阵的负矩阵。 -am -0m2 -am (4)A+(-A)=0,A-B=A+(-B)。 2.矩阵的数乘 1)定义 定义数与矩阵的乘积，记作1A或A入，规定为 2a11 2a2 元am λA=A2= 1a21 1a22 12m … Aam Aam2 … aamn 8
8 定义 两个m n × 矩阵 ( ), A ij = a ( ), B ij = b 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A+B， 规定为 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 11 2 2 ( ) . ij ij m n n n n n m m m m mn mn AB a b ab ab ab ab ab ab abab ab += + × ⎛ ⎞ ++ + ⎜ ⎟ ++ + = ⎝ ⎠ ++ + " " " """ " 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。 例 计算 12 3 5 1 8 9 1 9 0 654 3 6 8 321 ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠⎝ ⎠ 解 12 3 5 1 8 9 1 9 0 654 3 6 8 321 ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠⎝ ⎠ 12 1 3 8 5 9 16 95 04 33 6 2 81 ⎛ ⎞ + + −+ ⎜ ⎟ = + −+ + ⎝ ⎠ ++ + 13 11 4 7 44 6 89 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2) 矩阵加法的运算规律 ( ) 1 ; A+=+ BBA ( )( ) ( ) 2 . A+ +=+ + B C A BC ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 3 n n m m mn aa a aa a A aa a ⎛ ⎞ −− − ⎜ ⎟ −− − − = ⎝ ⎠ −− − " " " """ " ( ), ij = −a 称为矩阵 的负矩阵。 A () ( ) 4 0, A+− = − = +− A AB A B ( )。 2. 矩阵的数乘 1) 定义 定义 数λ与矩阵的乘积,记作λA 或 Aλ，规定为 11 12 1 21 22 2 1 2 . n n m m mn aa a aa a A A aa a λλ λ λλ λ λ λ λλ λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ " " " """
12 3 72 0 0 例 己知A= 2 -2 ,B= 3 -2 0 0) -10 求2A,2A-B 1 2 3 2 4 6 解 2A=2 2 -2 2 4 -44 0 1 0 0 2 2A-B=2A+(-B)=2A+(-1)B 4 6 -20 0 0 -4 -3 2 02 0 1 0 2)数乘矩阵的运算规律 设A、B为mXn矩阵，入、μ为数 ()(2）A=(uA): (2)(2+）A=A+4A; (3)(A+B)=A+B. 矩阵加法、减法、数乘统称为矩阵的线性运算 3.矩阵的乘法 矩阵乘法是出于研究线性方程组以及线性变换的乘法的需要建立起来的。 1)定义 定义设A=(a,)mx，B=(亿)n,规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个mXn 矩阵C=(c)mm,记作AB,即C=AB=(c)。其中 G=a,+a+ta6,-2a6 (i=l,2,…mj=1,2,…,n) 9
9 例 123 2 2 2, 010 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 已知 2 00 3 21 101 B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 求 2 , 2 . A A B− 解 123 246 2 22 2 2 4 4 4 010 020 A ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − =− ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 2 ( ) 2 ( 1) A− = +− = +− BA B A B 2 4 6 20 0 0 4 6 4 44 32 1 1 2 3 020 10 1 12 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − +− − = − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − 。 2) 数乘矩阵的运算规律 设 A、B 为 m×n 矩阵，λ、μ为数 ( )( ) 1 ; λμ λ μ A = ( A) ( )( ) 2 ; λ + =+ μ λμ A A A () ( ) 3 . λ A+= + B AB λ λ 矩阵加法、减法、数乘统称为矩阵的线性运算. 3. 矩阵的乘法 矩阵乘法是出于研究线性方程组以及线性变换的乘法的需要建立起来的。 1) 定义 定义 设 ( ) , ( ) Aa Bb = = ij m s ij s n × × ，规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵 ( ) C c = ij m n× ，记作 AB，即 ( ) C AB c = = ij 。其中 11 2 2 1 ( 1,2, ; 1,2, , ) s ij i j i j is sj ik kj k c ab ab ab ab i m j n = = + ++ = = = " "" ∑
a12 as a … azs … 设 b21b2 ②⑨ ⑥ … dm am2 Cu 9 Cin : =AB= C … Cml … C … Cm=ab,+a2b2,+…+abg 注：要求A的列数与B的行数相等。 1 例 己知A= 求AB,AC 解 AB= 湖 AC- 因为A的列数不等于C的行数，因此不可乘。 2)矩阵乘法的运算规律 (1)(AB)C=4(BC): (2)A(B+C)=AB+AC.(B+C)A=BA+CA; (3)2(AB)=(24)B=A(2B),(其中为数)： (4)AE=EA=A. (5)()AB=(A)(uB)=(HA)(B): 0
