前 言 此书的材料来源于2003年我在加州大学洛杉矶分校教授高等本科水平实分析 系列课程的讲义.本科生普遍认为实分析是最难学的课程之一，这不仅是由于许多 抽象概念（例如拓扑、极限、可测性，等等）初次遇到，而且也是由于课程所要求的 证明的高度严格性.由于认识到这个困难，老师常常面临困难的选择，要么降低课 程的严格性水平而使其容易一些，要么保持严格的标准而去面对众多学生、甚至很 多优秀学生在与课程的材料进行艰难奋斗时的求助与企盼 面对此种困境，我尝试用一种稍许不同的方式来处理这门课程.按照典型的方 式，在实分析中一系列导引内容是预先假定了的，假定学生已经熟知实数，熟知数 学归纳法，熟悉初等傲积分，并且熟悉集合论的基础知识，然后一下子就进入课程 的核心内容，例如极限概念.通常确实会给进入课程的学生轻描淡写地展示一下这 些预备性的知识，但在绝大多数情况下，这些材料都不是认真地叙述的.例如，极少 有学生能够真正地定义实数，甚或真正地定义整数，尽管他们可以直觉地想象这些 数字并熟练地对它们进行代数运算.我觉得这好像是失去了一个良好的机会，在学 生首次遇到的课程当中，实分析（与线性代数和抽象代数一样）是这样的一门课，人 们确实必须全力抓住一个真正严格的数学证明的本质.正因如此，这门课程提供了 一个极好的机会去回顾数学的基础，特别是提供了一个做出实数的真正精确的解释 的机会 于是我这样来安排这门课.在第一周，我描述分析中的一些众所周知的“悖论” 在这些悖论中，平常的算律（例如极限与求和的交换，或求和与积分的交换）以不严 格的方式加以使用而导出像0=1那样的荒谬的结果.这就启发我们提出这样的要 求：回到事物的开端，甚至回到自然数的真正的定义，并且要求从头检验全部的基 础原理.例如，第一个习题就是（只使用Peano公理）验证自然数的加法是结合的 (即(a+b)+c=a+(b+c)对于一切自然数a,b,c成立，见习题2.2.1).那么，即使 是在第一周，学生也必须使用数学归纳法来写出严格的证明.当推导出自然数的全 部基本性质之后，我们就转向整数（其原始定义是自然数的形式差）；一旦学生验证 了整数的一切基本性质，我们就转向比例数“（其原义是整数的形式比）；而后我们 就（经由Cauchy序列的形式极限）转到实数.与此同时，还要涉及集合论的基础， 例如演示实数的不可数性.仅在此后（大约十讲之后）我们才开始进入人们通常认 为的实分析的核心内容一一极限、连续性、可微性，等等 对于这种处理方式的回应是相当有趣的.在最初的几周当中，学生感觉所讲的 材料在概念层面上非常容易，因为我们只涉及平常的数系的基本知识.但在理性层 ①原文rational,.中文通常作“有理数”.一译者注
2前言 面上，这些材料却是很具挑战性的，因为我们是从基础的观点来分析这些数系的，目 的是从这些数系的较原始的属性推导出更进一步的事实.有个学生告诉我，向他的 非高等水平实分析课程的朋友们解释如下事项是何等的困难：(a)为何他依然在学 习怎样证明为什么一切比例数(rational numbers)要么是正的，要么是负的，要么是 零（习题4.2.4），而此时非高等水平的学生已经在区分级数的绝对收敛和条件收敛； (b)尽管如此，为什么他认为自己的家庭作业比他的朋友的作业显然要更困难.另 一位学生相当苦恼地对我说，尽管她能够明显地看到为什么总可以把自然数除 以一个正整数g而给出商a和小于g的余数r(习题2.3.5)，她还是很难对此写下一 个证明.（我告诉她，在本课程稍后，她将必能证明那些不能明显地看出其真确性的 命题，她好像并不为此而特别感到欣慰)然而，这些学生非常喜欢家庭作业，因为 当他们坚持下去并获得对于一个直觉的事实的严格证明时，在他们的思想中，规范 的数学的抽象处理与他们对数学的（以及对于现实世界的）不规范的直觉之间建立 起了牢固的联系，这常使他们十分满意.待到他们被要求给出实分析中令人厌恶的 “埃普西龙-怠尔塔”证明时，他们已经有了阐释直觉并具有认识数理逻辑的精妙术 语（如区分量词“对于一切”和量词“存在”）的大量经验，从而使得他们能相当顺 利地过渡到这种证明，而我们就能非常精确地同时快速地叙述课程的内容，到了第 十周，我们就赶上了非高级班的进度，学生们就该验证Riemann-Stieltjes积分的变 量替换公式并证明逐段连续函数是Riemann可积的了.