湖北广播电视大学：《线性代数》第二次作业（答案）

第二次作业解答 1.零矩阵是否都相等？为什么？ 答：不一定，因为只有同型零矩阵才相等，不同型则不相等。 「35 6 356 2. -21 4 与-2 4 样吗？为什么？ 73 -5 7 3 -5 答：不一样，前者是一个矩阵，是一个数表，后者是行列式，可以按一定的运算规则计算， 结果是一个数。 y=Ax 3.写出线性变换 =1的系数矩阵。 yn =hnXn 「2 0… 07 0 元2 0 解：An= 0 … 3 4 b [2 3497 4.已知 2 -1c 4= -134 试求a,b,c,d的值。 0 13 d 10 137 解：由矩阵的相等的定义得a=2,b=9,c=3,d=7。 5.已知矩阵A= -6- 求3A+4B-2C。 解： 34+4B-2C=33 0 -4」0-1 [6-1531.「4-8121「0-241 = 90 -12中0-420-22-2 「6+4+0-15-8-23+12+41「10 -2519 9+0-2 0-4+2 -12+20-27 -2 6 「12 17 「010 6.已知矩阵A= 0 -1 B=210 求AB-BA,和AB。 1 0 021 「1217T01 0 解：AB=2-10 10 L110021

第二次作业解答 1. 零矩阵是否都相等？为什么？ 答：不一定，因为只有同型零矩阵才相等，不同型则不相等。 2. 3 5 6 3 5 6 2 1 4 2 1 4 7 3 5 7 3 5     − −       − − 与 一样吗？为什么？ 答：不一样，前者是一个矩阵，是一个数表，后者是行列式，可以按一定的运算规则计算， 结果是一个数。 3.写出线性变换 1 1 1 2 2 2 n n n y x y x y x     =   =     = 的系数矩阵。 解： 1 2 0 0 0 0 0 0 n n A        =           4.已知 3 4 2 3 4 9 2 1 4 2 1 3 4 0 1 3 0 1 3 7 a b c d         − = −             ，试求 a，b，c，d 的值。 解：由矩阵的相等的定义得 a=2，b=9，c=3，d=7。 5.已知矩阵 2 5 1 1 2 3 0 1 2 , , 3 0 4 0 1 5 1 1 1 A B C       − − − = = =             − − − ，求 3A+4B-2C。 解： 2 5 1 1 2 3 0 1 2 3 4 2 3 4 2 3 0 4 0 1 5 1 1 1 6 15 3 4 8 12 0 2 4 9 0 12 0 4 20 2 2 2 6 4 0 15 8 2 3 12 4 10 25 19 9 0 2 0 4 2 12 20 2 7 2 6 A B C       − − − + − = + −             − − −       − − − = + +             − − − −     + + − − − + + − = =         + − − + − + − − 6.已知矩阵 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 1 0 0 2 1 T A B AB BA A B         = − = −             ，求 ，和 。 解： 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 1 0 0 2 1 AB         = −            

[1×0+2×2+1×0 1×1+2×1+1×2 1×0+2×0+1×1 2×0+(-1D×2+0×02×1+(-1)×1+0×22×0+(-1D×0+0×1 1×0+1×2+0×0 1×1+1×1+0×2 1×0+1×0+0×1 「45 -21 0 [220 「01 0][1217 BA= 21 02-10 021110 「0×1+1×2+0×10×2+1×(-1)+0×10×1+1×0+0×0 = 2×1+1×2+0×12×2+1×(-1)+0×12×1+1×0+0×0 0×1+2×2+1×10×2+2×(-1)+1×10×1+2×0+1×0 「2-107 =432 5-10 [45 2 -107 「2 61 AB-BA= -21 0 4 2 -2-2 20 0 30 2 17[010 A'B= 2 -11210 00021 1×0+2×2+1×0 1×1+2×1+1×21×0+2×0+1×1 =2×0+(-1)×2+1×02×1+(-1)×1+1×22×0+(-1)×0+1×1 L 1×0+0×2+0×01×1+0×1+0×2 1×0+0×0+0×1」 「4517 -231 010 7.计算下列乘积： 17 (1)[123 41 02 3 解：

