1-<x"(x)=x:(x)s1x|,|-1+ 由此得到limx=1.再由 1-<2x(x)=x(x)+x(x) x'llx+xm 得出 lim x+x=2.上面推论2说明lim|x-x|=0.换句话 说,{x}是 Cauchy序列.x完备,不妨设lmx=x∈X,显然 对于(4),固定1,令n→>∞,则得到x(x)=x(x),1≥1 x是惟一的实际上若另有x∈X,‖=1,x≠x并且 x(x)=x(x),V21根据一致凸性必有|+x<2,但由 2(1-2)2x(x)=x(x+x)k+x 得出|+x≥2,矛盾 若x∈X”是任一元,考虑序列x,x,x2…,重复上面过程可得到 =1并且 x(x)=x(x),x“(x)=x(9 0 ( ) ( ) 1 1 1 1 i in i n x x xx x x n n ∗∗ ∗ ∗ ∗ − ＜ ＜ =≤ + ， 由此得到 lim 1 n n x →∞ = . 再由 0 ( ) () ( ) 1 2 1 i in im x x xx xx n   ∗∗ ∗ ∗ ∗   − =+  ＜2 i nm x x x ∗ ≤ + n m = + x x 1 1 n   ≤ +     2 , 得出 , lim 2 m n n m x x →∞ + = . 上面推论 2 说明 , lim 0 m n n m x x →∞ − = . 换句话 说 ， {xn} 是 Cauchy 序 列 . X 完备，不妨设 0 lim n n x x X →∞ = ∈ ，显然 0 x =1. 对于 ( ) 4 ，固定 i ，令 n → ∞ ，则得到 x0 0 ( x xx i i ) ( ) ∗∗ ∗ ∗ = ， i ≥1. 0 x 是惟一的 . 实际上若另有 0 x′ ∈ X ， 0 x′ =1 ， 0 0 x′ ≠ x 并 且 x0 0 ( ) x xx i i ( ) ∗∗ ∗ ∗ = ′ ， ∀ ≥i 1根据一致凸性必有 0 0 x x + ′ ＜2，但由 0 00 00 ( ) ( ) 1 21 2 i i x x xx x x x n   ∗∗ ∗ ∗ −≤ = + ≤+ ′ ′     , 得出 0 0 x x + ≥ ′ 2，矛盾. 若 x X ∗ ∗ ∈ 是任一元，考虑序列 1 2 xx x ,,, ∗∗ ∗ ",重复上面过程可得到 0 x ， 0 x =1并且 x0 0 ( ) x xx( ) ∗∗ ∗ ∗ = ， x0 0 ( x xx i i ) ( ) ∗∗ ∗ ∗ = ， i ≥1