数学分析习题课讲义 (第2版)（上册） 谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 编 高华教育出版社
第2版前言 本书在2003年出版之后，承蒙许多读者的厚爱，曾多次印刷使用，在使用过程 中一些院校的师生对本教材提出了很多宝贵的意见与建议.现在将近十五年了，情 况有了许多变化，遂决定在初版的基础上进行改写 第2版继续保留了原书的基本框架（指章、节和小节）和主要内容（指命题、例 题、练习题和参考题)，结合我们多年的使用经验进行了一些必要的增删和改写， 此次修订，除对文字、数学名词和符号进行了修改之外，主要是对部分命题和 例题的证明或解法做了改进，重写和增加了很多注解.对于参考题，特别是难度较 大的参考题，大幅度地修改或重写了参考题提示，力求使得所给出的提示对读者确 实有帮助 在第2版中更新和增加了部分参考文献，在更新的文献中特别要指出，在第1 版中多次引用的菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》的50年代的中译本（三卷八分 册)，由于第2版中改用原书第8版在2006出版的中译本（三卷），因此引用该书时 一般均有变动.在增加的文献中，《吉米多维奇数学分析习题集学习指引》（全三册） 和本书一样，也是学习微积分的辅导用书，但在写法和内容方面很不一样，与本书 具有很强的互补性，因此在第2版中多次加以引用 编者在这里要特别感谢本书第1版的审阅人沐定夷教授.他在知道本书将出第 2版时，非常支持.虽然他因健康原因不能提供更多的指导与帮助，却一再表示出 版后一定要给他看.由于他已于2017年3月不幸去世，他的这个愿望已不能实现 实际上，沐定夷教授不仅是第1版的审阅人，而且还向我们提供了他在上海交通大 学多年的数学分析教学中积累起来的大量宝贵资料，对第1版的编写起到了重要的 作用.谨以本书的出版作为对沐定夷教授的纪念 最后要指出，本书的出版得到了高等教育出版社的推动和大力支持.编者特别 对于李蕊同志的帮助、策划和责任编辑胡颖同志的辛勤劳动和高质量的工作表示 衷心的感谢 编者 2018年8月
上册内容简介 这里将分章介绍本书上册正文中的部分内容.建议读者广泛使用书末的两个 索引，即中文名词索引和外文名词索引，从中可以查到许多在目录上不易寻找到的 材料 第一章为引论.1.3介绍了一系列初等不等式，其中特别是平均值不等式在书 中将多次应用.在1.4中对两个逻辑符号V和的由来和用处作了详细的讲解.这 都是在一般教科书中不可能花很多篇幅来介绍的内容 第二章为数列极限.在2.1.3小节中对适当放大法作详细讨论.例题2.2.1在一 般教科书中是少见的.2.2.3小节中提前引入无穷级数，并对调和级数的发散性给出 多个证明.2.5用两个通俗问题引入数e.2.6对于迭代生成的数列介绍了“蛛网工 作法”，总结出具有相当普遍性的两条规律 第三章为实数系的基本定理.除了单调有界数列的收敛定理是上一章的主要 工具外，在这一章中分节详细介绍其余5个基本定理的内容、证明和应用.对区间 套定理的“凝聚”特点作了细致的分析.凝聚定理的证明依赖于一般教科书中不常 见的“任何数列必有单调子列”的结论.用三分法证明Cauchy收敛准则仅见于[41]. Lebesgue数的存在性证明是易法槐提出的.介绍了上、下极限的三种不同视角，还 包括它们在多个方面的应用.在3.7.2小节举出用本章定理一题多解的例题 第四章为函数极限.其中limsin=1的证明取自杂志《数学的实践与认 x→0x 识》中的论文.对于使用等价量代换法中的常见错误进行了分析，指出了正确使用 的两条规则 第五章为连续函数.其中除了对基本定理作细致的处理外，作为第二章中迭代 生成数列的现代发展，还在5.6介绍了混沌.为了理解这些最新发展所需的知识只 限于连续性和上、下极限的概念 第六章为导数与微分.其中对几个基本结果采用了[17]中的处理方法.对于一 阶微分的形式不变性作了详细讨论 第七章为微分学中值定理和Taylor定理.对于Fermat定理、Rolle定理和 Lagrange中值定理都采用了不同于一般书中的新的证明方法.根据沐定夷的建议， 提出并证明了Taylor多项式的最优性. 第八章为微分学的应用.这里分7个专题作介绍.8.4和8.5对于凸函数以及 凸性在证明不等式中的应用有丰富的材料，其中包括大量练习题.作图题中收入了 燕尾突变的例题 第九章为不定积分.对于第二换元法作出了一个严格证明（取自《美国数学月 刊》上的论文).对于求有理函数的不定积分举出两种比较灵活的计算方法（其中之 一来自[72])