1 0 2 2 1 0 1 1 2 1 1 2 1 0 2 0 1 1 2 0 1 2 0 0 2 1 1 1 0 2 2 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 0 1 1 1 1 0 2 1 0 1 0 0 1 4 5 1 2 1 0 2 2 0    +  +   +  +   +  +    =  + −  +   + −  +   + −  +     +  +   +  +   +  +      = −      （ ） （ ） （ ） 0 1 0 1 2 1 2 1 0 2 1 0 0 2 1 1 1 0 BA         = −             0 1 1 2 0 1 0 2 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 2 1 1 2 0 1 2 2 1 1 0 1 2 1 1 0 0 0 0 1 2 2 1 1 0 2 2 1 1 1 0 1 2 0 1 0 2 1 0 432 5 1 0    +  +   +  − +   +  +    =  +  +   +  − +   +  +     +  +   +  − +   +  +    −   =       − （ ） （ ） （ ） 4 5 1 2 1 0 2 6 1 2 1 0 4 3 2 6 2 2 2 2 0 5 1 0 3 3 0 AB BA       −       − = − − = − − −                   − − 1 2 1 0 1 0 2 1 1 2 1 0 1 0 0 0 2 1 T A B         = −             1 0 2 2 1 0 1 1 2 1 1 2 1 0 2 0 1 1 2 0 1 2 1 0 2 1 1 1 1 2 2 0 1 0 1 1 1 0 0 2 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 0 0 1 4 5 1 2 3 1 0 1 0    +  +   +  +   +  +    =  + −  +   + −  +   + −  +     +  +   +  +   +  +      = −      （ ） （ ） （ ） 7. 计算下列乘积： （1）   1 0 1 2 3 4 2 3   −           解：

「-1 [123 4 0 23 =1×(-1)+2×0+3×2+4×3=17 2 (2) 3 - -2 27 2×1 2×(-1D 解： 3 -= 3×1 3×(-1D 23 -2 -2×1 -2×(-1) 932 K 3 (3) 1 -4 3 2 5 6 1 解： 215 3 4 2×4+3×2+1×1 7 15 -4 3 2 1×4+(-4)×2+3×1 6 01 5×4+6×2+0×1 32 1 1 1 4 61 -1 0 2 (4) 0 -1 4 -31 1 4 -2 0 解： 1 2 1] 21 1 4 6 -1 0 -1 4 -3 1 4 -20 2×1+1×(-1)+4×(-3)+6×4 2×2+1×0+4×1+6×(-2) 2×1+1×2+4×1+6×0 1×1+0×(-1D+(-1D×(-3)+4×41×2+0×0+(-1D×1+4×(-2)1×1+0×2+(-1D×1+4×0 「-13-4 8] 20 -7 0 (5)[] a a12 解： ]-aa a+a】

  1 0 1 2 3 4 1 1 2 0 3 2 4 3 17 2 3   −     =  − +  +  +  =       （ ） （2）   2 3 1 1 2     −       − 解：   2 2 1 2 1 2 2 3 1 1 3 1 3 1 3 3 2 2 1 2 1 2 2         − −       − =   − = −                   − −  −  − − （ ） （ ） （ ） （3） 2 3 1 4 1 4 3 2 5 6 0 1         −             解： 2 3 1 4 2 4 3 2 1 1 15 1 4 3 2 1 4 4 2 3 1 1 5 6 0 1 5 4 6 2 0 1 32          +  +          − =  + −  +  = −                          +  +  （ ） （4） 1 2 1 2 1 4 6 1 0 2 1 0 1 4 3 1 1 4 2 0       −     − −       − 解： 1 2 1 2 1 4 6 1 0 2 1 0 1 4 3 1 1 4 2 0       −     − −       − 2 1 1 1 4 3 6 4 2 2 1 0 4 1 6 2 2 1 1 2 4 1 6 0 1 1 0 1 1 3 4 4 1 2 0 0 1 1 4 2 1 1 0 2 1 1 4 0    +  − +  − +   +  +  +  −  +  +  +  =      +  − + −  − +   +  + −  +  −  +  + −  +  （ ） （ ） （ ） （ ）（ ）（ ） （ ） （ ） （ ） 13 4 8 20 7 0   − − =     − （5）   11 12 1 1 2 21 22 2 a a x x x a a x             解：     11 12 1 1 1 2 11 1 21 2 12 1 22 2 21 22 2 2 a a x x x x a x a x a x a x a a x x       = + +            

