“十二五”国家重点图书出版规划项目 中国科学技术大学 精品 教材 数学分析教程 上册 第3版 常庚哲史济怀 编著 中国科学技术大学出版社
目 次 总序 …(i) 第3版前言 (试)》 第2版前言 第1章实数和数列极限 1.1实数… …（1) 1.2数列和收敛数列… (8) 1.3收敛数列的性质… (13) 1.4数列极限概念的推广… (24) 1.5单调数列… (26) 1.6自然对数的底e… (31) l.7基本列和Cauchy收敛原理 (36) 1.8上确界和下确界…… (40) 1.9有限覆盖定理… (43) 1.10上极限和下极限 (45) 1.11St0lz定理… (51) 第2章函数的连续性 (55) 2.1集合的映射… (55) 2.2集合的势… (59) 2.3函数… (63) 2.4函数的极限… (68) ·ix·
数学分析教程：。· 2.5极限过程的其他形式 …(80) 2.6无穷小与无穷大 …（84） 2.7连续函数 …（89)》 2.8连续函数与极限计算 (98) 2.9函数的一致连续性 (102) 2.10有限闭区间上连续函数的性质… (106) 2.11函数的上极限和下极限… (111) 2.12混沌现象… (114) 第3章函数的导数… (122) 3.1导数的定义 (122) 3.2导数的计算 (128) 3.3高阶导数… (138) 3.4微分学的中值定理 (143) 3.5利用导数研究函数 (153) 3.6LH0 spital法则… (172) 3.7函数作图 (179) 第4章一元微分学的顶峰一Taylor定理… (184) 4.1函数的微分… (184) 4.2带Pean0余项的Taylor定理… (190) 4.3带Lagrange余项和Cauchy余项的Taylor定理 (199) 第5章求导的逆运算… (211) 5.1原函数的概念… (211) 5.2分部积分法和换元法… (214) 5.3有理函数的原函数…… (223) 5.4可有理化函数的原函数 (229) 第6章函数的积分… (236) 6.1积分的概念 (236) 6.2可积函数的性质 (244) ·X·
。目次 6.3微积分基本定理 (249) 6.4分部积分与换元 (255) 6.5可积性理论 (264) 6.6 Lebesgue定理 (270) 6.7反常积分 (278) 6.8数值积分 (285) 第7章积分学的应用… (288) 7.1积分学在几何学中的应用 (288) 7.2物理应用举例 … (299) 7.3面积原理 (300) 7.4 Wallis公式和Stirling公式 (309) 第8章多变量函数的连续性… (313) 8.1n维Euclid空间… (314) 8.2R"中点列的极限 (319) 8.3R”中的开集和闭集 (322) 8.4列紧集和紧致集 (328) 8.5集合的连通性… (332) 8.6多变量函数的极限 (335) 8.7多变量连续函数 (340) 8.8连续映射 (347) 第9章多变量函数的微分学…… (351) 9.1方向导数和偏导数 (351) 9.2多变量函数的微分 (355) 9.3映射的微分 … (362) 9.4复合求导 (365) 9.5曲线的切线和曲面的切平面 (370) 9.6隐函数定理… (384) 9.7隐映射定理 (391) ·xi·
数学分析教程51”。 9.8逆映射定理… (399) 9.9高阶偏导数 …… (404) 9.10中值定理和Taylor公式 …… (412》 9.11 极值… (419)》 9.12条件极值… (428) 附录多项式的插值与逼近初步一Bezier曲线和Coons曲面举例·(440) 问题的解答或提示… (460) 索引 (495) ·Xi·