ii 上册内容简介 第十章为定积分.不正面介绍零测度概念而给出关于Riemann可积充要条件 的Lebesgue定理的证明[8].对积分第一中值定理的中值可以在开区间中取到的结 论作出证明（与[53,57]类似）.计算定积分的例题10.4.1是较新的.在利用对称性 计算定积分方面利用了[49]的分析，这比传统的说法更为透彻.在对称性分析的基 础上形成的命题10.4.6成为解决一系列问题的有力工具 第十一章为积分学的应用.在几何应用中推荐用Green公式的一个特例[42] 11.2与8.4和8.5呼应，为凸函数和不等式提供了丰富的内容.对于积分估计给 出了较多的例题.Wallis公式的证明虽然是传统的，但具有新的视角.Stirling公式 采用[8]中比较严格的证明.改写了Niven对于π的无理性的证明 第十二章为广义积分.对Dirichlet判别法的必要性给出证明.采用较新的方 法计算概率积分.对于无穷限广义积分收敛时被积函数在无穷远处的特殊性质作 了详细讨论 由于篇幅所限，本书没有介绍插值多项式的丰富内容，在数值积分方面也未作 详细介绍，但仍收入了关于近似计算的许多材料.从收敛数列的收敛速度出发，正 式引入算法的阶，讨论了对圆周率的多种算法、对数e的两种近似计算的比较、方 程求根的不同算法等
目 录 第一章引论 §1.1关于习题课教案的组织 1 §1.2书中常用记号 2 §1.3几个常用的初等不等式 3 1.3.1几个初等不等式的证明(3)1.3.2练习题(7) §1.4逻辑符号与对偶法则 9 第二章数列极限 12 S21数列极限的基本概念.… 12 2.1.1基本定义（(12)2.1.2思考题(13) 2.1.3适当放大法(14)2.1.4例题(15) 2.1.5练习题(17) §22收敛数列的基本性质 17 2.2.1思考题(18)2.2.2例题(18) 2.2.3判定数列发散的方法(21)2.2.4练习题(25) §23单调数列………… 26 2.3.1例题(26)2.3.2练习题(30) §2.4 Cauchy命题与Stolz定理… 31 2.4.1基本命题(31)2.4.2例题(35)2.4.3练习题(37) §2.5自然对数的底e和Euler常数y…… 37 2.5.1与数e有关的两个问题(38) 2.5.2关于数e的基本结果(38)2.5.3 Euler常数y(43) 2.5.4例题(44)2.5.5练习题(45) §2.6由迭代生成的数列 46 2.6.1例题（46)2.6.2单调性与几何方法(49) 2.6.3练习题(52) §2.7对于教学的建议… 53 2.7.1学习要点(53)2.7.2补充例题(54)2.7.3参考题(55) 第一组参考题(55)第二组参考题(57) $2.8关于数列极限的一组习题课教案 60 2.8.1第一次习题课(60)2.8.2第二次习题课(62) 2.8.3第三次习题课(64)2.8.4第四次习题课(65)
ii 目 录 第三章实数系的基本定理 67 §3.1确界的概念和确界存在定理 67 3.1.1基本内容(67）3.1.2例题(67)3.1.3练习题(69 63.2闭区间套定理 70 3.2.1基本内容(70)3.2.2例题(71)3.2.3练习题(72 $3.3凝聚定理 73 3.3.1基本内容(73)3.3.2例题(73)3.3.3练习题(74) 3.4 Cauchy收敛准则…………………… 74 3.4.1基本内容(74)3.4.2基本命题(75)3.4.3例题(76) 3.4.4压缩映射原理(77)3.4.5练习题(79) 63.5覆盖定理……… 80 3.5.1基本内容(80)3.5.2例题(81)3.5.3练习题(83) 3.6数列的上极限和下极限 … 83 3.6.1基本定义(83)3.6.2基本性质(84)3.6.3例题(88) 3.6.4练习题(91) S3.7对于教学的建议 