湖北广播电视大学：《线性代数》第三次作业（答案）

第三次作业解答 1.化下列矩阵为行阶梯形矩阵： 「31 0 2 (2) -1 2 3-4 解： 1 0 311 2 -1 2-1 1 -1 - 3 1 00 4 3 -4 1 3 4 4 266 100 4 「1 12 2 1 0 2 1 5 -1 (3) 21 0 3 -1 3 10 4 解： 12 2 11 1 2 2 17 0 2 1 5 0 2 15 2 0 3 -1 3 1 0 4 1 4 -1 2 0 3 -1 3 2 2 17 [1 1 3 17 0 2 1 5 -1 0 0 -2 2 2 0 20 -2 -2 0 -2 -1 -5 1 520 0 0 0 0 2.化下列矩阵为行最简形矩阵： 6 47 (1) -4 1 6 1 2 -5 Γ63 4 1 2 解： 1 2 5 16 564 100 299 100 0 12

第三次作业解答 1.化下列矩阵为行阶梯形矩阵： （1） 1 4 2 3       − 解： 1 2 1 4 1 4 2 2 3 0 11 r r +         →     − （2） 3 1 0 2 1 1 2 1 1 3 4 4     − −       − 解： 1 2 3 1 0 2 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 0 2 1 3 4 4 1 3 4 4 r r      − −         − − →         − − 1 2 3 2 1 3 3 1 1 2 1 1 1 2 1 0 4 6 5 0 4 6 5 0 4 6 5 0 0 0 0 r r r r r r − + − − +     − − − − → − → −                 − （3） 1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 2 0 3 1 3 1 1 0 4 1     −     −     − 解： 3 4 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 2 0 3 1 3 1 1 0 4 1 1 1 0 4 1 2 0 3 1 3 r r          − −     →     − −         − − 3 1 2 4 4 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 0 0 0 0 0 r r r r r r − + −         − − → →         − − − −         − − − 2.化下列矩阵为行最简形矩阵： （1） 6 3 4 4 1 6 1 2 5   −   −       − 解： 1 3 2 3 1 2 1 3 4 6 6 3 4 1 2 5 1 2 5 1 2 5 4 1 6 4 1 6 0 9 14 0 9 14 1 2 5 6 3 4 0 9 26 0 0 12 r r r r r r r r  + + − +         − − − −         − → − → − → −                         − − −

-5 1 9 14n % 00 → 29 → 010 0 0 0 100 0 001 「1 3 2 (2) 2 3 3 2 -1 解： 1 「1 -2 2 22 1 -4 → - -21 0 -1 -10 7 3 2 1 -4 3 1 3 > 0 000 -7 1 0 1 10 1 1- -10+n 3 0 1 10 -7 → 010 75 1-7 0 0 -14 10 0 1 57 001- 「111 11 (3) 11122 23 11123 2 解： 「11111 11112 11 -n+ 2 2 3 0 0 011 1 11123 0 0 0 012 「111 0 17 [1 110 0 -+奶 0 0 1 1 0 0 01 0 0 0001 -1 0 0001 -3 3.设 4 -1 2 求E12AC3· 解： E12AC3就是将A的第1,2两行对换，再第3列乘以k 所以EAC 4利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵： B (1

3 2 3 2 2 1 3 1 1 1 14 9 2 12 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 1 0 0 0 9 14 0 9 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 r r r r r r r r + − + +         − − − → − → → →                                 （2） 1 1 3 2 2 1 4 3 2 3 2 1   −   −       − 解： 1 2 2 3 1 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2 2 10 1 7 14 1 1 3 2 1 1 3 2 2 1 4 3 0 1 10 7 2 3 2 1 0 1 4 3 1 0 0 0 1 1 3 2 1 0 7 5 1 0 1 10 7 0 1 10 7 0 1 0 7 0 0 14 10 5 0 0 1 5 7 0 0 1 7 r r r r r r r r r r r r r r − + + − + − − − + + −     − −     − → − − →     − −       − −           − → − →               −     −     −     （3） 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 3 1 1 1 2 3 2           解： 1 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 3 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 3 2 0 0 0 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 r r r r r r r r r r − + − + − + − + − +         →         → →         − − 3.设 12 3( ) 1 2 3 , 4 1 2 E AC k   −     − 求 。 解： E AC 12 3( ) k 就是将 A 的第 1，2 两行对换，再第 3 列乘以 k 所以 12 3( ) 3( ) 4 1 2 4 1 2 1 2 3 1 2 3 k k k E AC C k     − − = =         − − 4.利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵： （1） 3 2 7 5      

