坐标变换 考虑三维空间中的一点P,在某个坐标系中P点的坐标为(x,x2,x)。这 里我们用x、x2、x3而不是x八二来标志坐标轴，主要是为了使得后面涉 及求和运算的公式尽可能的简单，而且暂时我们只考虑笛卡尔坐标系。现在假设 有一个新的坐标系，它由原来的坐标系作一个简单的转动得到。点P在新坐标 系中的坐标记为(x,x,x)。我们的问题是，这两组坐标间有什么联系？我们 先考虑最简单的二维平面问题（如图）。 X2-轴 x)-轴 D x-轴 x-轴 新的坐标x等于x在x-轴上的投影(OA)加上x2在x-轴上的投影 (AB+BC),即 =xcos0+5eos-0 cos+x sin 类似的，坐标x?等于两个投影之和：x)=OD-DE,但是这里DE也等于 OF,因此 2=x cOS {径+p+os0=xsim0+s9
坐标变换 考虑三维空间中的一点 P，在某个坐标系中 P点的坐标为( x123 , , x x ) 。这 里我们用 1 2 3 x、 、x x 而不是 x、 、y z 来标志坐标轴，主要是为了使得后面涉 及求和运算的公式尽可能的简单，而且暂时我们只考虑笛卡尔坐标系。现在假设 有一个新的坐标系，它由原来的坐标系作一个简单的转动得到。点 P 在新坐标 系中的坐标记为( x123 ′′′ , , x x ) 。我们的问题是，这两组坐标间有什么联系？我们 先考虑最简单的二维平面问题（如图）。 P 1 x –轴 2 x –轴 1 x ′–轴 2 x ′ –轴 1 x ′ C D E F 2 x ′ 1 x 2 x A B O θ θ 新的坐标 1 x ′等于 1 x 在 1 x ′ –轴上的投影（OA ）加上 2 x 在 1 x ′ –轴上的投影 （ AB BC + ），即 11 2 1 2 cos cos cos sin 2 xx x x x π θ θ θ ⎛ ⎞ ′ = + −= + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ θ 类似的，坐标 2 x ′ 等于两个投影之和： 2 x ′ = OD DE − ，但是这里 也等于 ，因此 DE OF 2 1 2 1 2 cos cos sin cos 2 xx x x x π θ θ θ ⎛ ⎞ ′ = + + =− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ θ
如果把x,轴与x,轴之间夹角的余弦用下面的符号表示 )=cos(x,x） 那么这两组坐标之间满足的关系可以写为 X=元1x1+九2x2 x=九21x1+九22x2 推广到三维转动，我们有 =+6-方 i=1,2,3 其反变换为 =x++元出=1， i=1,2,3 引入记号 九2 1 =(ay)斤 2 23 元= '= 2 变换方程可以写为 x'=,元=九T 知道了两组坐标轴之间的方向余弦，那么任一点在两组坐标系中的坐标分量之间 的关系就完全确定了。如此定义的矩阵称为变换矩阵，或者转动矩阵。其中第 行是新坐标系的x,轴相对于原来坐标系的三个方向余弦。 举一个例子，把一个坐标系绕 着其第三个轴转动一个角度日，此 时空间任一点在新坐标系中的坐 x 标由变换矩阵 cos0 sin 0 X2 九= -sin0 c0sθ 0 0 0
如果把 i x ′–轴与 j x –轴之间夹角的余弦用下面的符号表示 λij = cos , ( xi j ′ x ) 那么这两组坐标之间满足的关系可以写为 1 11 1 12 2 21 1 22 2 2 x x x x x x λ λ λ λ ′ = + ′ = + 推广到三维转动，我们有 3 11 2 2 33 1 , 1,2,3 i i i i ij j j x x x x xi λλ λ λ= ′ =+ + = = ∑ 其反变换为 3 11 2 2 33 1 , 1,2,3 i i i i ji j j x x x x xi λλ λ λ= =+ + = = ′′′ ′ ∑ 引入记号 ( ) 11 12 13 1 1 21 22 23 2 2 31 32 33 3 3 = , , ij x x x x xx x x λ λ λ λλ λ λ λ λλλ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞′ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ = = ′ ′ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ′ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ K K = 变换方程可以写为 , T x ′ ′ = = λx x λ x K KK K 知道了两组坐标轴之间的方向余弦，那么任一点在两组坐标系中的坐标分量之间 的关系就完全确定了。如此定义的矩阵称为变换矩阵，或者转动矩阵。其中第i 行是新坐标系的 i x ′轴相对于原来坐标系的三个方向余弦。 举一个例子，把一个坐标系绕 着其第三个轴转动一个角度θ ，此 时空间任一点在新坐标系中的坐 标由变换矩阵 cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 θ θ λ θθ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ 1 x 2 x 3 3 x , x ′ 2 x ′ 1 x ′ θ θ