=（a11+421x2）X+（a121+a2x2）x2 =a1x+(a2+a2）xx2+a22x2 8.设线性变换 %=-321+22 x=片+3y2 乃2=21+22+3zg x2=-2y+2%2-3 3=-21+233 解： -31 01 2 1 102 []H -310 102∥3 2 1×(-3)+3×2+0×(-1) 1×1+3×1+0×0 1×0+3×3+0×2 232X2+x-业21+2x1k02》x0+2x3t-32 22 34 9 1300 即=3+4+9 x3=13z 9.AX=AY,A≠0，问能否确定X=Y?为什么？ 解：不能，因为AX=AY,则A(X-Y)=0,即使A≠0，X-Y也不一定为0，即X不一定等 于Y。例如： 4[3B8[ xw588剑 10.求a,b,c,d的值，使下式成立： [4] 解： g[H。i a+4 6+a+b 2d+3

11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 2 2 11 1 12 21 1 2 22 2 a x a x x a x a x x a x a a x x a x = + + + = + + + （ ） （ ） （ ） 8.设线性变换 1 1 2 2 1 2 3 3 2 2 3 x y y x y y y  = +   = − + − ， 1 1 2 2 1 2 3 3 1 3 3 2 3 2 y z z y z z z y z z  = − +   = + +   = − + 解： 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 0 1 3 0 2 1 3 2 2 3 1 0 2 3 1 0 1 3 0 2 1 3 2 2 3 1 0 2 y y z x y y z x y y z z x z x z         −            = =     − −                            −     −        =     − −                − ， 1 2 3 1 3 3 2 0 1 1 1 3 1 0 0 1 0 3 3 0 2 2 3 2 2 3 1 2 1 2 1 1 0 2 0 2 3 3 2 z z z      − +  +  −  +  +   +  +    =   −  − +  + −  − −  +  +  −  +  + −         （ ） （ ） （ ）（ ） （ ）（ ）（ ） （ ） （ ） 1 2 3 3 4 9 13 0 0 z z z      =         即 1 1 2 3 2 1 3 4 9 13 x z z z x z  = + +   = 9.AX=AY,A≠0，问能否确定 X=Y？为什么？ 解：不能，因为 AX=AY，则 A（X-Y）=0，即使 A≠0，X-Y 也不一定为 0，即 X 不一定等 于 Y。例如： 2 4 2 4 0 0 2 4 3 6 1 2 0 0 1 2 2 4 2 4 0 0 3 6 1 2 0 0 A X Y A X Y         − − = − =                 − − − −       − − = =             − − − ，X= ，Y= （ ） 10.求 a，b，c，d 的值，使下式成立： 6 4 3 1 2 3 a b a a b c d d c d       + = +             − + 解： 由 6 4 3 1 2 3 a b a a b c d d c d       + = +             − + 得 3 3 4 6 3 3 1 2 3 a b a a b c d c d d     + + + =         − + + +