10 设 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 , s s m s i i is m m ms aa a aa a A aa a aa a × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " ## # " ## # " 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 j n j n s n s s sj sn bb b b bb b b B bb b b × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " " " ## # # " " 11 1 1 1 1 j n m n i ij in m mj mn ccc C AB ccc ccc × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ " " ### " " ### " " ij i j i j is sj 11 2 2 c ab ab ab = + ++ " 注：要求 A 的列数与 B 的行数相等。 例 已知 1 1 2 0 3 1 A ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 10 11 11 0 1 B ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ， 2 1 0 1 1 1 C ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 求 , AB AC 解 1 1 2 1 12 10 11 2 0 2 0 22 11 0 1 3 1 2 1 32 AB ⎛⎞ ⎛ ⎞ − −− ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − = =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎝⎠ ⎝ ⎠ − 1 12 1 20 01 31 1 1 AC ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − 因为 A 的列数不等于 C 的行数，因此不可乘。 2) 矩阵乘法的运算规律 ( )( ) ( ) 1 ; AB C A BC = () ( ) ( ) 2 ,; A B C AB AC B C A BA CA += + + = + () ( ) 3 λ AB AB A B = = (λ λ ) () ，（其中λ为数）； ( ) 4 ; AE EA A = = ( ) 5 ( ) ( )( ) ( )( ); λμ λ μ μ λ AB AB AB = =
(6)若A是阶方阵，则记A=44…4,并称之为的k次幂，易知(4A)”=Am, k个A A"A=Am+n。 注意矩阵一般不满足交换律。即AB≠BA: AB=0A=0,B=0;A≠0，AC=BCA=B 例设48=（则a-004-3 故AB≠BA。 但也有例外，比如设 4-68-日1则-a4-(32到 若AB=BA, 则称A与B可交换。 例计算下列乘积： 2 2 6 12) 1 (12) (2)(1,-1,0) 49 42 0 3 -810 33八 -1 2 2×1 2×2 2 4 解 (1) -2 (12)= -2×1 -2×2 -2 -4 3 3×1 3×2 /3x2 6 6 (2) (1,-1,0) 4 9 -8 0 定义方阵多项式 设有n阶矩阵A和多项式f2)=an入"+an-1入m-+…+a,2+a 规定f(A)=amAm+am-1Am-+…+aA+a,E 称f(A)为方阵A的矩阵多项式。 「1-1 2 例设有多项式∫()=12-3+2和矩阵A= 01 求矩阵多项式 L121 f(A)。 11
11 A (6) , , k k A n A AA A = " 个 若 是 阶方阵 则记 并称之为 的 次幂 A k , 易 知 ( ) k m km A A = ， m n mn AA A + = 。 注意 矩阵一般不满足交换律。即 AB BA ≠ ； 0 AB = ⇒ A B = = 0, 0 ； A AC BC ≠ = 0, ⇒ A = B 例 设 1 1 1 1 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ， 1 1 1 1 B ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ，则 0 0 0 0 AB ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 2 2 2 2 BA ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ，故 。 AB BA ≠ 但也有例外，比如设 2 0 0 2 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 1 1 1 1 B ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ，则 2 2 2 2 AB BA ⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 若 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换。 例 计算下列乘积： 2 (1) 2 (1 2) 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 2 6 12 1 (2) 1, 1,0 4 9 42 0 8 10 33 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎝ ⎠⎝ ⎠ − − 解 ( ) 3 2 2 21 22 2 4 (1) 2 1 2 2 1 2 2 2 4 3 31 32 3 6 × ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ × × ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = −× −× = − − ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ × × () ( ) 2 6 12 1 1 (2) 1, 1,0 4 9 42 0 2 , 3, 30 0 (28) 8 10 33 1 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = − −− = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −− − 定义 方阵多项式 设有 n 阶矩阵 A 和多项式 1 1 10 ( ) m m m m f λλ λ λ a a aa − = + ++ + − " 规定 1 1 10 ( ) m m m m f A a A a A aA aE − = + ++ + − " 称 f ( ) A 为方阵 A的矩阵多项式。 例 设有多项式 f (λ) = λ2－ 3λ + 2 和矩阵 1 12 01 1 12 1 A ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，求矩阵多项式 f ( ) A