92 3.7.1学习要点(92)3.7.2一题多解(93)3.7.3参考题(95) 第一组参考题(95)第二组参考题(96) 第四章函数极限…… 97 §41函数极限的定义 97 4.1.1函数极限的基本类型(97 4.1.2函数极限的其他类型(98)4.1.3思考题(98) 4.1.4例题(99)4.1.5练习题(102) S4.2函数极限的基本性质… 103 4.2.1基本性质(103)4.2.2基本命题(104) 4.2.3思考题(107）4.2.4例题(107)4.2.5练习题(109) §4.3两个重要极限……..… 110 sin 4.3.11im x→0x 2=1(110)4.3.21im(1+x)=e(111) x+0 4.3.3例题(112)4.3.4练习题(114) §4.4无穷小量、有界量、无穷大量和阶的比较 114 4.4.1记号0,0与~(115)4.4.2思考题(117) 4.4.3等价量代换法(119)4.4.4练习题(121) §4.5对于教学的建议……… 122 4.5.1学习要点(122)4.5.2参考题(122)
目 录 进 第五章连续函数 124 S5.1连续性概念 124 5.1.1内容提要（124)5.1.2思考题(125) 5.1.3例题(125)5.1.4练习题(128)》 $5.2零点存在定理与介值定理 129 5.2.1定理的证明(129)5.2.2例题(132) 5.2.3练习题(133) S5.3有界性定理与最值定理 134 5.3.1定理的证明(135)5.3.2例题(136) 5.3.3练习题(136) 5.4一致连续性与Cantor定理 137 5.4.1内容提要(137)5.4.2思考题(138) 5.4.3 Cantor定理的证明(138)5.4.4例题(139 5.4.5练习题(142) 65.5单调函数… 143 5.5.1基本性质(143)5.5.2练习题(146) $5.6周期3蕴涵混沌 146 5.6.1动力系统的基本概念(147) 5.6.2Li-Yorke的两个定理(148) $5.7对于教学的建议. 152 5.7.1学习要点(152)5.7.2参考题(153) 第一组参考题(153)第二组参考题(154) 第六章导数与微分……………… 157 s6.1导数及其计算 157 6.1.1内容提要(157)6.1.2思考题(158) 6.1.3例题(159)6.1.4练习题(166 $6.2高阶导数及其他求导法则………… 167 6.2.1高阶导数计算(167)）6.2.2隐函数求导法(171) 6.2.3参数方程求导法(174)6.2.4练习题(176) §6.3一阶微分及其形式不变性.….· 177 6.3.1基本概念(177)6.3.2微分与近似计算(177 6.3.3一阶微分的形式不变性(179)6.3.4练习题(180) $6.4对于教学的建议………………… 181 6.4.1学习要点(181)6.4.2参考题(181) 第一组参考题(181)第二组参考题(183)
iv 目 录 第七章微分学的基本定理 185 S7.1微分学中值定理 185 7.1.1基本定理(185)7.1.2导函数的两个定理(193) 7.1.3例题(196)7.1.4练习题(200) §7.2 Taylor定理… 202 7.2.1基本定理(203)7.2.2例题(209) 7.2.3 Euler数与Bernoulli数(214)7.2.4练习题(218) §7.3对于教学的建议 220 7.3.1学习要点(220)7.3.2参考题(221) 第一组参考题(221)第二组参考题(223) 第八章微分学的应用 226 S8.1函数极限的计算. 226 8.1.1 L'Hospital法则(226)8.1.2 Taylor公式与极限计算(229) 8.1.3练习题(234) $82函数的单调性. 