由矩阵的相等得： 3a=a+4a=2 3b=6+a+bb=4 3d=2d+3d=3 3c=-1+c+dc=1 所以a=2,b=4,c=1,d=3。 [121 11.设矩阵A= 2-13 求(1)A4,(2)AA。 解：(1) 1 2- -1 313 1×1+2×2+1×1 1×2+2×(-1)+1×3]「63 2×1+(-1)×2+3×1 2×2+(-Dx(-D+3x3月314 「 1×1+2×2 1×2+2×(-1D 1×1+2×3 7 「50 7 2×1+(-1D×22×2+(-1D×(-1)2×1+(-1D×3 J 0 -1 1×1+3×2 1×2+3×(-1) 1×1+3×3 1> -110 12.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明：BAB也是对称矩阵。 证明：因为A为对称矩阵，所以AT=A (BAB)=[B(AB)=(AB)T(B)T =BT AT B=BT AB 所以BAB是对称矩阵。 13.证明：对于任意矩阵A,AA恒有意义，且为对称矩阵。 证明：设A是m×n阶矩阵，则A是nXm阶矩阵，则AA'恒有意义，且是一个m阶方阵。 (AA=(AA=AAT 所以AA为对称矩阵。 故对于任意矩阵A,AA恒有意义，且为对称矩阵

由矩阵的相等得： 3 4 2 3 6 4 3 2 3 3 3 1 1 a a a b a b b d d d c c d c = + = = + + = = + = = − + + = 所以 a=2，b=4，c=1，d=3。 11.设矩阵 1 2 1 2 1 3 T T A AA A A   =     − ，求（1） ，（2） 。 解：（1） 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 T AA      = −   −        1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 3 6 3 2 1 1 2 3 1 2 2 1 1 3 3 3 14      +  +   +  − +  = =          + −  +   + −  − +  （ ） （ ） （ ）（ ） （2） 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 T A A      = −      −     1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 2 1 2 3 1 1 1 3 3    +   +  −  +    =  + −   + −  −  + −         +   +  −  +  （ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ ） 5 0 7 0 5 1 7 1 10     = −       − 12.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明： T B AB 也是对称矩阵。 证明： A A = 因为 为对称矩阵，所以AT [ ] T T T T T T T T T T （ ） （ ） （ ）（ ） B AB B AB AB B B A B B AB = = = = 所以 T B AB 是对称矩阵。 13.证明：对于任意矩阵 A， T AA 恒有意义，且为对称矩阵。 证明：设 A 是 m×n 阶矩阵，则 T A 是 n×m 阶矩阵,则 T AA 恒有意义，且是一个 m 阶方阵。 T T T T T T （ ） （ ） AA A A AA = = 所以 T AA 为对称矩阵。 故对于任意矩阵 A， T AA 恒有意义，且为对称矩阵

14.设矩阵A为3阶方阵，IA3, 可 [小-=4a×=a 15.设矩阵A=[1,2,3],B=[1,1,1],求(AB) 解： 「17 [111 A'B= 11=222 3 333 [1 11 1 1 (AB2= 22 2 2 2 2 3333 33 1×1+1×2+1×3 1×1+1×2+1×31×1+1×2+1×3 = 2×1+2×2+2×3 2×1+2×2+2×32×1+2×2+2×3 3×1+3×2+3×33×1+3×2+3×33×1+3×2+3×3 6 6 61 「1117 1212 12 =6 222 181818 33 「111111 「111 (AB)3=(AB)2(AB)=622 2 22 =62 222 3 33 333 「111 (AB)=6 22 333 保-6g9-4 -4-49-69

14.设矩阵 A 为 3 阶方阵，且|A|=3，求 2 1 2 A       解： 2 2 1 1 1 1 1 1 9 3 2 6 2 [ ] 3 2 2 2 2 2 64 64 A A A A A       = = = =  =             （ ） （ ） 15.设矩阵 A=[1，2，3]，B=[1，1，1]，求 T k （ ） A B 解：   1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 T A B         = =             2 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 T A B         =             1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 6 6 6 1 1 1 12 12 12 6 2 2 2 18 18 18 3 3 3    +  +   +  +   +  +    =  +  +   +  +   +  +     +  +   +  +   +  +          = =             3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 6 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 111 ( ) 6 2 2 2 333 T T T T k k A B A B A B A B             = = =                       =       16.设矩阵 2 3 1 0 , 2 1 k A A A A   =     求 ， ， ， 解： 2 1 0 1 0 1 0 2 1 2 1 4 1 A       = =             3 2 1 0 1 0 1 0 4 1 2 1 6 1 A A A       = = =            