到第二十周系列课程结束 时，我们就已（通过课堂讲述及家庭作业）完成了Taylor级数和Fourier级数的收 敛理论，多元可微函数的反函数定理和隐函数定理，并建立了Lebesgue积分的控制 收敛定理 为了纳入这许多材料，很多关键性的基本结果都留给学生作为家庭作业来证 明，事实上这正是本课程的一个本质精神，旨在确保学生真正理解所介绍给他们的 那些概念.这种处理方式一直保持在本书中，大多数习题是证明课文中的引理、命 题和定理.如果希望使用这本书来学习实分析的话，那么我确实强烈建议做尽可能 多的习题，也包括那些证明“明显的”命题的习题.这决不是一门只经单纯阅读就 可轻易理解其精妙之处的课程.多数章节都配有一些习题，列于各节的末尾， 对于专业数学工作者来说，此书的进度可能像是有些慢，特别是在最初几章，其 中着重强调严格性（除了那些明确标明是“非正式的”讨论之外），并强调对于许多 平常作为不证自明而迅速通过的步骤给予理性的证明.最初几章中对于平常的数 系（通过令人生厌的论证）建立了很多“明显的”性质，例如两个正的实数的和还是 正的（习题5.4.1），或者给定两个不同的实数，必可找到一个介于它们之间的比例数 (习题5.4.5).在这几个奠基性的篇章中，同样也对于非循环论证进行了强调一 不可使用后面的更进一步的结果去证明早先的更原始的结果.特别是，通常的代数 算律在推导出来之前不予使用（而且这些算律必须分别对于自然数、整数、比例数
前言3 以及实数进行推导).这样做的理由是，它能使学生学会在数系的和谐的直觉的背 景上，从有限的假定出发演绎出真确的事实这种抽象说理的艺术；此种实践的报偿， 其后当必须以同类说理技巧去处理更进一步的概念（例如Lebesgue积分）时就会 兑现 由于此书是由我关于此课题的讲义引伸出来的，因而带有强烈的教学色彩；很 多关键性的材料都包含在习题中，并且在很多情况下我选择给出较长的冗烦的然而 是构造性的证明，而不选取巧妙的抽象的证明.在更深的课本中，学生会看到这些 材料的更简短的、概念上更为凝练的处理，那样做比起严格性来要更加强调直觉； 但我觉得，为了真正懂得研究生层次或更高层次的处理分析学的更现代的、直观的 和抽象的手段，首先了解如何严格地及“手工地”做分析是很重要的 此书中的叙述十分强调严格性及形式化，但这并不是说基于此书的讲课必须遵 循同样的方式.实际上在我自己的教学中，我曾用课堂上的时间来揭示隐于概念之 后的直观形象（画很多非规范的图形并举例），从而给课文中的正式表示提供一个 补充的观点.作为家庭作业而设置的习题在概念和直观形象之间提供了本质的桥 梁，要求学生把直观与形式理解两者结合起来，以做出对一个问题的正确证明.我 发现对于学生来说，这是最困难的工作，因为它要求对所学内容的真确理解而不只 是记住或含混不清地吸收.然而我从学生那里得到的反馈是，由于上述缘故家庭作 业是非常必要的同时也是非常有益处的，因为这些作业使他们把相当抽象的数学 的形式处理与他们对于譬如数、集合以及函数等基本概念的天然的直觉联系了起 来.当然，为达成这种联系，一个好的助教的帮助是非常宝贵的 至于基于此书的课程的考试，我建议或者采用可以看书或笔记的开卷方式，以 与课本中的习题类似的题目（但宜更短，别设置不常见的圈套）来考试，或者采用回 家作答方式，以比课本的习题更难的题目进行考试.课程的题材实在太宽泛了，以 致没法强迫学生记住那些定义和定理，所以我不赞成闭卷考试，也不赞成基于对书 本的反刍式的压缩所做的考试.（实际上，在我自己的考试中我总是附上一纸，列出 与考题相关的关键性的定义和定理)使考试类似于课程所设置的家庭作业，将同 时有助于启发学生尽可能认真地复习和理解他们的家庭作业中的问题（相对于使 用卡片或其他此类手段来死记材料而言)，这不仅对于考试，而且对于一般地做数学 都是一个好的准备 此书中的某些材料对于主题而言不是很本质的，若时间不够则可删去.例如， 对于分析学而言，集合论并不像数系那么基本，关于集合论的两章（第3章和第8 章)可以不太严格地较快地通过，或者作为阅读材料.关于逻辑学以及十进制系统 的附录原本就是可选的或补充的阅读材料，大概不必在课堂上讲授；：关于逻辑学的 附录特别适合于配合最初几章同时阅读.还有第16章（关于Fourier级数）在课文 的其他地方用不到，因此可以删去
