临沂師范兽院骨晶髁程兽台析银外训练方囊 第十一章反常积分 基本概念 1设函数∫定义在无穷区间+∞)上,且在任何有限区间[ad]上可积,如果存在极限 im「f(xktx=J 则称此极限J为函数在[a+)上的无穷限反常积分(简称无积分),记作J=「f(x 并称∫(收敛如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称∫(x女发散 设函数f定义在(ab上,在点a的任一右邻域内无界,但在任何内闭区间[=(ab] 上有界且可积,如果存在极限im/(xk=J则称此极限为无界函数∫在(ab]上的反常积 分,记作J=八x并称反常积分八x)收敛,如果极限不存在,这时也说反常积分 f(x)kx发散 、基本定理 1.f(x)在区间[a+∞)上可积,k- Const,则函数f(x)在区间[+∞)上可积 且对(x)=kj/(x f(x)和g(x)在区间[a+∞)上可积,→f(x)±g(x)在区间[+∞)上可积,且 「(±g)=f±「g 3.无穷积分收敛的 cauchy准则临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 - 1 - 第十一章 反常积分 一、基本概念 1. 设函数 f 定义在无穷区间[a,+ ∞) 上，且在任何有限区间[a,u]上可积，如果存在极限 f ( ) x dx J u a u = ∫ →+∞ lim （1） 则称此极限 为函数 在 上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作 , 并称 收敛.如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称 发散. J f [a,+ ∞) ( ) ∫ +∞ = a J f x dx ( ) ∫ +∞ a f x dx ( ) ∫ +∞ a f x dx 2. 设函数 f 定义在(a,b]上，在点 a 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间[ ] u,b ⊂ (a,b] 上有界且可积，如果存在极限 则称此极限为无界函数 在 上的反常积 分，记作 ， 并称反常积分 收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分 发散. f ( ) x dx J b u u a = → + ∫ lim f (a,b] ( ) ∫ = b a J f x dx ( ) ∫ b a f x dx ( ) ∫ b a f x dx 二、基本定理 1. f (x) 在区间[a,+ ∞) 上可积 ,κ — Const , 则函数κf (x)在区间 上可积 , 且 . [a,+ ∞) f ( ) x dx f ( ) x dx a a ∫ ∫ +∞ +∞ κ = κ 2. f (x) 和 g(x) 在区间 [a,+ ∞) 上可积 , ⇒ f (x)± g(x) 在区间 上可积 , 且 . [a,+ ∞) ( ) ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ ± = ± a a a f g f g 3. 无穷积分收敛的 Cauchy 准则: