第七章代数系统 7.1:代数运算的概念 ·定义7.1:设A是集合,函数f:A”→A称为集合A上 的n元代数运算,整数n称为运算的阶(Order)。 当n=1时,f:A→A称为集合A的一元运算; 当n=2时,f:AXA→A称为集合A中的二元运算。 >(1)一般,二元运算用算符o,*,●,等符号,用中缀 方式表示:f()=43→()=a3→41a42=4 >(2)ran∫二A,即运算结果是A中的元素,称为运 算的封闭性; >(3)运算是函数,每一个自变元只有唯一的一个像。 273
2/73 第七章 代数系统 7.1:代数运算的概念 • 定义7.1:设A是集合,函数 称为集合A上 的n元代数运算,整数n称为运算的阶(Order)。 当n=1时,f:A→A称为集合A的一元运算; 当n=2时,f:A×A→A称为集合A中的二元运算。 ➢(1)一般,二元运算用算符 等符号,用中缀 方式表示: ➢(2) ,即运算结果是A中的元素,称为运 算的封闭性; ➢(3)运算是函数,每一个自变元只有唯一的一个像。 f A A : n → , , • , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 f ( a ,a ) = a ( a ,a ) = a a a = a ran f A
7.1代数运算的概念 ·例7-1: (1).f:Z→Z,x∈Z,f(x)=-x; (2).A={0,1,f:A>A,Vp∈A,f(p)=p, 1 (3)f:R→R,x∈R,f(x)= X (4)f:Z×Z→Z,V∈Z2,f()=x+y\x-y\x×y; (5).P(A)为A的幂集。f:P(A)×P(A)→P(A),f可为U,∩,-,⊕, (6).A={0,1},f:A×A→A,f可为:Λ,V,→,> (7)A4={f|f:A→A.(A上所有函数的集合) >(4)当A是有穷集合时,运算可以用运算表给出。 3/73
3/73 7.1 代数运算的概念 •例7-1: ➢(4)当A是有穷集合时,运算可以用运算表给出。 (7). { | : }.( ) (6). {0,1} , : , : , , , ; (5). ( ) A : ( ) ( ) ( ), , , , ; (4). : , , , ( , ) \ \ ; ; 1 (3). : , , ( ) (2). {0,1} , : , , ( ) ; (1). : , , ( ) ; 2 上所有函数的集合 可为 为 的幂集。 可为 A f f A A A A f A A A f P A f P A P A P A f f Z Z Z x y Z f x y x y x y x y x f R R x R f x A f A A p A f p p f Z Z x Z f x x A = → = → → → − → = + − → = = → = → = − + + +
7.2代数运算的性质 ·定义7.2:设*,o均为集合S上二元运算, (I):若xyz(x,y,z∈S→x*(y*z)=(x*y)*z),则称“*”运算 满足结合律; (2):若xy(x,y∈S→x*y=y*x),则称“*”运算满足交换律; (3):若xyz(x,y,z∈S→x*(yoz)=(x*y)o(x*z),则称 “*” 运算对“。”运算满足左分配律;若Vxyz(x,y,z∈S→ (yoz)*x=(y*x)o(z*x),则称“*”运算对“。”运算满足右 分配律;若二者均成立,则称“*”运算对“。”运算满足分配律; (4):设*,o均可交换,若Vxy∈A,有x*(xoy)=x,xo(x*y)=x,则称“*” 和“。”运算满足吸收律; (5):若Vx(x∈A,x*X=x),则称“*”运算满足幂等律。 4/73
4/73 7.2 代数运算的性质 •定义7.2:设 , 均为集合S上二元运算, 若 ,则称“ ”运算满足幂等律。 和“ ”运算满足吸收律; 设 ,均可交换,若 有 则称“ ” 分配律;若二者均成立,则称“ ”运算对“ ”运算满足分配律; ,则称“ ”运算对“ ”运算满足右 运算对“ ”运算满足左分配律;若 若 ,则称“ ” 若 ,则称“ ”运算满足交换律; 满足结合律; 若 ,则称“ ”运算 = = = = → → = → = → = (5): ( , ) (4): , ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( )) ( , , (3): ( , , ( ) ( ) ( )) (2): ( , ) (1): ( , , ( ) ( ) ) x x A x x x x y A x x y x x x y x y z x y x z x x y z x y z S x y z x y z S x y z x y x z x y x y S x y y x x y z x y z S x y z x y z