第1章 实数和数列极限 粗略地说，数学由三个大的分支一几何学、代数学和分析学组成.它们有着 各自的研究对象、内容和方法，同时又互相依赖和渗透.分析学是从“微积分”开始 的.虽然在古代已经产生了微积分的朴素的思想，但是作为一门学科，微积分则建 立于17世纪下半叶.在这一方面，英国、法国和德国的数学家们作出了杰出的贡 献.创立微积分的大师们着眼于发展强有力的方法，他们虽然解决了许多过去被认 为是无法攻克的难题，却未能为自己的方法奠定无懈可击的理论基础.这就引起了 长达一个多世纪的混乱和争论，直到19世纪初才玉宇澄清，一切混乱、误解的阴霾 才为之一扫.这主要是由于有了严格的极限理论，以及这一理论所依赖的“实数体 系的连续性”得以确定 本书书名为《数学分析教程》，正是研究微积分学的原理和应用，因此我们得从 实数理论和数列的极限理论谈起， 1.1实 数 在中学里，大家已经学习过有理数，任何有理数都可以表示为两个整数 之商： r=卫 式中p,9都是整数，且9≠0.大家还知道：有理数经过加、减、乘、除（除数不能 是0)四则运算之后仍为有理数.据此，称全体有理数组成一个数域.就是说，仅仅 通过四则运算，我们不可能从有理数得到别的东西 。1
数学分析教程。，·· 那么有理数是如何产生的？让我们从整数说起 我们说桶内有5升水，这说明桶内水的含量，这个量是由数“5”和单位“升”来 共同表达的.所以数是反映量的，是量的抽象.量无非是多寡、长短和大小，是比较 出来的.例如，2匹马、5只羊，这是量的多寡，是可以数的量.似乎可以说，由这种可 数量的多寡比较产生了自然数1,2,3，….但自然数远远不足以度量长短，这是因 为长短是连续变化的，这种“连续”的量与上述“可数”的或“离散”的量有根本区别 人们想到，规定一个标准长叫“一尺”，一切长度拿来与这个标准长作比较，就产生 了有尽小数的概念，如3尺2寸5分，即3.25尺.大小就是面积或体积的比较，而 面积是长度的平方，体积是长度的立方，因此要用数反映量，归根到底，就是要创造 出足以反映一切长短的全部数来.也就是说，规定了标准的单位长以后，每一个线 段都相应有一个数表示其长短，并且数与数的关系能反映线段的长短关系 那么有尽小数是否能度量一切线段的长度呢？远远不能.例如，把22尺布分 给7个人，每人得22/7尺，这个数不能用有尽小数来表示，而是 2号=3.i4285. 即无尽循环小数.这是因为用7除22，除不尽，产生余数1；再除，产生余数3.如此 下去，每次所余只能是0,1，…，6这七个数之一.因此最多除7次必得重复出现的 余数.如果重复出现的余数是0，就得有尽小数，不然就得无尽循环小数.由此我们 可得一般的结论：分数都是有尽小数或无尽循环小数 那么有尽小数或无尽循环小数是不是一定是分数呢？答案是肯定的.例如 3.25= 325-13 100=4 无尽循环小数3.142857通过下面的方法也可写成分数：记 3.i42857=3+a, 其中a=0.142857,那么10a=142857+a,于是 142857-142857-1 106-1 999999 , 所以 3.i42857=3+号=2号 由以上讨论知道，任何分数一定是有尽小数或无尽循环小数，反之亦然.那么 分数能否度量一切线段的长度呢？仍是远远不能！ 我们知道，两条直角边均为1的直角三角形的斜边长为√2.这个数就不是一个 ·2·
