数学分析讲义 第一册 中国科学技术大学 二0一八年二月
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目录 第1章极限 1 $1.1实数 1 1.1.1 整数与有理数 1 1.1.2 10进制小数 2 1.1.3 实数域 2 1.1.4 数轴 3 习题 1.1 5 61.2 数列极限 6 1.2.1 数列极限的定义 6 1.2.2 收敛数列的性质 9 1.2.3 实数完备性若干等价命题 15 1.2.4 发散到无穷大的数列 21 1.2.5 Stolz定理 22 1.2.6 上极限与下极限* 23 习题 1.2 25 $1.3函数极限 28 1.3.1 函数 28 1.3.2 函数在无穷大处的极限 33 1.3.3 函数在一点处的极限 35 1.3.4 函数极限的性质和运算 38 1.3.5 函数极限存在判别法 40 1.3.6 两个重要极限· 42 1.3.7 无穷大量与无穷小量 44 习题 1.3 48 第1章综合习题 50 第2章函数的连续性 52 2.1连续函数的基本概念 52 2.1.1连续的定义· 52 2.1.2左（右）连续与间断 53 2.1.3连续函数的运算 55 2.1.4初等函数连续性 56 习题2.1····· 59 2.2闭区间上连续函数的性质 61 2.2.1零点定理与介值定理 61
8 ¹ 1 1 Ù 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 §1.1 ¢ê · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 1.1.1 êk n ê · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 1.1.2 10 ? ê · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 1.1.3 ¢ê · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 1.1.4 ê ¶ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3 S K 1.1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5 §1.2 ê 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 1.2.1 ê 4 ½  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 1.2.2  ñ ê 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9 1.2.3 ¢ê 5 e Z d · K · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 1.2.4 u Ñ Ã ¡ ê · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 21 1.2.5 Stolz ½ n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 22 1.2.6 þ 4 e 4 * · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23 S K 1.2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 25 §1.3 ¼ ê 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28 1.3.1 ¼ ê · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28 1.3.2 ¼ ê 3 à ¡? 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 33 1.3.3 ¼ ê 3 : ? 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 35 1.3.4 ¼ ê 4 5 Ú $ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 38 1.3.5 ¼ ê 4 3 O { · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 40 1.3.6 ü 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 42 1.3.7 à ¡ þ à ¡ þ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 44 S K 1.3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 48 1 1 Ù n Ü S K · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50 1 2 Ù ¼ ê ëY5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 52 §2.1 ë Y ¼ ê Ä V g · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 52 2.1.1 ë Y½  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 52 2.1.2 ( m ) ë Y m ä · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 53 2.1.3 ë Y ¼ ê $ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 55 2.1.4 Ð ¼ ê ëY5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 56 S K 2.1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 59 §2.2 4 « m þ ë Y ¼ ê 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 61 2.2.1 ":½ n 0 ½ n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 61
II 目 录 2.2.2有界性与最大最小值定理： 62 2.2.3一致连续性 65 习题2.2 67 第2章综合习题 68 第3章单变量函数的微分学 70 $3.1导数.· 70 3.1.1导数的定义.·.. 70 3.1.2导数的四则运算 75 3.1.3复合函数的求导法则 77 3.1.4反函数的求导法则.· 79 3.1.5基本初等函数的导数 82 3.1.6高阶导数.·······. 83 3.1.7参数方程表示函数的导数 86 习题31······· 88 S32微分.····.·…··· 92 3.2.1微分的定义 92 3.2.2微分的运算与一阶微分形式的不变性 93 习题3.2 96 $3.3微分中值定理········ 97 3.3.1 Fermat定理和Rolle定理 97 3.3.2微分中值定理 99 3.3.3导函数的介值性质 102 习题3.3·········· 104 S3.4未定式的极限.······. 107 3.4.18型未定式的极限 107 3.4.2器型未定式的极限 108 3.4.3其他类型的未定式的极限 110 习题3.4········ 113 §3.5函数的单调性和凸性 114 3.5.1函数的单调性与极值 114 3.5.2函数的凸性和拐点·· 117 3.5.3平面曲线的曲率.. 123 习题3.5 126 s3.6 Taylor展开.···· 128 3.6.1 Taylor公式 129 3.6.2余项的表示与估计 130 习题36············ 138
