中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（试卷习题）2017秋期中考试试卷解析及评分细则

2017年秋季学期中国科大数学分析(B1) 期中考试试卷解析及评分细则 注意事项： 1.判分如与评分细则有出入，请于2017.11.17上课时间和2017.11.18习题课时间来询问， 原则上是会重新改一遍那道题，因此查卷有风险，找分需谨慎！ 2.有些题目做法较多，解析中给出的只是一种参考做法 3.对于评分细则中未出现的错误，可能也会酌情扣分，有疑问也可以来问. 4.评分细则最终解释权归任课教师所有 吴天2017.11.17 中国科学技术大学2017-2018学年第一学期 数学分析(B1)期中考试试卷 考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 满分：100分 1.(10分)用数列极限的定义证明1im 、1 3n+2(-1)m 3 2 【证明】e>0,N= n>N时， 2 3n+2(-1)n 引-l+-ls< 【评分细则】 I.和N顺序弄反产生逻辑错误，扣2-5分 Ⅱ.提及n充分大，之后再取N产生的逻辑错误，扣2分， Ⅱ.笔误扣1分，放缩错误扣2分 2.(8分)写出一个在(0,1上连续且有界，但不一致连续的函数，并说明理由， 【解】考察f(x)=sin二.由于f(x)是初等函数，故在(0,1上连续.又f(x)儿≤1，故f(x)有界 考察 2n’s 1 元·则1imcn-n=0,且f(zn)-f(n川三1. 口 2nT+ 2 【评分细则】 I.选取的f(x)不满足提干中三个条件的，本题直接0分. Ⅱ.对于子列选取不恰当者，扣4-6分 L.计算了f(xn)-f(n川=什么，但是算错的，以及不等式放缩出现错误的扣1-2分。 1

2017c¢GÆœ•IâåÍÆ©¤(B1) œ•££Ú)¤9µ©[K 5øØëµ 1. ©Xܵ©[Kk—\ßûu2017.11.17˛ëûm⁄2017.11.18SKëûm5ŒØß K˛¥¨­#UòH@KßœdÚkºxßÈ©I>&ú 2. k K8â{ıß)¤•â—ê¥ò´Îâ{. 3. Èuµ©[K•ô—yÜÿßåUè¨Vúû©ßk¶Øèå±5Ø. 4. µ©[KÅ™)º8?ëì§k. «U 2017.11.17 •IâÆE‚åÆ2017-2018Æc1òÆœ ÍÆ©¤(B1)œ•££Ú £/™µ 4Ú £ûmµ 120 ©® ˜©µ 100 © 1. (10©)^Í4Ž¬y² limn→∞ n 3n + 2(−1)n = 1 3 . =y²>∀ > 0ß∃N = h 1  i ßn > Nûß    n 3n + 2(−1)n − 1 3    =    2 9n + 6(−1)n    ≤ 1 n I. ⁄N^S·á)‹6Üÿßû2-5©. II. J9nø©åßÉ￾2N)‹6Üÿßû2©. III. )ÿû1©ßò†Üÿû2©. 2. (8©)—òá3(0,1]˛ÎYÖk.ßÿòóÎYºÍßø`²nd. =)> f(x) = sin 1 x . duf(x)¥–ºÍß3(0,1]˛ÎY. q|f(x)| ≤ 1ßf(x)k..  xn = 1 2nπ ßyn = 1 2nπ + π 2 . K limn→∞ |xn − yn| = 0ßÖ|f(xn) − f(yn)| ≡ 1. =µ©[K> I. ¿f(x)ÿ˜vJZ•ná^áßKÜ0©. II. Èuf¿ÿTˆßû4-6©. III. Oé |f(xn) − f(yn)| =üoߥéÜß±9ÿ™ò†—yÜÿû1-2©. 1