解： -3+511-2 3 「-12 (2) 24 -2 305 解： -1 2 -3 1 0 07 「-1 -310 Ox 24 1 0 0 1 0 0 56 -6 21 0 -2 0 0 0 4 1 「1 -2 - 0 0] -23 -1 0 0 3+5 05 -6 1 0 01 -1 -1 -n+奶 0 1 -1 2 -1 0 5 -62 10 「10 1 3 -2 27 「1 0 1 3 -2 3 25+ → 01-1 2 1 0 1 -1 -5n L00 -1 6 0 28 为 1 1 00 -5 4 10 10 -7 0 01 365 「-1 2 「-5 所以 2 1 0 08 > 61 -2 「12 1 ~17 (3) 0 1-1 1 0 1 1 0 0 1 解： 21 -11 0 0 0 -4+ 3 「1 1 0 100 1 0 1-11 0 1 0 0 -4+ 4+ 01-10 010 -1 01 1 0 0 1 0 001 0 001 -1 0 00 1 0 0 0 0001 000 1

解： 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 3 3 2 1 0 7 5 0 1 1 1 2 1 7 5 0 1 3 2 1 0 3 2 1 0 1 1 2 1 1 0 5 2 1 0 5 2 0 1 7 3 0 1 7 3 0 1 7 3 r r r r r r r r r  − − + + −       −       → →             − − − → → →             − − − − − 所以 1 3 2 5 2 7 5 7 3 −     − =         − （2） 1 2 3 2 1 0 4 2 5   − −         − 解： 1 2 1 3 1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 4 2 5 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0 5 6 2 1 0 4 2 5 0 0 1 0 6 7 4 0 1 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 0 5 6 2 1 0 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0 5 6 2 1 0 1 0 1 3 2 2 0 1 1 2 1 1 0 0 1 8 6 5 r r r r r r r r r r r r r + + −  − + + − +     − − − −     → −     − −     − − − − → − → − −         − − −  − → − −    − − − 3 3 2 3 1 1 0 1 3 2 2 0 1 1 2 1 1 0 0 1 8 6 5 1 0 0 5 4 3 0 1 0 10 7 6 0 0 1 8 6 5 r r r r r − + − +    −    → − −        −   − − → −         − 所以 1 1 2 3 5 4 3 2 1 0 10 7 6 4 2 5 8 6 5 −     − − − −     = −             − − （3） 1 2 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1   −   −         解： 4 3 4 2 4 1 1 2 1 1 1 0 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r r r r r − + − + +     −     − − −     →     −        

「120010-127 [10001-2-361 0100011 -2 -2n+ 010 0011 2 0010001 -1 0010001 -1 00010001 00010001 [121 -1]1 「1-2-3 6 01-11 0 11 所以 001 1 001 -1 L0001 0 00 1 5.设：Ax=B,A= 1 解：A=9≠0，A可逆， A-Ax=A-B.x=A-B= 删 2-31-9 6利用逆矩阵求解下列线性方程组： 2x1-x2=1 (1) 4x+5x=2 解：原线性方程组可化为 =成4-子}-日4A同选，不习 rwra时a=調目 x1+2x2+3x3=0 (2) 2x+2x2+x3=1 3x+4x2+3x3=0 解：原线性方程组可化为 「123] 「0 Ax=B,A= 221,B=11A=2≠0，A可逆， 343

3 2 3 1 2 1 2 1 2 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 1 2 3 6 0 1 0 0 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r r r r r + − + − +     − − −     − − → →         − −         1 1 2 1 1 1 2 3 6 0 1 1 1 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 −     − − −     − −     =     −         所以 5. 设： 2 3 1 , , , . 1 3 1 Ax B A B x     − = = =         求 解：|A|=9≠0，A 可逆， 1 1 3 3 9 1 2 A −   =     − 1 1 1 2 1 1 3 3 1 6 3 , 9 9 1 2 1 1 1 9 A Ax A B x A B − − −           = = = = =               −       6.利用逆矩阵求解下列线性方程组： （1） 1 2 1 2 2 1 4 5 2 x x x x  − =   + = 解：原线性方程组可化为 2 1 1 , , , 4 5 2 Ax B A B     − = = =         |A|=14≠0，A 可逆， 1 1 5 1 14 4 2 A −   =     − 1 1 1 1 2 1 1 1 5 1 1 7 , 2 14 14 4 2 2 0 0 x A Ax A B x A B x − − −             = = = = = =         −             （2） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0 2 2 1 3 4 3 0 x x x x x x x x x  + + =   + + =   + + = 解：原线性方程组可化为 1 2 3 0 , 2 2 1 , 1 , 3 4 3 0 Ax B A B         = = =             |A|=2≠0，A 可逆