II 8 ¹ 2.2.2 k.5½n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 62 2.2.3 ëY5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 65 SK 2.2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 67 1 2 ÙnÜSK · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 68 1 3 Ù üCþ¼ê©Æ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 70 §3.1 ê · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 70 3.1.1 ê½Â · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 70 3.1.2 êoK$· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 75 3.1.3 Eܼê¦{K · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 77 3.1.4 ¼ê¦{K · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 79 3.1.5 Ä Ð ¼êê · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 82 3.1.6 p ê· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 83 3.1.7 ëê§L«¼êê · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 86 SK 3.1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 88 §3.2 © · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 92 3.2.1 ©½Â · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 92 3.2.2 ©$ ©/ªØC5· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 93 SK 3.2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 96 §3.3 ©¥½n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 97 3.3.1 Fermat ½nÚ Rolle ½n· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 97 3.3.2 ©¥½n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 99 3.3.3 ¼ê05 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 102 SK 3.3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 104 §3.4 ½ª4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 107 3.4.1 0 0 .½ª4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 107 3.4.2 ∞ ∞ .½ª4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 108 3.4.3 Ù¦a.½ª4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 110 SK 3.4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 113 §3.5 ¼êüN5Úà5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 114 3.5.1 ¼êüN54 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 114 3.5.2 ¼êà5Ú$: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 117 3.5.3 ²¡Ç· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 123 SK 3.5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 126 §3.6 Taylor Ðm · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 128 3.6.1 Taylor úª · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 129 3.6.2 {L«O · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 130 SK 3.6 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 138
亚 第3章综合习题····· 139 第4章不定积分···········… .····142 $4.1不定积分及其基本计算方法 142 4.1.1 基本概念····· 142 4.1.2换元积分法 145 4.1.3分部积分法 149 习题4.1.···…...· 151 §4.2有理函数的不定积分 153 4.2.1有理函数的不定积分 153 4.2.2三角函数有理式的不定积分 155 4.2.3其他类型的初等函数的不定积分 157 160 第5章单变量函数积分学.··· …161 S5.1积分··…······… 161 5.1.1积分的定义 161 5.1.2可积函数类 163 5.1.3 积分的初等例子： 165 5.1.4积分的基本性质 167 5.1.5微积分基本定理 170 5.1.6积分的计算 173 5.1.7用积分定义函数 178 5.1.8 Taylor展开中余项的积分表示 181 S5.2函数的可积性··· 183 5.2.1函数的可积性 183 5.2.2可积函数类有关定理和性质的证明 187 习题5.2 190 S5.3积分的应用..···· 191 5.3.1平面曲线的弧长 192 5.3.2平面图形的面积 194 5.3.3旋转体的体积·· 195 5.3.4旋转体的侧面积 196 5.3.5变力作功和引力 197 习题5.3 199 S5.4广义积分.······ 200 5.4.1无穷区间上的积分 200 5.4.2瑕积分 201