7.2代数运算的性质 例7-2:(1)Z上的加,减,乘法是二元运算,且加 法,乘法:结合律,交换律, 乘法对加法,减法 满足分配律,反之不满足; (2)A的幂集P(A)上的二元运算:U,∩满足交换律 ,结合律,吸收律,幂等律,且彼此之间满足分 配律; (3)设A={a,b},A上的运算“*”和“o”满足如下 运算表: 光 a b 0 a b a a b a a a b b a a b 5/73
5/73 7.2 代数运算的性质 •例7-2:(1)Z上的加,减,乘法是二元运算,且加 法,乘法:结合律,交换律,乘法对加法,减法 满足分配律,反之不满足; (2)A的幂集P(A)上的二元运算:∪,∩满足交换律 ,结合律,吸收律,幂等律,且彼此之间满足分 配律; (3)设A={a,b},A上的运算“*”和“ο”满足如下 运算表: * a b a a b b b a ο a b a a a b a b
7.2代数运算的性质 解:由运算表知:),*,o是可交换的; ii),*,o是可结合的; iii),0对*是可分配的; iv),*对o不可分配; V),*,o满足吸收律。 6/73
6/73 7.2 代数运算的性质 解:由运算表知:i), * ,ο是可交换的; ii), * ,ο是可结合的; iii), ο对*是可分配的; iv), *对ο不可分配; v), * ,ο满足吸收律
7.2代数运算的性质 定义7.3:设*为集合S中的二元运算,如果存在 e,∈S(e,∈S)且对任意的元素x∈S均有x*e=x(e,*x=x) 则称元素e,(e,)为S中关于运算*的右么元(左幺元) 或右单位元(左单位元)。 定理7.1:设*是集合S中的二元运算,且e,与分别 是对于*的右幺元和左幺元,则e,=e,=e,对任意 元素x∈S有x*e=e*x=x,称元素e为关于运算*的 么元(Identity Elements)且唯一。 证:e,是*的右么元∴.e,*e,=e,e,是*的左么元 .∴.e,*e,=e, .e,=e1,令e=e,=e,则有x*e=e*x=x, 设另有一么元为右么元e',那么e=e*e'=e' .e对*是唯一的么元。 773
7/73 7.2 代数运算的性质 •定义7.3:设*为集合S中的二元运算,如果存在 且对任意的元素 均有 则称元素 为S中关于运算*的右幺元(左幺元) 或右单位元(左单位元)。 • 定理7.1:设*是集合S中的二元运算,且 分别 是对于*的右幺元和左幺元,则 ,对任意 元素 ,称元素e为关于运算*的 幺元(Identity Elements)且唯一。 证: e S(e S) r l xS x e x(e x x) r = l = ( ) r l e e r l e 与e e e e r = l = xS有x e = e x = x 对 是唯一的幺元。 设另有一幺元为右幺元 ,那么 令 ,则有 是 的右幺元 是 的左幺元 = = = = = = = = = e e e e e e e e e e e x e e x x e e e e e e e e r l r l r l r l l l r r , , ,
7.2代数运算的性质 >()对于可交换的二元运算来说,左幺元都为右么 元,右幺元也为左幺元,即为幺元; >(2)么元必须强调是针对某一个运算而言的。 ●例7-3:(1)R中的加法“+”运算:0是幺元; (2)R中的乘法“×”运算:1是幺元; (3)全集E的子集的并“U”运算:0是幺元; (4)全集E的子集的交“∩”运算:E是么元; (5)命题集合中,析取“V”运算:矛盾式是么元; (6)命题集合中,合取“入”运算:重言式是么元; (7)A4={f|f:A→,A上的函数集合中,复合“。”运算: I是么元。 8/73