2310 3 10 0 23 2 1 01 2 2 1 0 430 0 001 00 -2 -6 -3 0 0-2 -1 1 0 0 0 1 -2+n 0 -2 -5 -2 1 0 → 0 36 lo 0-1 -1 -11 00 0 -1 251 「100 1 1 0 321 -3 0 2524 1 3 A= 32 -3 952 1 1 -1 1 3 x= =A-B= 3-2 2521 1 [3x1+2x2+x3=5 (3) 2x-x2+x3=6 x+5x2=-3 解：原线性方程组可化为 「3 2 17 Ax=B,A= 2-1 1 B= 6 A=-2≠0，A可逆， 11 5 0 321 211 0 0] 「15 00017 -1101 0 2 -1 101 0 5 000 1 3 2 1100 1 5 00 0 17 [1 50 00 1 -21+5 0-11 1 -3+ 1 5+ 0 2 0 -11 1 )-1311 0 -3 -1311 0 -3

1 2 1 3 2 1 3 1 2 3 3 2 2 3 2 3 2 5 1 2 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 2 5 2 1 0 3 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 0 2 5 2 1 0 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 3 2 3 5 0 1 0 3 2 2 r r r r r r r r r r r r r r − + − + + − + − + − + − −         → − − −     − − −     − − − → − − − → − −         − − − − − − − → − − 0 0 1 1 1 1           −   1 1 3 2 3 5 3 2 2 1 1 1 A −   −   = − −       −   1 1 2 3 1 3 2 0 3 3 5 3 1 3 2 2 0 1 1 1 1 x x x A B x −   −               = = = − − = −                         −   （3） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 2 6 5 3 x x x x x x x x  + + =   − + =   + = − 解：原线性方程组可化为 3 2 1 5 , 2 1 1 , 6 , 1 5 0 3 Ax B A B         = = − =             − |A|=-2≠0，A 可逆， 3 1 3 2 1 1 0 0 1 5 0 0 0 1 2 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 1 5 0 0 0 1 3 2 1 1 0 0 r r          − → −             1 2 3 2 1 3 2 3 1 5 0 0 0 1 1 5 0 0 0 1 0 11 1 0 1 2 0 2 0 1 1 1 0 13 1 1 0 3 0 13 1 1 0 3 r r r r r r − + − + − +     → − − → −                 − − − −

0 0 5 0 0 17 1 0 0 1 0 12 1-2 1-2 -5+ 01 0 13n+n -13 1 1 0 -3 0 01 521212 521-23-2 321272 -5 1 -37 2 -1 1 1 -1113 个 「x x= =A-B= 1-2 1 13 7.求下列矩阵的秩数： [00 (1)A= 2 1 0 0 -1 解：容易计算A=-1≠0，所以矩阵A为满秩矩阵，R(A)=3 1 2 (2)B= 1 -1 2 1 1 -4 4 解：将B化为行阶梯矩阵 「3 1 0 27 -12 -1 -1 2 3 0 2 1 3-4 4 1 3 -44 1 -1 2 -17 「1 -1 2 -1 -3n+5 0 4 -6 5 0 4 -6 5 -+ 0 4 6 0 0 0 非零行的行数为2，所以R(B)=2 1 3 1 -2 -3 4 -1 -4 (3)C= 2 3 -4-8 -3 3 8 1 -5 -8 解：将C化为行阶梯矩阵

