1.1实数 第一章 极限 1.自然数N={01,2,…-Peano公理体系 2.整数Z={0,±1，±2，…} 3有数心-yeg:0 1.有域结构 2.有序结构 Q的性质 3.可数 4.稠密 5.Archimedes性质 7
1 1.1 实 数 第一章 极限 1. 自然数 ----Peano公理体系 2. 整数 3. 有理数 的性质 1. 有域结构 2. 有序结构 3. 可数. 4. 稠密 5. Archimedes性质
1.1实数 第一章 极限 有理数的缺点： 1.万物皆数？ 2.不能铺满数轴，空隙数不胜数 有理数不是完备(complete)的 X={xEQ:x>0andx0andy2>2. X≤Y但不存在q∈Q 使得X≤q≤Y. 为什么完备性很重要？ g=@,但eee0, n-yoo 不完备意味着，有理数域上的Cauchy/序列的极限不一定是有理数 微积分的基础是极限理论，极限理论的基础是实数理论
2 1.1 实 数 第一章 极限 有理数的缺点： 有理数不是完备(complete)的 但不存在 使得 不完备意味着，有理数域上的Cauchy序列的极限不一定是有理数 微积分的基础是极限理论，极限理论的基础是实数理论. 为什么完备性很重要？ 1. 万物皆数? 2.不能铺满数轴，空隙数不胜数
1.1实数 第一章 极限 实数的公理刻画 定义：称一个带有两个二元运算+，·和序关系<的集合为一个 实数模型，如果上述运算和序关系满足下列一组公理： 1域公理 2.全序公理 3.完备公理 定理：任意两个满足实数公理的实数模型都是同构的. 3
3 1.1 实 数 第一章 极限 实数的公理刻画 定义：称一个带有两个二元运算 +, ⋅ 和 序关系 <的集合为一个 1.域公理 2.全序公理 3.完备公理 定理：任意两个满足实数公理的实数模型都是同构的． 实数模型，如果上述运算和序关系满足下列一组公理：
1.1实数 第一章 极限 十进制小数表示 实数的构造方法 Dedekind分割 Cantor有理基本序列 难点：如何只利用Q和集合的知识定义出满足需求的？ 要求：R上的元素退化为Q中元素时，要符合Q上的运算与结构. 4
4 1.1 实 数 第一章 极限 实数的构造方法 十进制小数表示 Dedekind分割 Cantor有理基本序列 难点：如何只利用 和集合的知识定义出满足需求的 ？ 要求： 上的元素退化为 中元素时，要符合 上的运算与结构
1.1实数 第一章 极限 实数的十进制小数表示 定义：实数集R={±4,44a,…a∈N,0≤a≤9（≥）} 且规定R中 规范表示 (1)+0.0=-0.0 (2)±44…a9=±4.a…(a,+00(an<9) 有理数： 循环小数 无理数：非循环小数 定理：(1)R为有序集， 怎么定义大小关系？是否满足全序的公理要求？ (2)R稠密. (任意两不等实数之间存在其它的实数)
5 1.1 实 数 第一章 极限 实数的十进制小数表示 定义：实数集 定理：(1) 为有序集. (2) 稠密. 且规定 中 怎么定义大小关系？是否满足全序的公理要求？ (任意两不等实数之间存在其它的实数.) 有理数: 循环小数 无理数: 非循环小数 规范表示
1.1实数 第一章 极限 有界集 定义：E为实数集R的子集 若M∈R使得x≤M(k∈E),则称M为E的一个上界； 若3m∈R使得x≥mx∈E),则称m为E的一个下界； 若E既有上界，又有下界，则称E为有界集， 显然，E有界台]M∈R,s.tx≤Mx∈E. 6
6 1.1 实 数 第一章 极限 有界集 定义： 为实数集 的子集. 若 使得 则称 为 的一个上界； 若 使得 则称 为 的一个下界； 若 既有上界，又有下界，则称 为有界集. 显然， 有界
1.1实数 第一章 极限 定义：(1)若M为E的上界，且任意Mm,m'不再是E的下 界，则称m为E的下确界(infimum), 例如：E=(0,)的上确界为1，下确界为0. E={%:neN,n≠0 的上确界为1，下确界为0. 上确界sup(E):最小的上界 下确界inf(E):最大的下界 注：若E有最大（小）值，则其就是E的上（下）确界 7
7 1.1 实 数 第一章 极限 定义：(1) 若 为 的上界，且任意 界，则称 为 的上确界(supremum). 不再是 的上 (2) 若 为 的下界，且任意 界，则称 为 的下确界(infimum). 不再是 的下 例如： 的上确界为1，下确界为0. 上确界 ：最小的上界 下确界 ：最大的下界 注：若 有最大(小)值，则其就是 的上(下)确界. 的上确界为1，下确界为0
1.1实数 第一章 极限 确界原理 确界原理： O≠EcR. (1)若E有上界，则它有上确界； (2)若E有下界，则它有下确界； (3)若E有界，则它既有上确界，也有下确界； 确界原理表明了构造出来的R有连续性或完备性： 实数的完备性公理： 设X,Y为R的非空子集，且X≤Y(x<y,c∈X,y∈Y),则 存在r∈R使得X≤r≤Y. 8
8 1.1 实 数 第一章 极限 确界原理： (1) 若 有上界，则它有上确界； (2) 若 有下界，则它有下确界； (3) 若 有界，则它既有上确界，也有下确界； 确界原理表明了构造出来的 有连续性或完备性： 实数的完备性公理： 设 为 的非空子集，且 则 存在 使得 确界原理
1.1实数 第一章 极限 再利用确界原理定义R上的运算： 不妨设 X=X0X必n, y=oy. >0. 记Xn=X,Y,=%yn x+y≌sup{X,+Yn:n≥l. x.ysup{Xn·Y:n≥}. n安e 可验证：上述运算满足类似于Q上四则运算的性质 9
9 1.1 实 数 第一章 极限 不妨设 记 再利用确界原理定义 上的运算： 可验证：上述运算满足类似于 上四则运算的性质
1.1实数 第一章 极限 定理（实数的Archimedes性质）：a,b>0则月n,s.tna>b, 定理：实数集与实轴上的点一一对应. (怎么对应的？) 定理：实数集是不可数的 定理：有理数在实数集中稠密：x<y∈R,q∈Qs.tx<q< 实数集R是我们做分析的理想数域， 10
10 1.1 实 数 第一章 极限 定理(实数的Archimedes性质): 则 定理: 实数集与实轴上的点一一对应. (怎么对应的?) 定理: 实数集是不可数的. 定理：有理数在实数集中稠密： 实数集 是我们做分析的理想数域