8/73 7.2 代数运算的性质 ➢(1)对于可交换的二元运算来说,左幺元都为右幺 元,右幺元也为左幺元,即为幺元; ➢(2)幺元必须强调是针对某一个运算而言的。 •例7-3:(1)R中的加法“+”运算:0是幺元; (2)R中的乘法“×”运算:1是幺元; (3)全集E的子集的并“∪”运算: 是幺元; (4)全集E的子集的交“∩”运算:E是幺元; (5)命题集合中,析取“∨”运算:矛盾式是幺元; (6)命题集合中,合取“∧”运算:重言式是幺元; (7) 是幺元。 上的函数集合中,复合“”运算: A A I A ={ f | f : A→ A}, A
7.2代数运算的性质 定义7.4:设*是S中的二元运算,如果存在 0,∈S(0,∈S)且对任意元素x∈S均有x*0.=0,(0,*x=0) 称元素8,(8,)是S中关于运算*的右零元(左零元)。 定理7.2:设*是S中的二元运算且8,与0,分别是对* 的右零元和左零元,则日.=0,=0,使对任意元素 x∈S,有x*0=0*X=0,, 称元素0是$中关于 运算*的零元(zero)且唯一。 证:0是*的右零元∴.0,*0=0,0,是*的左零元 .0,*0,=0,∴.0,=0,令0=0=0,则有x*0=0*x=0, 设另有一零元为右零元0',那么0=0*0'=0' .对*是唯一的零元。 9/73
9/73 7.2 代数运算的性质 •定义7.4:设*是S中的二元运算,如果存在 且对任意元素 均有 称元素 是S中关于运算*的右零元(左零元)。 • 定理7.2:设*是S中的二元运算且 分别是对* 的右零元和左零元,则 ,使对任意元素 ,称元素 是S中关于 运算* 的零元(zero)且唯一。 证: S( S) r l xS ( ) r r l l x = x = ( ) r l r与l r =l = xS,有x = x = 对 是唯一的零元。 设另有一零元为右零元 ,那么 令 ,则有 是 的右零元 是 的左零元 = = = = = = = = = ' ' ' x x l r l r l r l r l r r l , , , ,
7.2代数运算的性质 ·例7-4:(1)R中的加法“+”运算:无零元; (2)R中的乘法“×”运算:0是零元; (3)全集E的子集的并“U”运算:E是零元; (4)全集E的子集的交“∩”运算:0是零元; (5)命题集合中,析取“V”运算:重言式是零元; (6)命题集合中,合取“∧”运算:矛盾式是零元; (7)S={a,b,c},S上的*运算的运算表如下: 光 a b 则b是右零元,a是幺元。 a a b b b b b b 10/73
10/73 7.2 代数运算的性质 •例7-4:(1)R中的加法“+”运算:无零元; (2)R中的乘法“×”运算:0是零元; (3)全集E的子集的并“∪”运算:E是零元; (4)全集E的子集的交“∩”运算: 是零元; (5)命题集合中,析取“∨”运算:重言式是零元; (6)命题集合中,合取“∧”运算:矛盾式是零元; (7)S={a,b,c},S上的*运算的运算表如下: * a b c a a b c b b b c c c b b 则b是右零元,a是幺元
7.2代数运算的性质 定义7.5:设*是集合S中的二元运算,且S中对于* 有e为么元,x,y为S中元素,若x*y=e,手 那么称x 为y的左逆元,y为x的右逆元,若x对于*运算既有 左逆元又有右逆元,则称x是左,右可逆的,若× 左右均可逆,则称x可逆。 >显然,对于二元运算*,若*可交换,则任何左(右 )可逆的元素均可逆。 定理7.3:设*是集合$中的一个可结合的二元运算 ● 且S中对于*有e为幺元,若x∈S是可逆的,则其 左,右逆元相等,记为:x,称为元素x对运算的 逆元(Inverse elements)且是唯一的。(x的逆元 通常记为x,但当运算为“加法运算”时,x的 逆元可记为一x) 11/73
11/73 7.2 代数运算的性质 •定义7.5:设*是集合S中的二元运算,且S中对于* 有e为幺元,x,y为S中元素,若x*y=e,那么称x 为y的左逆元,y为x的右逆元,若x对于*运算既有 左逆元又有右逆元,则称x是左,右可逆的,若x 左右均可逆,则称x可逆。 ➢显然,对于二元运算*,若*可交换,则任何左(右 )可逆的元素均可逆。 •定理7.3:设*是集合S中的一个可结合的二元运算 ,且S中对于*有e为幺元,若 是可逆的,则其 左,右逆元相等,记为: ,称为元素x对运算*的 逆元(Inverse elements)且是唯一的。(x的逆元 通常记为 ,但当运算为“加法运算”时,x的 逆元可记为-x)。 xS −1 x −1 x