由惟一性知道x=x并且x“(x)=x(x),x的任意性说明 J。=x”,J到上,故X自反 推论3设X是一致凸 Banach空间,EcX是非空闭凸集,则 存在惟一的x∈E使得|x|=inf|x 证明若0∈E,由于X是自反空间,由推论1(其中取x=0)即 得出所要的结论,当0∈E时,取x0=0即可 推论4设X是一致凸 Banach空间,xn∈X,则xn→x当且仅 当x一”→x并且|x|→|x 证明必要性是明显的现证充分性.设xn"→x,|x- 若x=0,即|x→0,故结论成立.若x≠0,不失一般性,设|x=1, 取∫∈X',‖f=1,f(x)=x,则 ∫(xmn+x)→2f(x)=2 从而 2≤m/(xn+x)≤1mkm+x5m(m+)=2 由推论2,|xm-x→0.由此得出x→x 思考题 试证明|和L[a,b](0<p<∞)都是一致凸空间.(在2≤p<∞时 证明并应用不等式|x+y+|x-y≤2(x+|y)x,y.在 1<p≤2情况利用这一结果以及共轭范数的公式.)10 由惟一性知道 0 0 x = x 并 且 x0 0 ( x xx ) ( ) ∗∗ ∗ ∗ = ， x∗ 的任意性说明 0 0 Jx x ∗∗ = ， J 到上，故 X 自反. 推论 3 设 X 是一致凸 Banach 空间， E X ⊂ 是非空闭凸集，则 存在惟一的 0 x ∈ E 使得 0 inf x E x x ∈ = . 证 明 若 0∉ E ，由于 X 是自反空间，由推论 1(其中取 x = 0 )即 得出所要的结论，当 0∈ E 时，取 0 x = 0 即可. 推论 4 设 X 是一致凸 Banach 空间， n x ∈ X ，则 n x → x 当且仅 当 w n x → x 并且 n x → x . 证 明 必要性是明显的. 现证充分性. 设 w n x → x ， n x → x . 若 x = 0 ，即 0 n x → ，故结论成立. 若 x ≠ 0 ，不失一般性，设 x =1， 取 f X ∗ ∈ ， f =1， f ( ) x x = ，则 fx x fx ( ) m n + → = 2 2 ( ) , 从而 ( ) , , 2 lim lim mn mn mn mn f xx xx →∞ →∞ ≤ +≤ + ( ) , lim 2 m n m n x x →∞ ≤ + = . 由推论 2， 0 m n x x − → . 由此得出 n x → x . 思考题 试证明 p l 和 [ , ] (0 ) p L ab p < < ∞ 都是一致凸空间. (在 2 ≤ p < ∞ 时 证明并应用不等式 1 2 ( ), , . p p pp p x y x y x y xy − + +− ≤ + ∀ 在 1 2 < ≤ p 情况利用这一结果以及共轭范数的公式.)