III 1 3 ÙnÜSK · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 139 1 4 ٠ؽȩ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 142 §4.1 ؽȩ9ÙÄ O{ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 142 4.1.1 Ä Vg· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 142 4.1.2 È©{ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 145 4.1.3 ©ÜÈ©{ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 149 SK4.1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 151 §4.2 kn¼êؽȩ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 153 4.2.1 kn¼êؽȩ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 153 4.2.2 n¼êknªØ½È© · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 155 4.2.3 Ù¦a.Ð ¼êؽȩ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 157 SK4.2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 160 1 5 Ù üCþ¼êÈ©Æ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 161 §5.1 È© · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 161 5.1.1 È©½Â · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 161 5.1.2 ȼêa · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 163 5.1.3 È©Ð ~f· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 165 5.1.4 È©Ä 5· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 167 5.1.5 È©Ä ½n· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 170 5.1.6 È©O · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 173 5.1.7 ^È©½Â¼ê· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 178 5.1.8 Taylor Ðm¥{È©L« · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 181 §5.2 ¼êÈ5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 183 5.2.1 ¼êÈ5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 183 5.2.2 ȼêak'½nÚ5y² · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 187 SK 5.2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 190 §5.3 È©A^ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 191 5.3.1 ²¡l· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 192 5.3.2 ²¡ã/¡È· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 194 5.3.3 ^=NNÈ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 195 5.3.4 ^=Ný¡È· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 196 5.3.5 CåõÚÚå· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 197 SK 5.3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 199 §5.4 2ÂÈ©· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 200 5.4.1 á«mþÈ© · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 200 5.4.2 ×È© · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 201
IV 目 录 5.4.3广义积分的换元和分部积分 203 习题5.4···.·· 206 第5章综合习题 207 第6章常微分方程初步 211 S6.1一阶微分方程··· 213 6.1.1分离变量法 213 6.1.2齐次方程.···. 214 6.1.3一阶线性方程·。 216 6.1.4可降阶微分方程 219 习题6.1 222 S62二阶线性微分方程.···· 224 6.2.1二阶线性方程解的结构 225 6.2.2常数变易法 228 6.2.3 二阶常系数齐次线性微分方程 229 6.2.4振动方程的解* 232 习题62······ 235 第7章无穷级数 236 $71数项级数.······ 236 7.1.1基本概念与性质.······ 236 7.1.2正项级数的收敛性及其判别法 238 7.1.3一般级数的收敛性及其判别法 244 7.1.4级数的乘积.··· 249 7.1.5无穷乘积*. 252 习题7.1·.·· 253 S7.2函数项级数··· 256 7.2.1收敛性 256 7.2.2 一致收敛性 258 7.2.3 致收敛级数的性质 261 习题72··········· 263 s7.3幂级数和Taylor展式·· 265 7.3.1幂级数的收敛区域.· 265 7.3.2收敛半径的计算.··。 266 7.3.3幂级数的性质·.··. 267 7.3.4幂级数的运算 269 7.3.5函数的Tavlor展开式. 270 习题73·············· 275
