1.2数列极限 第一章 极限 定义：无穷多个数排成的序列称为数列，通常记为{an}或 a1,a2, a1称为数列的首项，a,称为数列的第n项，或通项， 1.在几何上，数列{an}可看作数轴上的一个点列： X a as 06 00 有时也将{(n,an)看做平面上的一个点列. 2.数列{an}也可看作自变量为正整数n的函数，即an=f(n) 1
1 1.2 数列极限 第一章 极限 称为数列的首项， 称为数列的第 n 项， 或通项. 1 2 3 , , , , , n a a a a 1 a n a 定义：无穷多个数排成的序列称为数列，通常记为 an 或 1. 在几何上，数列 可看作数轴上的一个点列: n a a3 a2 a1 a4 a5 a6 an x 2. 数列an也可看作自变量为正整数 n 的函数， 即 . n a f n 有时也将 ( , ) 看做平面上的一个点列. n n a a7
1.2数列极限 第一章 极限 有一类数列具有特别重要的意义，它的项的值随着下标增大而趋 于一个特定的数.这种数列称为收敛数列.例如， 0.3,0.33,0.333,…，0.33…3,… 3.1,3.14,3.141,3.1415,… 另一类数列是通项不趋向于一个数，称之为发散数列.例如， 1,2,3,…,n2… 2
2 1.2 数列极限 第一章 极限 有一类数列具有特别重要的意义, 它的项的值随着下标增大而趋 于一个特定的数. 这种数列称为收敛数列. 例如, 0.3, 0.33, 0.333, , 0.33 3, n 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 另一类数列是通项不趋向于一个数，称之为发散数列. 例如, 1 1 1 1, ,1, , ,1, , 2 3 n 1, 2,3, , , n
1.2数列极限 第一章 极限 定义：{an}为给定的数列.如果存在常数a∈R有下面的性质： 对于任意给定的正数&>0，都存在N∈N,使得当n>N时 a,-ao) 如果这样的常数a不存在，则称数列{4n}发散 用“”表示“任意”，“门”表示“存在”，“s.t”表示“使得” 则可用更简洁的语言来描述数列的极限： lima,=a←→e>0,3N∈N,st.n>V时an-al<&. n→co 3
3 1.2 数列极限 第一章 极限 定义： an 为给定的数列. 如果存在常数 a 有下面的性质： 对于任意给定的正数 0 ，都存在 N ，使得当 n N 时 n a a 则称数列 an 以 a 为极限，或称 an 收敛于 a ，记作： lim n n a a ( ) n 或 a a n 如果这样的常数 a 不存在，则称数列 发散. n a 用“ ”表示“任意” , “ ”表示 “存在”，“s.t.”表示“使得”, . n lim n 0, ,s.t. N n N a a n a a 时 则可用更简洁的语言来描述数列的极限:
1.2数列极限 第一章 极限 lima,=a←→&>0,3N∈N,s.tn>N时an-a0，s.t.对VN∈N,都n,>N使得 an -a>o 4
4 1.2 数列极限 第一章 极限 3. 并不需要找出满足要求最小的 ，只要指出 的存在性. 说明： 1. 定义中 必须是任意给定的正数, 而不是某个正数, 任意性强调的是 ``任意地小''的方面, 而不是``任意大''的方面. 2. 当 给定后, 再来寻求满足条件的 N , 因而 通常与 N 有关.一般来说， 当 变小时， N 会变大. N N . n lim n 0, ,s.t. N n N a a n a a 时 an 的极限不是 a 0 0 0, s.t. , 对 N n N 都 使得 0 0 . n a a
1.2数列极限 第一章 极限 lima=a←→Ve>0,3N∈N,st.n>N时an-aW时，an均落在(a-&,a+)内. 5
5 1.2 数列极限 第一章 极限 a 2 a 2 a 1 a aN1 a N 2 a 3 a 4 a 则当 n N 时， an 均落在a a , 内. “数列 an 的极限为 a ”的几何解释 若在数轴上标出 a1 ， a2 ， …， an ，…及 a ，再作 a 的 邻域 a a , . n lim n 0, ,s.t. N n N a a n a a 时 x