V.使用定义证明连续性，但是出现错误者，扣2-3分， V.通过说明f(x)取值范围来证明f(x)有界，但是取值范围写错的，扣2分 3.(32分=8分×4)求极限 (im（1-n+） n→00 lim n→d e T x(e菱-1)ln(1+x2) .x2 2 3 (2)lim lim lim- r→o(sinx-x cos x)tanx z0 sin c(tanx-x） x→0 2x3 2 r+3+o(r)- 间即n1-到-=黑hz:1-动=期f-手-r=0 →0 →0+ 工→0 (4)lim (g-21+)=典（e-(-京+》-司 →● 【评分细则】 I.犯原则性错误，比如泰勒展开式写错，或不是乘积形式的情况将等价无穷小直接替 换，进而导致结果错误的，该小题直接0分 Ⅱ.在使用洛必达法则求导出现错误的情况下，结果错误扣6-8分，结果正确扣1-4分。 Ⅱ.泰勒展开未出现余项，扣2分：在非乘积形式下作无穷小替换，未造成结果错误， 扣2-4分 IV.变量代换作错，位于前半部分或产生较大影响的扣46分，后半部分且未产生较大影 响的扣1-3分 V.对于所用知识点全部运用正确，但在倒数几步由于简单计算失误导致结果错误的， 扣1-3分 4.(12分)求极限1im n→00 2+K k=1 【解 k 名+n n+1、1 n2 2 (n→o). k=1 2n 由夹逼原理：imk=1 n→00 n2+k=2 k=1 【评分细则】 TL I.对于出现im k 7m→00 n2+k ≤或≥某个式子的，以及夹逼原理表述不准的，扣4分 Ⅱ.结果错误，以及不等式放缩发生严重错误，仅一侧放缩正确得4分，两侧均不正确本 题直接0分 .不等式放缩发生错误，但主体思路正确的且答案正确扣2-4分 V.使用泰勒级数做法但未说明清楚余项的，结果正确扣1-2分，结果错误得1-2分 2

IV. ¶^½¬y²ÎY5ߥ—yÜÿˆßû2-3©. V. œL`²f(x)äâå5y²f(x)k.ߥäâåÜßû2©. 3. (32©=8©@4)¶4Å. (1) limn→∞  1 − 1 n + 1 n = limn→∞ ￾ 1 + 1 n
n −1 = 1 e . (2)limx→0 x(e x 2 − 1) ln(1 + x 2 ) (sin x − x cos x) tan x = limx→0 x · x 2 · x 2 sin x(tan x − x) = limx→0 1 2 x 3 x + x 3 3 + o(x 3 ) − x = 3 2 . (3) lim x→1− ln x · ln(1 − x) = lim x→0+ ln x · ln(1 − x) = lim x→0+ ln x − 1 x = lim x→0+ 1 x 1 x 2 = lim x→0+ x = 0. (4) limx→∞  x − x 2 ln ￾ 1 + 1 x
 = limx→∞  x − x 2 ￾ 1 x − 1 2x 2 + o( 1 x 2 )
 = 1 2 . =µ©[K> I. ãK5Üÿß'XV–m™Üß½ÿ¥¶»/™ú¹ÚdðÜO Üß? ó(JÜÿßTKÜ0©. II. 3¶^‚7à{K¶—yÜÿú¹eß(JÜÿû6-8©ß(J(û1-4©. III. V–mô—y{ëßû2©¶3ö¶»/™eäðOÜßôE§(JÜÿß û2-4©. IV. C˛ìÜäÜ߆ucå‹©½)åKèû4-6©ß￾å‹©Öô)åK èû1-3©. V. Èu§^£:‹$^(ß3ÍA⁄du{¸Oéîÿó(JÜÿß û1-3©. 4. (12©)¶4Å limn→∞ Xn k=1 k n2 + k . =)>1 2 = Xn k=1 k n2 + n ≤ Xn k=1 k n2 + k I. Èu—y limn→∞ Xn k=1 k n2 + k ≤½≥,á™fß±9Y%nL„ÿOßû4©. II. (JÜÿß±9ÿ™ò†u)Ó­Üÿß=ò˝ò†(4©ß¸˝˛ÿ( KÜ0©. III. ÿ™ò†u)ÜÿßÃNg¥(ÖâY(û2-4©. IV. ¶^V?Íâ{ô`²òŸ{ëß(J(û1-2©ß(JÜÿ1-2©. 2