4前言 由于篇幅的缘故，此书分成两卷”.第一卷稍长，但若删去或削减一些非本质的 材料，则可用大约三十讲完成.第二卷不时地涉及第1卷，但也可以给从别处学完 分析学初等课程的学生讲授.此卷也用大约三十讲完成. 对于我的学生，其通过了实分析的整个课程，更正了赖以编成此书的讲稿中的 若干错误，并给予了其他的有价值的反馈者，谨表深深的感谢.我也非常感谢很多 对本书作出更正并提出很多重要改进意见的匿名的评论者 陶哲轩 ①中译本将两卷合为一本出版.—一编者注
目 录 第一部分 第7章 级数……125 第1章 引论……3 S71有限级数…125 §1.1什么是分析学 S7.2无限级数…133 S1.2为什么要做分析 S7.3非负实数的和 第2章从头开始：自然数 ……12 §7.4级数的重排…141 S2.1 Peano公理 $7.5方根判别法与比例判别法·145 22加法…… 19 第8章 无限集合 ……149 $2.3乘法 23 s8.1 可数性···· …·………149 第3章 集合论 …26 §8.2在无限集合上求和…155 3.1基本事项…… 26 $8.3不可数的集合 …160 S3.2 Russell悖论（选读）…36 $8.4选择公理…163 s3.3 函数……………38 S8.5序集…………166 S3.4象和逆象.. 第9章 R上的连续函数…173 35笛卡儿乘积… 48 S9.1实直线的子集合 …173 63.6集合的基数 53 §9.2实值函数的代数 第4章 整数和比例数 …59 s9.3 函数的极限值…180 S4.1 整数···59 S9.4连续函数 …187 §4.2比例数… 65 $9.5 左极限和右极限 ………………………190 §4.3绝对值与指数运算 69 §9.6最大值原理 ……193 S4.4比例数中的空隙 72 $9.7 中值定理…… …···196 第5章 实数 ·75 s9.8单调函数· …198 $5.1 Cauchy序列 ………··76 S9.9一致连续性……200 S5.2等价的Cauchy序列…80 69.10在无限处的极限…205 S5.3实数的构造…… .82 第10章 函数的微分 ……·……···……207 s5.4 给实数编序········ …89 §10.1基本定义……207 S5.5最小上界性质…94 §10.2局部最大、局部最小以及导 $5.6实数的指数运算，第I部分…98 数………212 第6章序列的极限…102 $10.3单调函数及其导数.…214 $6.1收敛及极限的算律…102 §10.4反函数及其导数…215 $6.2广义实数系…107 S10.5L'H6 pital法则…217 $6.3序列的上确界和下确界…110 第11章Riemann积分 ··220 $6.4上极限、下极限和极限点…112 §11.1分法.220 6.5某些基本的极限…118 S11.2逐段常值函数…223 56.6子序列………119 S11.3上Riemann积分与下 $6.7实的指数运算，第IⅡ部分·122 Riemann积分……227