1.2数列极限 第一章 极限 lima=a←→H&>0,3N∈N,s.t.n>N时an-a0,lim n->oo n-→on Inn 3.lim =0. 4.limg”=0(09k1) n-→o n 5.lim 2” =0 n-→0 n! 6.{《-1)}发散 6
6 1.2 数列极限 第一章 极限 例： 1. , lim . n n a c c 1 2. 0, 0. lim n n ln 3. lim 0. n n n 4. lim 0 | | 1 . n n q q 2 lim 0 . ! 5. n n n . n lim n 0, ,s.t. N n N a a n a a 时 6. ( 1) n 发散 基础知识点：用定义证明或计算极限
1.2数列极限 第一章 极限 例：1.证明lim(Vn+1-√n)=0 2.已知lima,=a,证明lim4+4,++a2=a n>∞ n 3.证明{sinn}发散. 7
7 1.2 数列极限 第一章 极限 lim( 1 ) 0. n n n 1 2 lim . n n a a a a n lim , n n a a 例：1. 证明 2. 已知 证明 3. 证明 sin n 发散
1.2数列极限 第一章 极限 收敛数列的性质 极限的性质、四侧运算等能帮助计算更多更复杂的极限问题 极限的性质： 1.修改或删除有限项，不改变数列的收敛性与极限， 2.a 的极限若存在，则必唯一. 3.设lima=a,则Vc>0,N(g)∈N,当n>W(e)时， n→o an∈(a-8,a+8).即对H&>0,(a-&,a+8)都包含了{an} 中无穷多项. 9
9 1.2 数列极限 第一章 极限 收敛数列的性质 极限的性质、四则运算等能帮助计算更多更复杂的极限问题. 极限的性质： 1. 修改或删除有限项，不改变数列的收敛性与极限. 2. 的极限若存在，则必唯一. n a ( , ). n a a a 即对 0, ( , ) a a 都包含了 中无穷多项. an 3. 设 lim , n 则 0, ) N( , 当 时， n a a n N ( )
1.2数列极限 第一章 极限 收敛数列的性质 4.若{an}收敛，则有界.即3M,s.tan0,则N,s.t.n>N时，an>0 an>0能推出a>0吗？ No a≥0又是否能推出an≥0？ No 推论：设lima=a.若an≥1，则a≥l. n->o0 反之，若a>1,则3N,s.t.n>N时，an>1. 10
10 1.2 数列极限 第一章 极限 收敛数列的性质 4. 若 an 收敛，则有界. 即 , s.t. ( ). M a M n n 反之， 有界的数列未必收敛. 5. 保号性：设 lim . n 若 则 n a a 0, 0. n a a 反之，若 a 0, 则 N n N a ,s.t. , 0. 时 n 推论：设 lim . n 若 则 n a a , . n a l l a 反之，若 a l , 则 N n N a l ,s.t. , . 时 n 0 0 n a 能推出 a 吗？ No a 0 0 又是否能推出 an ？ No
1.2数列极限 第一章 极限 四则运算的极限 定理（数列极限的运算法则）：若lima,=a,limb=b,则 n->oo n→o (1)lm(a,±b,)=ima,±im6.=a±b n0 (2)lim(ab)=lim a,limb=ab 1>0 n>00 3)lim 0y lim an n→ n bn 6名m6=h*0) n→0o 总结：四则运算与极限可交换次序. 11
11 1.2 数列极限 第一章 极限 四则运算的极限 定理(数列极限的运算法则)：若 lim , lim , n n 则 n n a a b b lim lim lim n n n n n n n a b a b a b （1） （2） lim lim lim n n n n n n n a b a b a b （3） lim lim lim 0 lim n n n n n n n n n a a a b b b b b 总结：四则运算与极限可交换次序