a6B9 [元1 073 17.计算0入1 00元 解： 「λ1 072 「10「21 0> 「2 2元 17 0元1 0 1 0 1 0 22 2 00 0 20 0 0 0 22 1 0 1 0> 2 22 17 「23 322 32 0 21 0 1 0 2 2 0 32 00 0 0 0 2 0 18.求下列矩阵的逆矩阵： 的伴随矩阵为 味w cosθ -sin (2) sine cos0 cos0 -sin0 cose -sine 解： =1≠0，所以 可逆， sin cos0 sinθ cosθ cos0 -sin cosθ sin 的伴随矩阵为 sin cos0 -sin0 cose cose -sin0 cos0 sin 所以 的逆矩阵为 sin0 cos0 -sine cose

4 3 1 0 1 0 1 0 6 1 2 1 8 1 A A A       = = =             1 0 2 1 k A k   =     17.计算 3 1 0 0 1 0 0              解： 2 2 2 2 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0                               = =                         3 2 3 2 2 3 2 2 3 1 0 1 0 2 1 3 3 0 1 0 1 0 2 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0                                = =                      18.求下列矩阵的逆矩阵： （1） 1 1 1 4       解： 1 1 3 0 1 4 =  ，所以 1 1 1 4       可逆， 1 1 1 4       的伴随矩阵为 4 1 1 1   −     − 所以 1 1 1 4       的逆矩阵为 4 1 1 4 1 3 3 3 1 1 1 1 3 3   − −     =       −   −     （2） cos sin sin cos       −     解： cos sin 1 0 sin cos     − =  ，所以 cos sin sin cos       −     可逆， cos sin sin cos       −     的伴随矩阵为 cos sin sin cos           − 所以 cos sin sin cos       −     的逆矩阵为 cos sin sin cos           −

[010 (3) 0 0 0 1 0 0 0 解：将矩阵分块 … 0 0 1 1 (4) ，， 1 21 解： 21 0 =3≠0，所以矩阵可逆 1-11 44=-24f- 4=a是6卡 「101 所以其伴随矩阵为 -23-2 30 1 17 所求逆矩阵为 3 3 0 今1八 0

（3） 0 1 0 1 0 0 0 0 1           解：将矩阵分块   1 0 0 0 1 0 0 1 0 , , 1 0 0 1 0 0 1 A A E B B           = = = =                 1 1 1 0 , 1 0 1 A E B − −   = = =     ， 所以 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 A A B B − − − −             = = =                     （4） 2 1 1 2 1 0 1 1 1   −         − 解： 2 1 1 2 1 0 3 0 1 1 1 − =  − ，所以矩阵可逆 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 2 0 2 1 1, 2, 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 0, 3, 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1, 2, 0 1 0 1 0 2 1 A A A A A A A A A = = = − = − = = − − − − − = − = = = = − = − − − = = = − = − = = − 所以其伴随矩阵为 1 0 1 2 3 2 3 3 0     − −       − 所求逆矩阵为 1 1 0 3 3 1 0 1 1 2 2 2 3 2 1 3 3 3 3 3 0 1 1 0             − − = − −       −     −      

0 (5) 元2 (2入…元n≠0) 10 n 0 解： m =入2…几n≠0所以矩阵可逆。 0 将相库分热对指线上的海个元素为一块甲4-因0=2网日 0 A 0 A 0 0 0 0 0 0 1 0 19.设A,B为n阶方阵，且满足AB=0,证明必有A=O,或B=0 证明：因为AB=0,所以AB曰AB=O=O 所以有A=0,或B=0 20.设n阶方阵A≠E,且A2=A,证明A不可逆。 证明：用反证法： 假设A可逆，因为A2=A,则AA2=A-A,即A=E这与已知A≠E矛盾。 所以A不可逆。 21设n阶方阵A可逆，证明A也可逆， 町叮 证明： =式所以rA,AH44】 A可逆，则|A≠0，A≠0，所以|A曰AIA≠0 故A可逆。 因为清=E,所以[丁'=司

