易见S(O)=0 S(x)= 22.42.4.6 22.42.4.6 x[+s(x) 因此Sx)是初值问题 y=xy+-,y(0)=0的解 (I)方程y=xy+的通解为 由初始条件yO)=0,得C=1 故y=--+e2-1,因此和函数S(x)=12+2 【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题,2002年考过类似的题 完全类似的例题见《数学复习指南》P214例919,《数学三临考演习》P2第18题 (20)(本题满分13分) 设a1=(1,20),a2=(1a+2,-3a),a3=(-1-b-2,a+2b),B=(13-3) 试讨论当a,b为何值时 (I)β不能由a12a2,a3线性表示 (Ⅱ)B可由a1,a2,a3唯一地线性表示,并求出表示式 (Ⅲ)B可由a1,a2a3线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式 【分析】将B可否由a1,O2,O3线性表示的问题转化为线性方程组ka1+k2a2+k3a3=B 是否有解的问题即易求解 【详解】设有数k1,k2,k3,使得10 易见 S(0) = 0， +   +   = + 2 2 4 2 4 6 ( ) 3 5 7 x x x S x ) 2 2 4 2 4 6 ( 2 4 6 +   +  = + x x x x ( )] 2 [ 2 S x x = x + . 因此 S(x)是初值问题 , (0) 0 2 3  = + y = x y xy 的解. (II) 方程 2 3 x y  = xy + 的通解为 ] 2 [ 3 e dx C x y e xdx xdx +   =  − 2 2 2 1 2 x Ce x = − − + ， 由初始条件 y(0) = 0，得 C = 1. 故 1 2 2 2 2 = − + − x e x y ，因此和函数 1 2 ( ) 2 2 2 = − + − x e x S x . 【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002 年考过类似的题. 完全类似的例题见《数学复习指南》P214 例 9.19，《数学三临考演习》P82 第 18 题. (20)(本题满分 13 分) 设 T α (1,2,0) 1 = , T α (1,α 2, 3α) 2 = + − , T α ( 1, b 2,α 2b) 3 = − − − + , T β = (1,3,−3) , 试讨论当 a,b 为何值时, (Ⅰ) β 不能由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示; (Ⅱ) β 可由 1 2 3 α ,α ,α 唯一地线性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) β 可由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】将 β 可否由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示的问题转化为线性方程组 k1α1 + k2α2 + k3α3 = β 是否有解的问题即易求解. 【详解】 设有数 , , , 1 2 3 k k k 使得