解 因为A 泥剖 [3 -3 3A=03 3 3 6 则 f(A)=A2-3A+2E 「3 2 5 -3 6 「2 0 07 2 5 -1 -1-1 0 3 3 0 2 0 -2 2 6 0 2 -3 0 4.矩阵的其它运算 1)矩阵的转置、转置矩阵 ◆定义把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵， 记作A”。 1 4 例 2 8 B=(186),B= 18 69 ◆转置矩阵的运算性质 (@)(4)=4 (2)(A+B)'-A+B; (3)(4)'=1A; (4)(AB)=BA (5)R(A)=R(A) 下面对第(4)个性质进行证明。 证明 设A=(a)mxs,B=(b)n 记AB=C=(C)mm,B'A'=D=(d)m要证Cn=d
12 解 因为 2 1 12 1 12 3 2 5 0 1 10 1 1 1 1 2 12 112 1 2 3 1 A ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − − =− − − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 36 3 03 3 36 3 A ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 则 ( ) 2-3 2 3 2 5 3 3 6 200 2 5 1 1 1 2 0 3 3 020 1 2 1 2 3 1 3 6 3 002 1 3 0 f A AAE = + ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =− − − − − + =− − ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − − 4. 矩阵的其它运算 1) 矩阵的转置、转置矩阵 定义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 A 的转置矩阵， 记作 AΤ。 例 122 458 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 1 4 2 5 2 8 T A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； B = ( ) 18 6 ， 18 6 T B ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 转置矩阵的运算性质 ( ) 1 ; ( )T T A A = ( )( ) 2 ; T T T A+ =+ B AB ( )( ) 3 ; T T λ λ A = A ( )( ) 4 . T T T AB BA = (5) ( ) ( ) T R A RA = 下面对第（4）个性质进行证明。 证明 ( ) , ( ) , 设 Aa Bb = = ij m s ij s n × × ( ) , 记 AB C c = = ij m n× ( ) . T T BA D d = = ij n m× ji ij 要证 c d =
Cn=aibui+abi++aisbsi d,=b,a1+b,a2+…+bas 例 已知 17-1 20 1 求(AB). 0 17 ∴(AB)= 1413 -310 解法2 (AB)T=BTAT 4 2 2 0 17 0 14 13 2)对称矩阵与反称矩阵 定义设A为n阶方阵，如果满足A=A,即a=am(,j=1,2,…,n),那末 A称为对称矩阵。 126 1 例如A= 6 8 为对称矩阵 (10 说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。 如果A=一A则矩阵A称为反对称矩阵。 例设列矩阵X=(x,,,x)'满足XX=1,E为n阶单位矩阵， H=E-2XX,证明H是对称矩阵，且HH'=E。 证明H=(E-2XX)'=E-2(Xx)y=E-2XxT=H, 3
13 ji j i j i js si 11 2 2 c ab ab ab = + ++ " ij i j i j si js 11 2 2 d ba ba ba = + ++ " 例 已知 17 1 20 1 , 42 3, 13 2 20 1 A B ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) . T 求 AB 解法 1 17 1 2 0 1 0 14 3 42 3 , 1 3 2 17 13 10 20 1 AB ⎛ ⎞ − ⎛⎞ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ = = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∵ ( ) 0 17 14 13 . 3 10 T AB ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∴ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 解法 2 ( )T TT AB B A = 1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 3 14 13 1 3 1 1 2 3 10 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − −− 。 2) 对称矩阵与反称矩阵 定义 设 A为n 阶方阵，如果满足 T A A = ，即a a ij n ij ji = = ( , 1, 2, , " ) ，那末 A称为对称矩阵。 12 6 1 6 80 . 1 06 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 例如 为对称矩阵 说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。 T 如果 则矩阵 称为反对称矩阵。 AA A = − 例 设列矩阵 ( ) 1 2 ,,, T X n = xx x " 满 足 1 T X X = ， E 为 n 阶单位矩阵， 2 T H E XX = − ，证明 H 是对称矩阵，且 T HH E = 。 证明 ( ) 2 2( ) 2 T T T T TT T ∵H E XX E XX E XX H = − = − =− =