（5） 1 2 1 2 0 ,( 0) 0 n n                      解： 1 2 1 2 0 0 0 n n       =  所以矩阵可逆。 将矩阵分块，对角线上的每个元素为一块，即   ( 1,2, , ) A i n i i = =  1 1 i i A  −   =     1 1 2 2 0 0 0 0 n n A A A                =             1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 n n n A A A       − − − −                       = =                             19. 设 A，B 为 n 阶方阵，且满足 AB=0，证明必有|A|=0，或|B|=0 证明：因为 AB=0，所以|AB|=|A||B|=|0|=0 所以有|A|=0，或|B|=0 20.设 n 阶方阵 A≠E，且 A2=A，证明 A 不可逆。 证明：用反证法： 假设 A 可逆，因为 A2=A，则 A-1A2=A-1A，即 A=E 这与已知 A≠E 矛盾。 所以 A 不可逆。 21.设 n 阶方阵 A 可逆，证明 A ※也可逆，且 1 | | A A A −    =   证明： 1 1 1 1 1 , | | | | | | | | | | | | | | 0 n n A A A A A A A A A A A A A A A  −  −  − −  −  = = =   =  所以 ，| 可逆，则|A| 0，| | 0，所以| 故 可逆。 因为 1 | | | | | | A A A A A E A A  − = = ，所以 1 | | A A A −    =  

[1001 0 22.设矩阵A=22 求[丁。 L34 1 0 0 解：由上题的结论 20=10≠0，A可逆，A也可逆。 3 45 [100 00 10 [丁= A 1 23 2 10 0 1 5 -5 5 0 4 3 1 5 23.解矩阵方程 X 35 4 对应的行列式的值为-2≠0， -2 解： 15 -4 -4 可道，其可逆矩阵为一 到 [那-到到 = [1 23 24.矩阵A= -14 5 分成2阶方阵，共有几种分法？ 1 答：共有4种分法。 [1 200 -1100 25.设矩阵A= 0 求A和|A纠 02 0 013 解：将矩阵进行分块 4[8-4c-f9到 r-[68[6

22.设矩阵 1 1 0 0 2 2 0 3 4 5 A A −      =           ，求 。 解：由上题的结论 1 0 0 2 2 0 10 0 3 4 5 =  ，A 可逆， A 也可逆。 1 1 0 0 10 1 0 0 1 1 1 2 2 0 0 | | 10 5 5 3 4 5 3 2 1 10 5 2 A A A −                = = =                   23.解矩阵方程 3 2 1 2 5 4 5 6 X     − − =         − − 解： 3 2 5 4   −     − 对应的行列式的值为-2≠0， 3 2 5 4   −     − 可逆，其可逆矩阵为 1 4 2 2 5 3   − −     − 1 1 2 3 2 1 2 4 2 1 2 4 2 1 1 5 6 5 4 5 6 5 3 5 6 5 3 2 2 1 6 4 3 2 2 10 8 5 4 X −             − − − − − − = = − = −                         − − − − − −     − − = − =         − − （ ） 24.矩阵 1 2 3 1 4 5 0 1 2 A     = −      分成 2 阶方阵，共有几种分法？ 答：共有 4 种分法。 25.设矩阵 4 1 2 0 0 1 1 0 0 | | 0 0 2 0 0 0 1 3 A A A     − =         ，求 和 解：将矩阵进行分块 0 1 2 2 0 0 1 1 1 3 B A B C C       = = =             − ， ， 4 4 4 0 0 0 0 B B A C C     = =         4