2 2 1 2 3 1 5 2 13 5 5 3 1 0 0 1 5 0 0 0 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 13 1 1 0 3 11 13 7 0 0 1 2 2 2 r r r r r − + +   − −           → − → −           − −     −     1 5 5 3 1 1 1 1 2 11 13 7 A −   − −   = −      − 1 1 2 3 5 5 3 5 2 1 1 1 1 6 1 2 11 13 7 3 1 x x x A B x −         − −         = = = − = −                         − − 7.求下列矩阵的秩数： （1） 0 0 1 2 1 0 1 0 1 A     =       − 解：容易计算|A|=-1≠0，所以矩阵 A 为满秩矩阵，R（A）=3 （2） 3 1 0 2 1 1 2 1 1 3 4 4 B     = − −       − 解：将 B 化为行阶梯矩阵 1 2 1 2 3 2 1 3 3 3 1 0 2 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 0 2 1 3 4 4 1 3 4 4 1 1 2 1 1 1 2 1 0 4 6 5 0 4 6 5 0 4 6 5 0 0 0 0 r r r r r r r r  − + − − +     − −     − − →     − −     − − − − → − → −         − 非零行的行数为 2，所以 R（B）=2 （3） 1 3 1 2 3 1 4 3 1 4 2 3 4 8 3 3 8 1 5 8 C   − −   − − =     −−−     − − 解：将 C 化为行阶梯矩阵

3 1 -2 +5 1 3 1 -2 1 4 3 -1 0 1 2 1 2 -4 -8 3 0 2 -6 -4 3 1 -5 0 -2 1 31 -2 -3 「131 -2 -3 3+月 乃+灯 0 12 1 -1 2+r 0 12 1 -1 0 00 ) 0 00 Y 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 非零行的行数为3，所以R(C)=3。 8证明：A是可逆矩阵的充分必要条件是A必是满秩矩阵。 证明： A可逆台A≠0台A是满秩矩阵。 所以，A是可逆矩阵的充分必要条件是A必是满秩矩阵。 1 -1 2 9.求入的值，使矩阵A= -1 J 的秩最小。 1 10-6 1 2- 解：从矩阵A可看出其2阶子式 =21≠0所以2≤R(A)≤3 1 0 对A作初等行变换 1 2 -12 -1 27 -1 2 2+ +奶 2 -1 5 0 -1-2元元+2 1 → 0 -1-2元1+21 -万+5 -+ 1 10 -6 1 0 10-元 -5 -1 0 -3(元-3)元-30 入=3时， 「1 -1 2 1 3-12 0 -1-2 +2 0 -7 5 0-3(2-3) 元-300 000 非零行的行数为2，所以R(A)=2。此时A的秩最小。 l0.设A是n阶方阵，证明：当R(A)=n时，R(A)=n,当R(A)<n-1时， R(A)=0。 证明：当R(A)=n时，则A可逆，且A1= 1A,即A也可逆，R(A)n。 A 当R(A)<-1时，即R(A)≤n-2,可知A的任意(n1)阶子式必为0，也就是A是零 矩阵，所以R(A)=O。 11.求解齐次线性方程组：

1 2 1 3 1 4 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 4 3 1 4 0 1 2 1 1 2 3 4 8 3 0 3 6 4 3 3 8 1 5 8 0 1 2 1 1 r r r r r r − + − + − +     − − − −     − − −     →     − − − − − −         − − − − 2 3 2 4 3 4 3 2 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 0 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 r r r r r r + + +     − − − −     − − → →         − −         非零行的行数为 3，所以 R（C）=3。 8.证明：A 是可逆矩阵的充分必要条件是 A 必是满秩矩阵。 证明： A 可逆  |A|≠0  A 是满秩矩阵。 所以，A 是可逆矩阵的充分必要条件是 A 必是满秩矩阵。 9.求λ的值，使矩阵 1 1 2 2 1 5 1 10 6 1 A     −   = −       − 的秩最小。 解：从矩阵 A 可看出其 2 阶子式 2 1 21 0 1 10 − =  所以 2≤R（A）≤3 对 A 作初等行变换 1 2 2 3 1 3 1 3 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 5 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 1 10 6 1 0 10 5 1 0 3( 3) 3 0 r r r r r r r r            − + + − + − +       − − −       − → − − + → − − +                   − − − − − − − λ=3 时， 1 1 2 1 3 1 2 0 1 2 2 1 0 7 5 1 0 3( 3) 3 0 0 0 0 0          − −     − − + = −             − − − 非零行的行数为 2，所以 R（A）=2。此时 A 的秩最小。 10.设 A 是 n 阶方阵，证明：当 R（A）=n 时，R（A ※）=n，当 R（A）<n-1 时， R（A ※）=0。 证明：当 R（A）=n 时，则 A 可逆，且 1 1 | | A A A −  = ，即 A ※也可逆，R（A ※）=n。 当 R（A）<n-1 时，即 R（A）≤n-2，可知 A 的任意（n-1）阶子式必为 0，也就是 A ※是零 矩阵，所以 R（A ※）=0。 11.求解齐次线性方程组：