2目录 §11.4 Riemann积分的基本性质.231 §15.2实解析函数……314 S11.5连续函数的Riemann可积 §15.3Abel定理…318 性………235 15.4幂极数的相乘…321 S1l.6单调函数的Riemann可积 615.5 指数函数和对数函数 ·……324 性……238 S15.6谈谈复数 ……327 sl1.7一个非Riemann可积的 S15.7三角函数…333 函数……240 第16章 Fourier级数 ··…·…338 s11.8 Riemann-Sticltjes积分…241 §16.1周期函数…338 $11.9微积分的两个基本定理…244 516.2周期函数的内积…340 S11.10基本定理的推论……248 §16.3 三角多项式： ·…·…343 第二部分 §16.4 周期卷积………345 第12章度量空间… 255 Sl6.5 Fourier定理和Plancherel $121定义和例… 255 定理……………349 S122度量空间的一些点集拓扑知 第17章 多元微分学.…354 识………262 S17.1线性变换…354 §12.3相对拓扑…265 $17.2多元微分学中的导数…359 §12.4 Cauchy序列及完备度重空 §17.3偏导数和方向导数…362 §17.4多元微分链法则.…368 §12.5紧致度量空间………269 第13章度量空间上的连续 S17.5二重导数与Clairaut定理…371 函数…274 §17.6压缩映射定理…373 S131连续函数……274 §17.7多元反函数定理…375 S13.2连续性与乘积空间…276 §17.8隐函数定理…379 §13.3连续性与紧致性… 第18章 Lebesgue测度 .…384 279 §13.4连续性与连通性…280 §18.1目标：Lebesgue测度·385 §13.5拓扑空间（选读）…283 §182第一步：外测度 …·…386 第14章一致收敛…287 §18.3外测度不是加性的 ····…394 614.1函数的极限值 287 618.4 可测集…396 614.2逐点收敛与一致收敛…290 618.5 可测函数……401 S14.3一致收敛性与连续性… 294 第19章Lebesgue积分 614.4一致收敛的度量 §19.1 简单函数………404 S14.5函数级数和Weierstrass M判 $19.2非负可测函数的积分 ....409 别法……298 §19.3绝对可积函数的积分…416 §14.6一致收敛与积分…300 §19.4与Riemann积分比较…420 S14.7一致收敛和导数…302 §19.5 Fubini定理…421 §14.8用多项式一致逼近…305 附录A数理逻辑基础…426 第15章 幂级数……312附录B十进制 446 15.1形式幂级数…312索引…453
第一部分
第1章 引 论 $1.1什么是分析学 本书是对于实分析的一个高等本科水平的介绍.实分析指的是：实数的分析、 实数序列和实数级数的分析以及实值函数的分析.与实分析相关却又不同的有复分 析、调和分析以及泛函分析等.复分析指的是：复数的分析及复函数的分析.调和 分析涉及对于调和（振动）如正弦振动的分析，以及这些振动如何经由Fourier变换 合成其他函数.泛函分析则重点聚焦于函数（以及它们怎样构成如向量空间之类的 东西).分析学是对这些对象进行严格研究的学科，它着重于尽力明白、准确地弄清 这些对象的定性的和定量的性状.实分析是微积分的理论基础，而微积分是人们用 以处理函数的那些计算规则的汇集 本书中我们将研究许多你从初等微积分中熟知的对象：数、序列、级数、极限、 函数、定积分、导数等.你已经具有大量的对于这些对象进行计算的经验，但此处 我们将更多地集中于这些对象的基础理论.我们将涉及如下的一些问题： 1.什么是实数？有没有最大的实数？在0之后，“接下去的”实数是什么？（也 就是说最小的正实数是什么？)你能不能把一个实数分成无限多份？为什么像2这 样的数具有平方根，而像一2这样的数就没有？如果存在无限多个实数也存在无限 多个比例数，那么，实数比比例数“更多”这话从何谈起？ 2.怎样取一个实数序列的极限？哪些序列有极限而哪些没有？如果你可以制 止一个序列跑向无穷，这是否意味着此序列终究会停止变化而收敛？你能把无限多 个实数都加起来而仍得到一个有限的实数吗？你能把无限多个比例数加在一起而 终止于一个非比例数吗？如果你重新排列一个具有无限和的级数的元素，所得到的 和依然一样吗？ 3.什么是函数？说一个函数连续指的是什么？可微指的是什么？可积指什么？ 有界指什么？你能把无限多个函数加在一起吗？取函数序列的极限是什么意思？ 你会微分一个函数的无限级数吗？求积分是什么意思？如果函数(x)当x=0时 取值3而当x=1时取值5（即f(0)=3且f(1)=5),那么当x在0和1之间走 动时，它必须取到介于3和5之间的每个中间值吗？为什么？ 根据你的微积分知识，你可能已经知道如何回答其中的一些问题，不过这些东 西对于微积分课程来说大体上只是第二位重要的.那里所强调的是使你实施计算， 例如计算xsix2从x=0到x=1的积分.但既然你熟悉这些对象并已知道如何