··。第1章实数和数列极限 分数.事实上，如果√2是分数，即 2=卫. 其中p,q是无公因子的正整数，那么 p2=2q2, 即p2是偶数，因而p也是偶数.设p=2k(k是一自然数)，代入上式，得4k2= 2g2,即 92=2k2, 所以9也是偶数，于是p,q有公因子2，这与p,q没有公因子的假设矛盾，所以√2 不是一个分数 但是我们也不是对√2一无所知，我们知道它在1与2之间；算得精确些，知道 它在1.4与1.5之间：再精确些，它在1.41与1.42之间；再精确些，它在1.414与 1.415之间…也就是说， √2=1.41421…， 它不是有尽小数，也不是无尽循环小数，否则它就是分数了· 于是我们看到，用标准长去量一切线段，只能出现上述三种情况：量得尽，得长 为有尽小数；量不尽，出现循环，得长为无尽循环小数；量不尽，且不出现循环，得无 尽不循环小数.对第三种情况，我们自然用量得的无尽不循环小数表示该线段的长 度也就是说，在分数（有尽或无尽循环小数）的基础上，再补充无尽不循环小数，就 可以度量一切线段的长度了： 我们把0，±1，±2，…叫作整数；把0和正负分数（整数也是分数）叫作有理数， 因而有理数包括0、正负有尽小数和无尽循环小数；把正负无尽不循环小数叫作无 理数.有理数和无理数统称为实数.有尽小数显然也可看作特珠的无尽循环小数， 例如 1.25=1.2500…=1.2499… 这样，实数就是全体无尽小数、 今后我们用Z记全体整数，N记自然数，N记全体正整数，Q记全体有理数，R 记全体实数，RQ记全体无理数。 构造了实数以后，我们就可以建立数轴.在直 线（图1.1）上任取一点O当作原点，再取一个线 Q 01 P 段当作单位长，以此单位长从原点开始往右量，量 图1.1 得线段OP的长为x,则以x表示P点，叫作P点 ·3·
数学分析教程·。… 的坐标.以此单位长从原点开始往左量，量得线段OQ的长为x',则以-x'表示Q 点，叫作Q点的坐标.这样，1上每一点都对应一个实数，即该点的坐标，1叫作数 轴.有了数轴就可以建立平面和空间坐标系，从而就可以建立解析几何学. 至此，问题还没有完.数轴上每一点都对应一个实数为其坐标，那么每一实数 是否都是数轴上某点的坐标呢？也就是说，全体实数是否正好充满整个数轴？答 案是肯定的，但严格的证明要等证明了闭区间套定理（定理1.5.2）之后才能给出， 但对任何有理数p/q,很容易找到数轴上和它对应的点：把单位长度分成g等份， 找出代表1/q的那一点，由此便容易找出代表p/9的那一点. 对固定的正整数q,让p取遍所有的整数，那么p/q这些数把数轴分成一些 长度为1/q的区间.每一个实数x位于这些区间中的一个区间，这就是说，对任意 固定的实数x,一定可找出一个整数p,使得 卫≤xa} 一个数x的绝对值是指它到原点的距离，记为|x【.点x与y之间的距离是 x-y|.对任何实数x与y,我们有 -|x|≤x≤x,-|y|≤y≤|yI, ·4
:··,·第1章实数和数列极限 把这两个不等式相加，得到 -(|x+1yI)≤x+y≤|x|+|yI, 这等价于 |x+y≤Ix|+|y1. 这个不等式称为三角形不等式.容易证明，式中等号成立的条件是x与y中至少有 一个等于0，或者x与y有相同的正负号. 我们说R中的数集E在R中是稠密的，如果在任意两个实数间必有E中的 一个数 上面这段讨论说明，有理数集Q在R中是稠密的 前面我们证明了√2是无理数，那么3，√5是不是也是无理数？答案是肯定的， 下面就给出证明， 例1证明：若n∈N'且n不是完全平方数，那么√n是无理数 证明用反证法.假设√n=p/q,其中p,q∈N*.由于n不是完全平方数，故 有m∈N·,使得mp1>pz>p3>… 与q>91>q2>93>…, 使得 卫=P1=P2= 9919293 这是不可能的，因为从P或q开始的正整数不可能无止境地递减下去，这就证明了 √n不可能是有理数. 0 上行中所用的记号“口”表示待证明的命题已经证明完毕。 上述证明中所用到的方法，叫作无穷递降法.这是在初等数论中常用的一种 方法. 数的产生和发展是由计数和量测的需要而促成的.因此，如果我们只局限于有 ·5