x1+x2+2x3-x4=0 (1) 2x1+x2+x3-x4=0 2x+2x2+x3+2x4=0 「112 -17 解：系数矩阵A= 2 11 -1 2 21 2 将A施以初等行变换 「112 -1 1 2 「1 1 2 -1 11 -2斯+2 0 -1 -3 0 -10 -21+5 -3 2 21 0 0 -3 4 0 0-34 1 0 -4 100 3 0 -10 -3 0103 =B - 0 0 1 001 3 B为最简形矩阵，R(B)=3<4,由定理6知，方程组B=0有非零解 -3,=0 B所对应的方程组为{x2+3x4=0 4 3-3=0 这个方程组中有4个未知量，3个方程，故应有1个自由未知量。 设x,=c(c为任意常数)，则有 4 X1=一C 31 x2=-3c 4 X4=C 57 X2 -3 用向量表示为 3 Lx4」 4-3 1 此解是方程组B=0的通解，再由定理5知，它也是方程组A=0的通解

（1） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 0 2 0 2 2 2 0 x x x x x x x x x x x x  + + − =   + + − =   + + + = 解：系数矩阵 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 A   −   = −       将 A 施以初等行变换 1 2 2 3 1 3 2 1 3 1 2 3 2 2 2 1 3 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0 1 3 1 0 1 0 3 2 2 1 2 0 0 3 4 0 0 3 4 4 1 0 0 1 0 2 4 3 0 1 0 3 0 1 0 3 4 4 0 0 1 0 0 1 3 3 r r r r r r r r r r r r B − + − − + + − + − −       − − −       − ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯→ − −       − −     −   −       ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯→ =           − −       B 为最简形矩阵，R（B）=3<4，由定理 6 知，方程组 Bx=0 有非零解 B 所对应的方程组为 1 4 2 4 3 4 4 0 3 3 0 4 0 3 x x x x x x  − =    + =   − =  这个方程组中有 4 个未知量，3 个方程，故应有 1 个自由未知量。 4 设 为任意常数），则有 x c c = ( 1 2 3 4 4 3 3 4 3 x c x c x c x c  =    = −   =    = 用向量表示为 1 2 3 4 4 3 3 4 3 1 x x c x x             −   =                   此解是方程组 Bx=0 的通解，再由定理 5 知，它也是方程组 Ax=0 的通解

x1+2x2+x3-x4=0 (2) 3x+6x2-x3-3x4=0 5x+10x2+x3-5x4=0 [1 , 1-17 解：系数矩阵A= 3 6 -1 ~3 l5 101-5 将A施以初等行变换 21 -1 [121 -17 3 6-1 3 -3新+5 0 0-4 0 -5万+ 510 1 -5 0 0-4 0 「121 -17 20 -1 -n+→ 0 0 0 0 01 0 =B 0000 0 00 0 B为最简形矩阵，R(B)=2<4, 由定理6知，方程组Bx=0有非零解 x+2x2-x4=0 B所对应的方程组为 x3=0 这个方程组中有4个未知量，2个方程，故应有2个自由未知量。 设x2=C,x4=c2(G,C2为任意常数)，则有 x=-2c+C2 X2=C x3=0 x4=C2 7 -2 1 用向量表示为 m 1 0 C+ 00 Lx4J 0 此解是方程组B=0的通解，再由定理5知，它也是方程组=O的通解。 2x1+3x2-x3+5x4=0 (3) 3x1+x2+2x3-7x=0 4x,+x2-3x3+6x4=0 x-2x2+4x-7x4=0