4第1章引论 进行各种计算，我们就要回到理论，并力图真正理解所发生的事情. §1.2为什么要做分析 谈到分析，一个合情合理的问题是问“为什么做分析？”.了解事情为何起作用， 在一定的哲学意义上是件乐事.但一个务实的人或许会争辩说，人们只需要知道对 于处理现实生活问题，事情怎样起作用就够了.你在入门课程中接受的微积分训练 肯定使你能初步解决许多物理、化学、生物、经济、计算机科学、金融、工程或其他 某些你终身要从事的行业中的问题一你肯定会使用链式法则，LH6 pital法则或 分部积分等诸如此类的法则，而不知道这些法则为何起作用，或者不知道对于这些 法则是否有什么例外之处.但是，如果使用法则时不知道这些法则是从何而来，对 它们的使用有何限制，那么就可能产生麻烦.让我举一些熟知的法则的例子来说明， 如果不知其分析基础而滥用就可能导致灾难 例1.2.1（用零相除）此事你很熟悉：消去律ac=bc→a=b,当c=0时不 成立.例如，等式1×0=2×0成立，但若盲目把0消去就得到1=2，这不成立. 在这种情况下，显然是做了用零相除之事，但在其他情况下，事情可能更为隐蔽， 例1.2.2（发散级数）你大概见过像下面的无穷和 9=1+发++后+后+ 那样的几何级数.你也大概见过求此级数的和的下述花招：如果把级数的和叫作 S,然后两边通乘以2，就得到 1.1.1 2S=2+1+2+4+8+=2+S 于是S=2,从而级数的和是2.但是，如果你对级数 S=1+2+4+8+16+· 使用同样的花招，就得荒谬的结果 2S=2+4+8+16+.=S-1→S=-1. 于是，同一个理由证明了1+是++合+…=2并给出了1+2+4+8+…=-1. 为什么我们相信第一个等式而不相信第二个？一个类似的例子是级数 S=1-1+1-1+1-1+ 可以写成 S=1-(1-1+1-1+…)=1-S
§1.2为什么要做分析5 从而S=;亦或可以写成 S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+·=0+0+0+·, 从而S=0;甚或可以写成 S=1+(-1+1)+(-1+1)+…=1+0+0+·, 从而S=1.哪个是正确的？（答案见习题7.2.1.） 例1.2.3（发散序列）上面的例子有个小小的变形.设x是实数并设L是极 限 L=lim x". 九+0∞ 改换变元n=m+1,得 L=n巴om+1=n×zn=2n把e 但若m+1→心，则m→∞，故 lim xm=lim xm lim x=L, m+1+0o t九+00 n-00 从而 xL=L. 到此，我们可以消去L并断定对于任何一个实数x都有x=1,这是荒谬的.但 是，由于已经知道用零相除的问题，我们可以稍傲聪明一点而将上面的结论代以断 言或者x=1,或者L=0.特别地，我们似乎证明了 lim xn=0对于一切x≠1. 但是如果将其用于特定的x的值的话，这个结论也是荒谬的.例如，用于特殊情形 x=2,我们就会断言序列1,2,4,8，·收敛到零，而用于特殊情形x=一1，将断 言序列1，-1,1，-1，·也收敛到零.这些结论都是荒谬的；上述论证有什么问题 呢？（答案见习题6.3.4） 例1.2.4（函数的极限值）从表达式lim sinx开始，作变量替换x=y+元并 回顾sin(g+)=-siny就得到 lim sin=lim sin(+)=lim (-siny)=-lim siny. y+元二 y-0 由于i。sinx=,。sin头，那么我们得到 lim sinx=-lim sin, E+00 I-00