《力学》课程教学资源（数学工具）矢量分析与场论初步.pdf_大学文库

在柱坐标系中和球坐标中拉普拉斯算子的表达式分别为 2 2 2 2 2 2 1 1 r r z r r r                    φ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 θ θ φ θ θ θ                     sin sin sin ( ) r r r r r r 三、场论初步若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 P, 都有一个标量值 (或矢量值) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个标量场 (或矢量场)。例如: 温度和密度都是标量场, 力和速度都是矢量场。在引进直角坐标系后, 点 P 的位置可由坐标确定；因此给定了某个标量场就等于给定了一个标量函数 u(x,y,z)。在以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数；同理, 每个矢量场都可用某个向量函数 A  表示, 并假定它们有一阶连续偏导数，即 x x y y z z A x y z A x y z e A x y z e A x y z e     ( , , )  ( , , )  ( , , )  ( , , ) 相对应，Ax, Ay, Az 为所定义区域上的标量函数。 1. 标量场的梯度 (1)梯度的定义我们定义一个矢量 A  ，其方向就是标量函数 u 在 P 点处变化率为最大的方向，其大小就是这个最大变化率的值，这个矢量 A  称为函数 u 在 P 点处的梯度（gradient），记为 x y z e z u e y u e x u grad A             u   已可以用哈密顿算符表示，即 A  gard u  u  u 称梯度场。 (2) 梯度的性质梯度有以下重要性质： 1）方向导数等于梯度在该方向上的投影即 u l l u       2）标量场 u 中每一点 P 处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数 u(P)增大的方向。也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。 3） u 0, 这就是说如果一个矢量 A  满足  A 0  ，即 A  是一个无旋场，则矢量 A  可以用一个标量函数的梯度来表示，即 A  u  。如静电场中的电场强度就可以用一个标量函数静电势的梯度来表示。 2. 矢量场的散度（1）散度的定义设有矢量场 A  ，在场中任一点 P 处作一个包含 P 点在内的任一闭合曲面 S，S 所限定的

体积为V，当体积V 以任意方式缩向 P 点时，取下列极限 ΔV A dS S ΔV      lim0 如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场 A  在点 P 处的散度（divergence），记作 ΔV A dS divA S ΔV        lim0 在直角坐标系中，散度的表达式 z A y A x A divA x y z           也可以用哈密顿算子表示，即   z A y A x A A e A e A e z e y e x A e z x y x y z x x y y z z                                       可见， A    为一标量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度，它描述的是场分量沿着与各自方向上的变化规律。当 A    的值不为零时，其符号为正或为负。当 A    的值为正时，表示矢量场 A  在该点处有散发通量之正源，称为源点；当 A    的值为负时，表示矢量场 A  在该点处有吸收通量之负源，称之为汇点；当 A    的值等于零时，则表示矢量场 A  在该点处无源。我们称  A 0  的场是连续的或无散的矢量场，在第四章讲的磁场就是连续的或无散的矢量场。（2）高斯散度定理在矢量分析中，一个重要的定理是       V s AdV A dS    上式称为高斯散度定理，它说明了矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分。散度定理广泛地用于将一个封闭面积分变成等价的体积分，或者将一个体积分变成等价的封闭面积分。有关它的证明这里略去。 3.矢量的环量及旋度（1）环量的定义设有矢量场 A  ，l  为场中的一条封闭的有向曲线，定义矢量场 A  环绕闭合路径l  的线积分为该矢量的环量（circulation），记作    L Γ A dl   可见，矢量的环量也是一标量，如果矢量的环量不等于零，则在l  内必然有产生这种场的旋涡源；如果矢量的环量等于零，则我们说在l  内没有旋涡源

(2)旋度的定义矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样都是描绘矢量场A性质的重要物理量，它同样是一个积分量。为了知道场中每个点上旋祸源的性质，我们引入矢量场的旋度的概念。设P为矢量场中的任一点，作一个包含P点的微小面元S,其周界为1，它的正向与面元4S的法向单位矢量万成右手螺旋关系，则矢量场A沿7之正向的环量与面积S之比，当曲面AS在P点处保持以为法矢的条件下，以任意方式缩向P点，若其极限 A.dl lim S 存在，则称它为矢量场在点P处沿方向的环量面密度（亦即单位面积的环量）。显然，环量面密度与I所围成的面元S的方向有关。例如，在流体情形中，某点附近的流体沿着一个面上呈漩涡状流动时，如果I围成的面元与漩涡面的方向重合，则环量面密度最大：如果所取面元与漩祸面之间有一夹角，得到的环量面密度总是小于最大值：若面元与漩涡面相垂直，则环量面密度等于零。可见，必存在某一固定矢量B,这个固定矢量B在任意面元方向上的投影就给出该方向上的环量面密度，B的方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值，我们称固定矢量B为矢量A的旋度(curl或rotation),记作 rotA=B 该式为旋度矢量在方向的投影，即 A.di rot,A 因此，矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式 aA. rotA 8A,A. (OA,OA. y 也可以用算子又表示，即 @ e V×A=rotA= a 8x ay d2 A A A 一个矢量场的旋度表示该矢量单位面积上的环量，它描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。若矢量场的旋度不为零，则称该矢量场是有旋的。涡旋流动的水和台风是流体旋转速度场最好的例子。若矢量场的旋度等于零，则称此矢量场是无旋的或保守的，静电场中的电场强度就是一个保守场。旋度的一个重要性质就是它的散度恒等于零，即 7.(7×A=0

(2) 旋度的定义矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样都是描绘矢量场 A  性质的重要物理量，它同样是一个积分量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，我们引入矢量场的旋度的概念。设 P 为矢量场中的任一点，作一个包含 P 点的微小面元S，其周界为l  ，它的正向与面元S 的法向单位矢量 n  成右手螺旋关系，则矢量场 A  沿l  之正向的环量与面积S 之比，当曲面S 在 P 点处保持以 n  为法矢的条件下，以任意方式缩向 P 点，若其极限 ΔS A dl l ΔS P      lim 存在，则称它为矢量场在点 P 处沿 n  方向的环量面密度（亦即单位面积的环量）。显然，环量面密度与l  所围成的面元S 的方向有关。例如，在流体情形中，某点附近的流体沿着一个面上呈漩涡状流动时，如果l  围成的面元与漩涡面的方向重合，则环量面密度最大；如果所取面元与漩涡面之间有一夹角，得到的环量面密度总是小于最大值；若面元与漩涡面相垂直，则环量面密度等于零。可见，必存在某一固定矢量 B  ，这个固定矢量 B  在任意面元方向上的投影就给出该方向上的环量面密度，B  的方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值，我们称固定矢量 B  为矢量 A  的旋度（curl 或 rotation），记作 rotA B    该式为旋度矢量在 n  方向的投影，即 rot A ΔS A dl n l ΔS P        lim 因此，矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式 z y x y x z x z y e y A x A e x A z A e z A y A rotA                                             也可以用算子 表示，即 x y z x y z A A A x y z e e e A rotA                一个矢量场的旋度表示该矢量单位面积上的环量，它描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。若矢量场的旋度不为零，则称该矢量场是有旋的。涡旋流动的水和台风是流体旋转速度场最好的例子。若矢量场的旋度等于零，则称此矢量场是无旋的或保守的，静电场中的电场强度就是一个保守场。旋度的一个重要性质就是它的散度恒等于零，即   A 0 