IV 8 ¹ 5.4.3 2ÂÈ©Ú©ÜÈ© · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 203 SK 5.4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 206 1 5 ÙnÜSK · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 207 1 6 Ù ~©§ÐÚ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 211 §6.1 ©§ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 213 6.1.1 ©lCþ{ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 213 6.1.2 àg§· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 214 6.1.3 5§ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 216 6.1.4 ü ©§· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 219 SK 6.1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 222 §6.2 5©§ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 224 6.2.1 5§)(· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 225 6.2.2 ~êC´{ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 228 6.2.3 ~Xêàg5©§· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 229 6.2.4 ħ)* · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 232 SK 6.2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 235 1 7 ٠á?ê · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 236 §7.1 ê?ê· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 236 7.1.1 Ä Vg5· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 236 7.1.2 ?êÂñ59ÙO{· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 238 7.1.3 ?êÂñ59ÙO{· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 244 7.1.4 ?ê¦È · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 249 7.1.5 á¦È* · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 252 SK 7.1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 253 §7.2 ¼ê?ê · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 256 7.2.1 Âñ5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 256 7.2.2 Âñ5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 258 7.2.3 Âñ?ê5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 261 SK 7.2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 263 §7.3 ?êÚ Taylor Ъ· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 265 7.3.1 ?êÂñ« · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 265 7.3.2 Âñ»O· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 266 7.3.3 ?ê5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 267 7.3.4 ?ê$ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 269 7.3.5 ¼ê Taylor Ðmª· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 270 SK 7.3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 275
$74级数的应用·……… 277 7.4.1用级数方法计算积分 277 7.4.2近似计算.····· 278 7.4.3微分方程的幂级数解 279 7.4.4 Stirling公式....... 281 习题74········ 284 第7章综合习题····· 284
V §7.4 ? ê A^ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 277 7.4.1 ^ ? ê{ O È © · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 277 7.4.2 C q O · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 278 7.4.3 © § ? ê ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 279 7.4.4 Stirling ú ª · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 281 S K7.4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 284 1 7 Ù n Ü S K · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 284
第1章 极限 微积分实际上是用微分和积分的方法来研究变量，大体上可分为微分部分、积分部 分和它们之间的关系这三个部分.现在公认为微积分是由Newton(牛顿)和Leibniz (莱布尼兹)发明的.微积分的基础是极限理论，在微积分发展初期，极限的概念从 逻辑上来说很不严密，从而造成长达两百年之久的争论.直到19世纪初Cauchy（柯 西)、Veierstrass(魏尔斯特拉斯)、Riemann(黎曼)等人在前人工作的基础上逐步完成 了极限理论的严格化，这种争论才算结束.极限理论严格化的标志性节点是实数理论的 建立，而极限理论的严格化以及后来微积分的进一步发展都离不开对实数集合的讨论， §1.1 实数 有关实数理论的详细讨论将在第三册中展开，作者也可以从其他教学参考书中得到 更多信息这里仅做描述性介绍并陈述一些基本事实， 1.1.1整数与有理数 自然数是一切数的出发点.通常用N表示自然数集合 N={0,1,2,3,…} 自然数集对加法运算封闭，即任意两个自然数a和b,他们的和a+b还是自然数.自然 数集对减法运算不封闭，对加减法运算封闭的数集是整数集合 Z={0,±1，±2，±3，…}， 它是自然数集的一个扩充.如果考虑乘法运算，则整数集对乘法运算封闭，但对乘法运 算的逆运算一除法运算不封闭.在整数集合中添加整数相除的商，就得到有理数的全 体 Q=号19∈么，4≠0， 它对加减乘除四则运算封闭，也称Q为有理数域 在数的发展之初，主要是用来计数和丈量线段的长度.但是由勾股定理可知边长为 1的正方形的对角线长度a满足a2=2（这个数记为a=√2)，这样的数是不能用有 理数表示的，因此必须引入更多的数
