湖北广播电视大学：《线性代数》第三次作业（试题）

第三次作业 1.化下列矩阵为行阶梯形矩阵： [ 「31 0 2 (2)1-1 2 -4 12 21 (3) 0 1 5 -1 2 03-1 3 1 0 4 -1 2.化下列矩阵为行最简形矩阵： 「113 -2 (2) 22 1-4 3 32 -1 11111 2 (3) 11122 3 1112 3 4 2 3设 3 2 求E2AC3k° 4利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵： (1) 「-1 2 (2) 2 1 0 4-2 「-1 2 所以 2 1 4 -2 5108 365 [1 2 1 -1 (3) 0 1 0 1 0 0 0 111

第三次作业 1.化下列矩阵为行阶梯形矩阵： （1） 1 4 2 3       − （2） 3 1 0 2 1 1 2 1 1 3 4 4     − −       − （3） 1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 2 0 3 1 3 1 1 0 4 1     −     −     − 2.化下列矩阵为行最简形矩阵： （2） 1 1 3 2 2 1 4 3 2 3 2 1   −   −       − （3） 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 3 1 1 1 2 3 2           3.设 12 3( ) 1 2 3 , 4 1 2 E AC k   −     − 求 。 4.利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵： （1） 3 2 7 5       （2） 1 2 3 2 1 0 4 2 5   − −         − 所以 1 1 2 3 5 4 3 2 1 0 10 7 6 4 2 5 8 6 5 −     − − − −     = −             − − （3） 1 2 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1   −   −        

5.设： Ax=B,A i 6利用逆矩阵求解下列线性方程组： 2x-x2=1 (1) 4x1+5x2=2 x1+2x2+3x3=0 (2) 2x1+2x2+x3=1 3x+4x2+3x3=0 3x1+2x2+x3=5 (3) 2x-x2+x3=6 x1+5x2=-3 7.求下列矩阵的秩数： 「001 (1)A= 1 0 11 0-1 「310 27 (2)B=1-12 -1 1 -4 4 1 3 1 -2 -3 14 3 -1 -4 (3)C= 2 3 -4 -8 -3 3 8 1 -5 -8 8.证明：A是可逆矩阵的充分必要条件是A必是满秩矩阵。 [1 元-121 9.求λ的值，使矩阵A= 2-1 的秩最小。 [110-61 10.设A是n阶方阵，证明：当R(A)=n时，R(A)=n,当R(A)<n-1时， R(A)=0。 11.求解齐次线性方程组： x1+x2+2x3-x4=0 (1) 2x1+x2+x3-x4=0 2x1+2x2+x3+2x4=0

5. 设： 2 3 1 , , , . 1 3 1 Ax B A B x     − = = =         求 6.利用逆矩阵求解下列线性方程组： （1） 1 2 1 2 2 1 4 5 2 x x x x  − =   + = （2） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0 2 2 1 3 4 3 0 x x x x x x x x x  + + =   + + =   + + = （3） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 2 6 5 3 x x x x x x x x  + + =   − + =   + = − 7.求下列矩阵的秩数： （1） 0 0 1 2 1 0 1 0 1 A     =       − （2） 3 1 0 2 1 1 2 1 1 3 4 4 B     = − −       − （3） 1 3 1 2 3 1 4 3 1 4 2 3 4 8 3 3 8 1 5 8 C   − −   − − =     −−−     − − 8.证明：A 是可逆矩阵的充分必要条件是 A 必是满秩矩阵。 9.求λ的值，使矩阵 1 1 2 2 1 5 1 10 6 1 A     −   = −       − 的秩最小。 10.设 A 是 n 阶方阵，证明：当 R（A）=n 时，R（A ※）=n，当 R（A）<n-1 时， R（A ※）=0。 11.求解齐次线性方程组： （1） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 0 2 0 2 2 2 0 x x x x x x x x x x x x  + + − =   + + − =   + + + =

x1+2x2+x3-x4=0 (2) 3x+6x2-x3-3x4=0 5x+10x2+x3-5x4=0 「2x+3x2-x3+5x4=0 3x,+x2+2x3-7x4=0 (3) 4x1+x2-3x3+6x4=0 x-2x2+4x3-7x4=0 12.求解下列非齐次线性方程组： 「4x+2x2-x3=2 (1) 3x1-x2+2x3=10 11x+3x2=8 2x+3x2+x3=4 (2) x-2x2+4x3=-5 3x+8x2-2x3=13 4x1-x2+9x3=-6 2x+x2-x3+x4=1 (3) 4x+2x2-2x3+x4=2 2x+x2-x3-x4=1 x1+x2+x3=1 13.入为何值时，非齐次线性方程组{x+入x2+x3=入 x+x2+x3=2 (1)有唯一解：(2)无解：(3)有无穷多解。 x+2x2-3x3=a 14.己知方程组 2x+6x2-11x3=b问a,b,c为何值时，方程组有解？ x1-2x2+7x3=c

（2） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 0 3 6 3 0 5 10 5 0 x x x x x x x x x x x x  + + − =   + − − =   + + − = （3） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 5 0 3 2 7 0 4 3 6 0 2 4 7 0 x x x x x x x x x x x x x x x x  + − + =   + + − =  + − + =    − + − = 12.求解下列非齐次线性方程组： （1） 1 2 3 1 2 3 1 2 4 2 2 3 2 10 11 3 8 x x x x x x x x  + − =   − + =   + = （2） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 2 4 5 3 8 2 13 4 9 6 x x x x x x x x x x x x  + + =   − + = −  + − =    − + = − （3） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 2 2 2 2 1 x x x x x x x x x x x x  + − + =   + − + =   + − − = 13.λ为何值时，非齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 x x x 1 x x x x x x       + + =   + + =   + + = （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解。 14.已知方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 6 11 2 7 x x x a x x x b x x x c  + − =   + − =   − + = 问 a，b，c 为何值时,方程组有解？