sin2(ax) 5.(15分)求常数a,b使得f(x)= x>0在定义域内可导。 (2a-1)x+b,x≤0 【解】由f(x)在0处连续，f(0+)=0=f(0-)=b,即b=0.又由f(x)在0处可导，知： f (0)=lim f(a)-f(0) 1 x→0+ x→0+ sin2(ad=a2=f(0)=2a-1. 进而a=1.综上所述，a=1,b=0. 【评分细则】 I.α计算正确给7分，b计算正确给8分，以下的评分准则均在此基础上进行调整 Ⅱ.右导数未按照定义计算，而是使用导数的右极限计算且未证明二者相等的，扣4分 Ⅱ.b=0是通过对片(O)存在性得到，并对未证明极限是否存在的项使用极限四则运算 的，扣6-8分 6.(15分)设函数y=y(x)在R上可导且满足方程y+2型-x-sinx=1.求y(0) 【解】令x=0,有：y(0)+2o)=1,由于(x+2'=1+2rn2>0,故其严格递增，从 而y(0)=0是唯一解. 在题设两侧对r求导，有：+2血2-1-c0sx=0.令x=0,有：y0)=1十n2 2 【评分细则】 I.结果中计算正确但保留y(0)者，扣5分 Ⅱ.证明y(0)=0时未说明单调性者，扣3分 Ⅱ.求导出现错误，扣3-5分；最后一步失误算错，扣2分. IV.使用导数定义进行计算，并将2y~1者，扣6分 7.(8分)设f(x)在区间a,可导.假设存在xo∈(a,b使得f'(xo)=0.求证：存在ξ∈(a,b)使 得f')=f-f@ b-a 【证明】考察g(x)=e÷a(f(x)-f(a).只需证∈(a,b),st.g()=0即可. 若存在n∈(a,b,s.t.f()=f(a),则由Rolle定理，3ξ∈(a,n)≤(a,b),s.t.g()=0. 如果对x∈(a,,f(x)≠f(a),由f的连续性，不妨设f(x)>f(a),从而g(ao)0. 由Darboux定理知，导函数具有介值性，从而介于xo与n之间，s.t.g()=0.口 【评分细则】 I.辅助函数g(x)写对的，得3分. Ⅱ.凡是出现f'(x)连续者，本题直接0分 Ⅱ.由于本题作为压轴题目，难度偏大，其余情况会有酌情给分 3

5. (15©)¶~Ía, b¶f(x) =    sin2 (ax) x , x > 0 (2a − 1)x + b, x ≤ 0 3½¬çSå. =)>df(x)30?ÎYßf(0+) = 0 = f(0−) = bß=b = 0. qdf(x)30?åßµ f 0 +(0) = lim x→0+ f(x) − f(0) x = lim x→0+ sin2 (ax) x 2 = a 2 = f 0 −(0) = 2a − 1. ? a = 1. n˛§„ßa = 1ßb = 0. =µ©[K> I. aOé(â7©ßbOé(â8©ß±eµ©OK˛3dƒ:˛?1N. II. mÍôUϽ¬Oéß ¥¶^Ím4ÅOéÖôy²ˆÉßû4©. III. b = 0¥œLÈf 0 +(0)35ßøÈôy²4Å¥ƒ3ë¶^4ÅoK$é ßû6-8©. 6. (15©)ºÍy = y(x)3R˛åÖ˜vêßy + 2y − x − sin x = 1. ¶y 0 (0). =)>-x = 0ßkµy(0) + 2y(0) = 1ßdu(x + 2x ) 0 = 1 + 2x ln 2 > 0ߟÓÇ4Oßl y(0) = 0¥çò). 3K¸˝Èx¶ßkµy 0 + 2y ln 2 · y 0 − 1 − cos x = 0. -x = 0ßkµy 0 (0) = 2 1 + ln 2. =µ©[K> I. (J•Oé(3y(0)ˆßû5©. II. y²y(0) = 0ûô`²¸N5ˆßû3©. III. ¶—yÜÿßû3-5©¶Å￾ò⁄îÿéÜßû2©. IV. ¶^ͽ¬?1OéßøÚ2 y ∼ 1ˆßû6©. 7. (8©)f(x)3´m[a, b]å. b3x0 ∈ (a, b]¶f 0 (x0) = 0. ¶yµ3ξ ∈ (a, b)¶ f 0 (ξ) = f(ξ) − f(a) b − a . =y²> g(x) = e− x b−a (f(x) − f(a)). êIy∃ξ ∈ (a, b)ßs.t. g 0 (ξ) = 0=å. e3η ∈ (a, b]ßs.t. f(η) = f(a)ßKdRolle½nß∃ξ ∈ (a, η) ⊆ (a, b)ßs.t. g 0 (ξ) = 0. XJÈ∀x ∈ (a, b]ßf(x) 6= f(a)ßdfÎY5ßÿîf(x) > f(a)ßl g 0 (x0) 0. dDarboux½nߺ͉k0ä5ßl ∃ξ0ux0ÜηÉmßs.t. g 0 (ξ) = 0. =µ©[K> I. 9œºÍg(x)Èß3©. II. Ö¥—yf 0 (x)ÎYˆßKÜ0©. III. duKäèÿ¶K8ßJ›†åߟ{ú¹¨kVúâ©. 3