k,a,+k,a2+k,a,=B 记A=(a1,a2,a3).对矩阵(A,B施以初等行变换,有 (A,B)=2a+2-b-230a-b1 0-3aa+2b-3 (I)当a=0时,有 (A,B)→00-b 000-1 可知r(A)≠r(A,B).故方程组()无解,不能由a1,a2a3线性表示 (Ⅱ)当a≠0,且a≠b时,有 1001 11 (A,B)→0a-b1|→>010 00a-b0」|001 r(A)=r(A,B)=3,方程组(*)有唯一解: k2=-,k3=0 此时β可由a1,ax2,a3唯一地线性表示,其表示式为 1 B=(1--a1+-a (Ⅲ)当a=b≠0时,对矩阵(A,B)施以初等行变换,有 100 (AB)→0a-b1→01 0a-b0」000 r(A)=r(A,B)=2,方程组(*)有无穷多解,其全部解为 k2=-+c,k3=c,其中c为任意常数 B可由a1,a2,a3线性表示,但表示式不唯一,其表示式为11 k1α1 + k2α2 + k3α3 = β . (*) 记 ( , , ) A = α1 α2 α3 . 对矩阵 (A, β) 施以初等行变换, 有           − + − + − − − = 0 3 2 3 2 2 2 3 1 1 1 1 ( , ) a a b A β a b           − − − → 0 0 0 0 1 1 1 1 1 a b a b . (Ⅰ) 当 a = 0 时, 有           − − − → 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 (A, β) b . 可知 r(A)  r(A, β) . 故方程组(*)无解, β 不能由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示. (Ⅱ) 当 a  0, 且 a  b 时, 有           − − − → 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ( , ) a b A β a b                 − → 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 a a r(A) = r(A, β) = 3, 方程组(*)有唯一解： a k 1 1 = 1− , a k 1 2 = , k3 = 0． 此时 β 可由 1 2 3 α ,α ,α 唯一地线性表示, 其表示式为 1 2 1 ) 1 (1 α a α a β = − + ． (Ⅲ) 当 a = b  0 时, 对矩阵 (A, β) 施以初等行变换, 有           − − − → 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ( , ) a b A β a b                 − − → 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 a a ， r(A) = r(A, β) = 2 , 方程组(*)有无穷多解， 其全部解为 a k 1 1 = 1− , c a k = + 1 2 , k = c 3 ， 其中 c 为任意常数． β 可由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为