所确定。这里是逆时针方向（右手法则）转动的。 变换矩阵的9个元素(9个方向余弦)并不是完全独立的，其中一些可以由 另外一些表示出来。实际上，9个量中只有3个是独立的。这可以如下看出：从 变换方程可以得到 x='x'=九'x 这个方程对于空间中任意一点P,从而对于任意三个数X,都成立，因此 λλ=1 类似的，可以得到 7=1 它实际上也可以从第一个关系式推出，这个条件无非是讲矩阵是一个正交矩阵。 写成分量形式就是 k入k=δ=九a九g 9个方向余弦之间满足6个关系，分别对应于()取(11)、(22)、(33)、(12)、 (13)和(23)。几何上这些关系来源于坐标系的三个坐标轴之间是相互垂直的， 这样的坐标系称为正交系，而上面的条件称为正交性条件。 所以我们得到结论：每一个旋转都对应一个正交矩阵。那么反过来是否正确 呢？也就是说，一个正交矩阵是否也与某个转动相联系呢？显然是这样的，只要 把正交矩阵的第i行看作是新坐标系的x轴相对于原来坐标系的三个方向余弦， 那么这个正交矩阵就唯一地确定了一个直角坐标系，从而也就确定了从旧坐标系 到新坐标系的转动。 但是，这里有一点小小的问题。正交矩阵的行列式可以取十1或者一1。后者 如反演变换 -1 0 0 = 0 -1 0 实际上，任何一个行列式等于一1的正交矩阵都可以由某个行列式等于+1的正
所确定。这里是逆时针方向（右手法则）转动的。 变换矩阵的 9 个元素（9 个方向余弦）并不是完全独立的，其中一些可以由 另外一些表示出来。实际上，9 个量中只有 3 个是独立的。这可以如下看出：从 变换方程可以得到 T T x = λ x x ′ = λ λ K K K 这个方程对于空间中任意一点 P，从而对于任意三个数 i x 都成立，因此 T λ λ = I 类似的，可以得到 T λλ = I 它实际上也可以从第一个关系式推出，这个条件无非是讲矩阵是一个正交矩阵。 写成分量形式就是 λik jk ij ki kj λ δ λλ = = 9 个方向余弦之间满足 6 个关系，分别对应于(ij) 取(11) 、(22) 、( ) 、( ) 、 和 。几何上这些关系来源于坐标系的三个坐标轴之间是相互垂直的， 这样的坐标系称为正交系，而上面的条件称为正交性条件。 33 12 ( ) 13 (23) 所以我们得到结论：每一个旋转都对应一个正交矩阵。那么反过来是否正确 呢？也就是说，一个正交矩阵是否也与某个转动相联系呢？显然是这样的，只要 把正交矩阵的第i 行看作是新坐标系的 i x ′轴相对于原来坐标系的三个方向余弦， 那么这个正交矩阵就唯一地确定了一个直角坐标系，从而也就确定了从旧坐标系 到新坐标系的转动。 但是，这里有一点小小的问题。正交矩阵的行列式可以取+1或者 。后者 如反演变换 −1 10 0 0 10 00 1 λ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 实际上，任何一个行列式等于−1的正交矩阵都可以由某个行列式等于+1的正
交矩阵乘上反演矩阵得到。而三维空间中的反演是不能通过简单旋转实现的（反 演把右手系变为左手系，或者相反)。 值得指出的是：如果入和山都是特殊正交矩阵，它们分别对应于某个转动， 那么山也对应于某个转动（因为也是正交矩阵），当然，山几也对应于一个转 动。但是，一般来讲，矩阵乘法是不满足交换律的，即几山≠山几（通常说矩阵 乘法是不可对易的)，因此，转动通常也是不可交换的（如图）。 最后讲一点，前面我们讨论了坐标系旋转下，空间任何一点在新旧坐标系中 的坐标分量是通过下式联系的 = j= 对于这同一个表达式，我们完全也可以从另一个角度加以解释：我们可以把坐标 系看作是不动的，而是空间中的任一点（如P)按照相反的方向转过相同的角 度得到一个新的点（如P'),那么点P'的坐标x和点P的坐标x,之间的联系 也是由上式给出的。对旋转的这种看法称为主动的观点，而前面我们讨论的则是 被动的观点。在数学上这两种观点式等价的，在物理上究竟采用哪种观点则要视 具体情况而定，实际上，有时我们会同时采用这两种观点。 被动变换 主动变换 ●ò e X x=x cos+x sine x,=-xsin0+x2cosθ
交矩阵乘上反演矩阵得到。而三维空间中的反演是不能通过简单旋转实现的（反 演把右手系变为左手系，或者相反）。 值得指出的是：如果λ 和μ 都是特殊正交矩阵，它们分别对应于某个转动， 那么λμ 也对应于某个转动（因为也是正交矩阵），当然， μλ 也对应于一个转 动。但是，一般来讲，矩阵乘法是不满足交换律的，即λμ μ ≠ λ（通常说矩阵 乘法是不可对易的），因此，转动通常也是不可交换的（如图）。 最后讲一点，前面我们讨论了坐标系旋转下，空间任何一点在新旧坐标系中 的坐标分量是通过下式联系的 3 1 i i j j j x λ x = ′ = ∑ 对于这同一个表达式，我们完全也可以从另一个角度加以解释：我们可以把坐标 系看作是不动的，而是空间中的任一点（如 P ）按照相反的方向转过相同的角 度得到一个新的点（如 P′），那么点 P′的坐标 i x ′和点 P 的坐标 j x 之间的联系 也是由上式给出的。对旋转的这种看法称为主动的观点，而前面我们讨论的则是 被动的观点。在数学上这两种观点式等价的，在物理上究竟采用哪种观点则要视 具体情况而定，实际上，有时我们会同时采用这两种观点。 1 x 2 x 1 x ′ 2 x ′ θ θ P θ P′ 1 x 2 x P 11 2 21 2 cos sin sin cos xx x xx x θ θ θ θ ′ = + ′ =− + 被动变换 主动变换