1 1 Ù 4 È©¢Sþ´^©ÚÈ©{5ïÄCþ, Nþ©©Ü©!È©Ü ©Ú§m'XùnÜ©. y3ú@È©´d Newton £Úî¤Ú Leibniz £4ÙZ[¤u². È©Ä:´4nØ, 3È©uÐÐÏ, 4Vgl Ü6þ5`éØî, l E¤üzcÈØ. 19 VÐ Cauchy£ ܤ!Weierstrass£dA.d¤!Riemann£iù¤ 1 /éÝ a ÷v a 2 = 2 £ùêP a = √ 2¤, ùê´ØU^k nêL«, Ïd7LÚ\õê.
2 第1章极限 1.1.210进制小数 每个有理数都可以表示为小数的形式，如 2 5=0.125,=0.3333 =0.181818.. 一般地，一个（正）十进制小数a是指 a=a0.a1a2an·, 其中a0是一个非负十进制整数，a1,a2…∈{0,1,2,3,4,5,6,7,9，a也可以记为 a=++器+0 如果小数点后边只有有限个数不是0，称α是有限小数：如果小数点后面的数是循环出 现的，既存在自然数n,k使得an+i=an+i+k对i=1,2,3,·均成立，称小数a是循环 小数，记为 a=a0.ala2...anan+1...an+k. 每一个有理数都可以写成有限小数或循环小数.反之，每一个有限小数或循环小数 都是有理数.例如，循环小数a=0.158是有理数： 1000a=158.158 999a=158 158 a= 9991 无限不循环小数称为无理数.有理数和无理数通称实数，全体实数的集合记为R, 实数有多种构造方式，彼此等价.以上我们用10进制表示实数是一种直观的描述 1.1.3实数域 实数域（即实数的全体）是有理数域的扩充，除了与有理数域一样对加、减、乘、除 四则运算封闭外，还具有以下基本特点，即 完备性（连续性）公理设X和Y是实数集R中的两个非空子集，并满足对于任 何x∈X,y∈Y,有x≤y,那么一定存在一个介于X和Y之间的实数，即存在c∈R, 使得对任何x∈X,y∈Y,有x≤≤y: 实数的完备性公理是实数理论的基础，但该公理对有理数域并不成立.例如对于有 理数域Q的两个子集 X={x|x∈Q,x20,Y={y|y∈Q,y2>2,y>0} 就不存在介于两者之间的一个有理数.尽管如此，有理数域在实数域内具有稠密性，即
2 1 1 Ù 4 1.1.2 10 ?ê zknêѱL«ê/ª, X 1 8 = 0.125, 1 3 = 0.3333 · · · , 2 11 = 0.181818 · · · /, £¤?ê a ´ a = a0.a1a2 · · · an · · · , Ù¥ a0 ´K?ê, a1, a2 · · · ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}, a ±P a = a0 + a1 10 + a2 102 + · · · an 10n + · · · . XJê:>kkêØ´ 0, ¡ a ´kê: XJê:¡ê´ÌÑ y, Q3g,ê n, k ¦ an+i = an+i+k é i = 1, 2, 3, · · · þ¤á, ¡ê a ´Ì ê, P a = a0.a1a2 · · · ana˙ n+1 · · · a˙ n+k. zknêѱ¤kê½Ìê. , zkê½Ìê Ñ´knê. ~X, Ìê a = 0.15˙ 8˙ ´knê, 1000a = 158.15˙ 8˙ 999a = 158 a = 158 999 . ÃØÌê¡Ãnê. knêÚÃnêÏ¡¢ê, N¢ê8ÜP R. ¢êkõ«Eª, *d d. ±þ·^10 ?L«¢ê´«*£ã. 1.1.3 ¢ê ¢ê£=¢ê N¤´knê*¿, Ø knêé\!~!¦!Ø oK$µ4 , äk±eÄ A:§= 5£ëY5¤ún X Ú Y ´¢ê8R ¥üf8, ¿÷véu? Û x ∈ X, y ∈ Y , k x 6 y, @o½30u X Ú Y m¢ê, =3 c ∈ R, ¦é?Û x ∈ X, y ∈ Y , k x 6 c 6 y. ¢ê5ún´¢ênØÄ:§Túnéknê¿Ø¤á. ~Xéuk nê Q üf8 X = {x | x ∈ Q, x2 0}, Y = {y | y ∈ Q, y2 > 2, y > 0} ÒØ30uüömknê. ¦+Xd, knê3¢êSäkÈ5, =
1.1实数 3 定理1.1 任何两个实数（不管是有理数还是无理数）之间一定存在一个有理数， 证明设a,b∈R满足a1,或10m+1b>1+10+1a 取10m+1al为10n+1a表示成无穷小数后的整数部分，它满足 [10m+1al≤10m+a0,在1'上取点A,B满足OA'=n,OB=1,过点B作线段 AF的平行线，交数轴于B点，则OB=。利用OB作为新的尺度逐次丈量，可以在 数轴上表出所有有理数， 如果数轴上一个点A不能对应任何一个有理数，则点A将数轴分成左边和右边两 部分.设左边部分那些点对应的有理数集合记为X,右边那些点对应的有理数集合记为 Y,显然对任意x∈X,y∈Y,有x<y根据实数完备性（连续性）公理，存在一个实数 a介于X,Y之间，这个数就与点A对应 与点对应的数也称为点的坐标.正是基于这种对应关系，在今后的讨论中，不再严 格区分数轴上点和其对应的实数（点的坐标）.甚至将整数（或有理数、无理数）对应的 点称为整数点（或有理点、无理点）. 数轴上一点A到原点O的距离就是对应实数的绝对值.绝对值满足 1°a≥0，等号成立当且仅当a=0,即正定性： 2°a-b=lb-a,即对称性： 3°a+≤l1a+M,即三角不等式 以上三条正是定义距离的三个要素.当然，绝对值还有其他一些性质，不再赘述
1.1 ¢ê 3 ½n 1.1 ?Ûü¢ê£Ø+´knê´Ãnê¤m½3knê. y² a, b ∈ R ÷v a 0, cn > 1. ¤± 10n+1(b − a) > 1, ½ 10n+1b > 1 + 10n+1a [10n+1a] 10n+1a L«¤Ã¡êêÜ©, §÷v [10n+1a] 6 10n+1a 0§3 l 0 þ: A0 , B0 ÷v OA0 = n, OB0 = 1§L: B0 ã AA0 ²1§ê¶u B :§K OB = 1 n "|^ OB #ºÝÅgàþ, ±3 ê¶þLѤkknê. XJê¶þ: A ØUéA?Ûknê, K: A ò궩¤>Úm>ü Ü©. >Ü©@ :éAknê8ÜP X, m>@ :éAknê8ÜP Y , w,é?¿ x ∈ X, y ∈ Y , k x 0, Ò¤á = a = 0, =½5; 2 ◦ |a − b| = |b − a|, =é¡5; 3 ◦ |a + b| 6 |a| + |b|, =nØ ª. ±þn^´½Âåln. ,, ýékÙ¦ 5§Ø2Kã.
4 第1章极限 设a,b∈R,aa},[a,+o)={x∈R|x≥a} 以后经常用到的是以一点为中心的开区间(a-6,a+)={x|z-al<6},称为 a的一个邻域.而用集合{x|0<z-al<6}表示去掉中心点的邻域，有时用它来刻 画“点a的附近
4 1 1 Ù 4 a, b ∈ R, a a}, [a, +∞) = {x ∈ R | x > a}. ±²~^´±:¥%m«m(a − δ, a + δ) = {x | |x − a| < δ}, ¡ a . ^8Ü {x | 0 < |x − a| < δ} L«K¥%:§k^§5 x“: a NC”.