（2） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 0 3 6 3 0 5 10 5 0 x x x x x x x x x x x x  + + − =   + − − =   + + − = 解：系数矩阵 1 2 1 1 3 6 1 3 5 10 1 5 A   −   = − −       − 将 A 施以初等行变换 1 2 1 3 2 3 2 1 2 3 5 1 4 1 2 1 1 1 2 1 1 3 6 1 3 0 0 4 0 5 10 1 5 0 0 4 0 1 2 1 1 1 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r r r r B − + − + − + − + −     − −     − − ⎯⎯⎯→ −     − −     − − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ =                 B 为最简形矩阵，R（B）=2<4，由定理 6 知，方程组 Bx=0 有非零解 B 所对应的方程组为 1 2 4 3 2 0 0 x x x x  + − =   = 这个方程组中有 4 个未知量，2 个方程，故应有 2 个自由未知量。 2 1 4 2 1 2 设 为任意常数），则有 x c x c c c = = , ( , 1 1 2 2 1 3 4 2 2 0 x c c x c x x c  = − +   =  =    = 用向量表示为 1 2 1 2 3 4 2 1 1 0 0 0 0 1 x x c c x x       −         = +                         此解是方程组 Bx=0 的通解，再由定理 5 知，它也是方程组 Ax=0 的通解。 （3） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 5 0 3 2 7 0 4 3 6 0 2 4 7 0 x x x x x x x x x x x x x x x x  + − + =   + + − =  + − + =    − + − =

23 -1 1 2 解：系数矩阵A= - 3 6 -2 4 将A施以初等行变换 2 3 -1 57 「1 -2 4 -77 [1 -2 4 -71 3 1 2 -7 3 1 2 -7 -3折+5 0 -10 14 4 1 -3 6 4 1 -3 6 -4+5 -2n+ 9 -19 11 -2 -7 2 3 -1 5 0 个 -9 19 「1 -2 4 -71 [1 -2 4 -7 0 7 -10 14 -3 0 1 17 -36 -2+5 0 2 -9 20 0 2 -9 20 0 0 1 0 0 1 5 「1 -2 4 -71 -2 4 -7 0 1 17 -36 43机→ 0 1 17 -36 0 0 -43 92 0 0 0 -123 0 1 5) 0 0 5 「1-2 4 -71 0 117 -36 =B 0 0 1 5 0 0 0 -123 B的非零行有4行，所以R(B)=R(A)=4, 方程组A=0的只有零解。 12.求解下列非齐次线性方程组： 4x+2x2-x3=2 (1) 3x-x2+2x3=10 11x1+3x2=8 4 2 -1 27 解：增广矩阵B=「A:b]= 3 -1 2 10 11 3 0 6 将B施以初等行变换 2 -1 3 -3 -87 3 -3 i- 1 2 10 3 O 0 -10 4 11 3 0 8 11 3 0 8 -30 33

解：系数矩阵 2 3 1 5 3 1 2 7 4 1 3 6 1 2 4 7 A   −   − =     −     − − 将 A 施以初等行变换 1 4 1 2 1 3 1 2 2 4 3 2 2 3 3 4 2 3 2 3 1 5 1 2 4 7 1 2 4 7 3 1 2 7 3 1 2 7 0 7 10 14 4 1 3 6 4 1 3 6 0 9 19 34 1 2 4 7 2 3 1 5 0 7 9 19 1 2 4 7 1 2 0 7 10 14 0 2 9 20 0 0 1 5 r r r r r r r r r r r r r r  − + − + − + − + − + − +       − − − − −       − − − → ⎯⎯⎯→ − − −       − − − −   − − −   − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→     −     2 3 4 3 4 3 2 43 4 7 0 1 17 36 0 2 9 20 0 0 1 5 1 2 4 7 1 2 4 7 0 1 17 36 0 1 17 36 0 0 43 92 0 0 0 123 0 0 1 5 0 0 1 5 1 2 4 7 0 1 17 36 0 0 1 5 0 0 0 123 r r r r r r B − + +    −   −     −         − − − −     − − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − −       − −   − ⎯⎯⎯→ =         − B 的非零行有 4 行，所以 R（B）=R（A）=4， 方程组 Ax=0 的只有零解。 12.求解下列非齐次线性方程组： （1） 1 2 3 1 2 3 1 2 4 2 2 3 2 10 11 3 8 x x x x x x x x  + − =   − + =   + = 解：增广矩阵   4 2 1 2 3 1 2 10 11 3 0 8 B A b   −   = = −       将 B 施以初等行变换 1 2 1 2 1 2 3 11 4 2 1 2 1 3 3 8 1 3 3 8 3 1 2 10 3 1 2 10 0 10 11 34 11 3 0 8 11 3 0 8 0 30 33 96 r r r r r r − + − − +       − − − − −       − → − → −                   −