235 8.2.1例题(235)8.2.2练习题(238) 8.3函数的极值与最值 238 8.3.1例题(239)8.3.2练习题(242) §8.4函数的凸性 243 8.4.1基本命题(243)8.4.2练习题(249 68.5不等式 .250 8.5.1例题(250)8.5.2用凸性证不等式(255 8.5.3练习题(258) $8.6函数作图… 8.6.1例题(261)8.6.2练习题(263 §8.7方程求根与近似计算 264 8.7.1迭代算法的收敛速度(264) 8.7.2 Newton求根法(268)8.7.3练习题(272) $8.8对于教学的建议 272 8.8.1学习要点(272)8.8.2参考题(274) 第一组参考题(274)第二组参考题(275) 第九章不定积分 278 §9.1不定积分的计算方法 278 9.1.1内容提要(278)9.1.2思考题(278) 9.1.3基本计算方法(279)9.1.4例题(281)
目 录 9.1.5特殊计算方法(285)9.1.6练习题(288) s9.2几类可积函数 289 9.2.1有理函数的积分(289) 9.2.2三角函数有理式的积分(291)》 9.2.3无理函数积分的例子(293)9.2.4练习题(296) 93对于教学的建议…………………………………… 297 9.3.1学习要点(297）9.3.2参考题(298) 第十章定积分 299 §10.1定积分概念与可积条件 299 10.1.1定积分的定义(299)10.1.2可积条件(300) 10.1.3练习题(304) §10.2定积分的性质..… 306 10.2.1积分中值定理(306)10.2.2例题(307) 10.2.3对积分求极限(309)10.2.4练习题(313) §10.3变限积分与微积分基本定理 314 10.3.1主要命题(314)10.3.2例题(315) 10.3.3练习题(318) S10.4定积分的计算·…… 319 10.4.1计算公式与法则(319)10.4.2例题(320】 10.4.3对称性在定积分计算中的应用(323) 10.4.4用递推方法求定积分(325) 10.4.5积分中值定理的应用(327)10.4.6练习题(329) §10.5对于教学的建议…. 331 10.5.1学习要点(331)10.5.2参考题(332) 第一组参考题(332)第二组参考题(334) 第十一章积分学的应用 336 §11.1积分学在几何计算中的应用 336 11.1.1基本公式与方法(336)11.1.2例题(337) 11.1.3 Guldin定理(341)11.1.4练习题(343) §11.2不等式…… 344 11.2.1凸函数不等式(344) 11.2.2 Schwarz积分不等式(346) 11.2.3其他著名积分不等式(348) 11.2.4不等式的其他例题(350)11.2.5练习题(353) 811.3积分估计与近似计算………….354
vi 目 录 11.3.1积分值的估计(35411.3.2积分的近似计算(356) 11.3.3练习题(359) §11.4积分学在分析中的其他应用 360 11.4.1利用定积分求数列极限(360) 11.4.2 Wallis公式与Stirling公式(362) 11.4.3 Taylor公式的积分型余项(365) 11.4.4π的无理性证明(367)11.4.5练习题(368) §11.5对于教学的建议… 369 11.5.1学习要点(369)11.5.2参考题(370) 第一组参考题(370)第二组参考题(372) 第十二章广义积分 375 §12.1广义积分的定义 375 12.1.1基本定义(375)12.1.2广义积分与和式极限(377) 12.1.3练习题(378) §12.2广义积分的敛散性判别法 …………379 12.2.1敛散性判别法(379)12.2.2例题(382) 12.2.3练习题(387) §12.3广义积分的计算 388 12.3.1例题(388)12.3.2几个特殊广义积分的计算(390) 12.3.3练习题(393) §12.4广义积分的特殊性质 395 12.4.1收敛无穷限积分的被积函数在无穷远处的性质(395) 12.4.2练习题(397) §12.5对于教学的建议 398 12.5.1学习要点(398)12.5.2参考题(398) 第一组参考题(398)第二组参考题(401) 参考题提示 403 参考文献 417 中文名词索引 419 外文名词索引 423
