D0I:10.13374/i.issm1001053x.2003.01.025 第25卷第1期 北京科技大学学报 Vol.25 No.I 2003年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feb.2003 多目标局部残差平方和的定阶方法 范玉妹李红军 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要基于实践应用的需要，通过对自回归模型中的残差方差图定阶方法进行研究，提出 了局部残差平方和的定阶方法.这种定阶方法把多目标规划理论与事物局部特征结合起来. 实例表明：对自回归模型进行定阶时，运用局部残差平方和的定阶方法，能有效地提高自回 归模型的预测精度，对自回归模型阶数的取值上限作了重新界定，并在理论上给出了证明. 关键字局部残差平方和；多目标规划；多阶自回归 分类号0221.6：0211.61 1问题的提出 minn-2k-1)=r·gn-2k-1）= (Y-XB)'(Y.-X)/n-2k-1) (2) 设随机序列{x,1=0,1,…}服从多阶自回归模 其中，Y=(x,x2,,x) 型AR(),即： 1x12… x,=p0+px-1+p2x-2+十px-k十a (1) 其中，{a}是随机干扰，且服从N0,d).确定该模 X= 1龙2折…x-1 型阶数k的常用方法有四种：残差方差图定阶 1xtXn-n…X-1 法，自相关函数(ACF)和偏相关函数(PACF)定阶 B=(B,B,,)r是参数0=(po,p,p2,,p小r 法，F检验定阶法和最佳准则函数定阶法".其 的最小二乘估计.M是拟合的最高阶数，通常取 中，残差方差图定阶法可以归结为以下几步 [写小号之间的某个整数 (1)残差方差的估计式： 这种定阶方法是从总体上考虑模型的拟合 模型的剩余平方和 分实际观察值不数一模型的参数个数 情况.但在研究和解决实际问题时，常常需要考 式中的“实际观察值个数”为拟合模型时实际使 虑局部拟合情况，因为这些实际问题有时候希望 用的观察值个数，对于AR(k)模型来说实际使用 某些时间段的残差尽可能地小，而能容忍另一些 的观察值最多为（所有观察值个数n一模型阶数 时间段的残差稍大些， );“模型的参数个数”是指所建立的模型中实际 在进行短、中期石油价格分析和预测时就接 包含的参数个数.若模型中不含有均值项，则模 触到这样的问题.从1980年1997年欧佩克组织 型的参数个数就等于模型的阶数k若含有均值 的石油生产产量图如图1.显然，当需要得到的自 项，则模型的参数个数就等于模型的阶数加1，即 35 为(k+1) 0 30 (2)从=1开始，逐阶进行拟合，并绘制残差方 淫 差图 25 (3)选取残差方差较小时的k为模型的阶数 30 (4)进行模型的显著性检验 15 从数学规划角度看，这种定阶方法的实质就 808284868890929496 是求解如下的单目标问题，设观测值序列 年份 {x},t=1,2,3,…,n,则目标函数为： 图1欧佩克石油产量图 收稿日期200201-08范玉妹女53岁，教授 Fig.1 Petroleum output of OPEC第 2 5 卷 第 1 期 2 0 0 3 年 2 月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u r n a l o f U n i v e r s ity o f S e i e n e e a n d Te c h n o fo gy B e ij in g V 心1 . 2 5 N o . l F e b . 2 0 0 3 多 目标局部残差 平方和的定 阶方法 范 玉 妹 李红 军 北 京科 技大 学应 用科 学学 院 , 北京 10 0 0 83 摘 要 基 于实 践应 用 的需要 , 通 过对 自回归 模型 中的残 差方 差 图定 阶方 法 进行 研究 , 提 出 了局 部残 差平 方和 的定 阶方 法 . 这种 定 阶方 法把 多 目标规 划理 论 与事 物局 部 特征 结 合起来 . 实例 表 明 : 对 自回 归模 型进 行定 阶时 , 运用 局部 残 差平 方 和的 定 阶方法 , 能有 效地 提高 自回 归模 型 的预测精 度 . 对 自回 归模 型 阶数 的取 值上 限作 了重新 界定 , 并 在 理论 上给 出了证 明 . 关键 字 局部 残差 平方 和 ; 多 目标 规划 ; 多 阶 自回归 分 类 号 0 2 2 1 . 6 : 0 2 1 1 . 6 1 m i n 义k)/ ( n 一 Z k 一 l ) = 才 , T · ;ek) /( n 一 Zk一 l ) = ( kY 一 叉谓) T (又一 叉尹)/(n 一 2k 一 l) 其 中 , K 一 (x 川 , *+x 2 , … , 二 J ( 2 ) xk为 · : -xn X 从与 戈 一 1 问题的提 出 设 随机 序列 执 , t = 0 , l , … }服 从多 阶 自回归 模 型 A R (k) , 即: x , = 仇十毋. xt 一 + 尹式 一 2 +. 二+ 势满 一 汁a , ( l) 其中 , <a}t 是 随机 干 扰 , 且 服 从N( 0, 的 . 确 定 该模 型 阶 数 k 的 常用 方 法 有 四 种 : 残 差 方 差 图定 阶 法 , 自相 关 函数 (A C )F 和偏相关 函数 (PA C )F 定 阶 法 , F 检 验定 阶法 和最 佳准则 函 数 定 阶法 `IJ . 其 中 , 残 差方 差 图 定 阶法 可 以 归 结 为以 下 几 步 . ( l) 残 差方 差 的估计式 : l l 声二 帆 , 声 X , 一奇 X , 一 走+ - , 八 , … , 几丫是 参 数势= (肠 , p l , 仇 , … , 叭 ) T 模 型 的剩 余平方 和 实 际 观察 值个数 模 型 的参数 个数 式 中的 “ 实 际 观察 值个数 ” 为 拟合 模型 时实 际使 用 的 观察值个 数 , 对 于 A (R k) 模 型来 说实 际使 用 的 观察 值最 多为 (所 有 观察值个 数 n 一 模型 阶数 k) ; “ 模型 的参 数个 数 ” 是指 所 建立 的模型 中实 际 包 含 的参 数个 数 . 若模 型 中不 含有 均值项 , 则模 型 的参数个数 就 等于模型 的 阶数 ;k 若含 有 均值 项 , 则模型 的参数 个数 就 等于模型 的 阶数 加 1 , 即 为 (+k .l) (2 )从 =k 1开始 , 逐 阶进 行 拟合 , 并 绘制残 差方 差 图 . (3) 选 取残 差 方差 较 小 时 的 k为 模型 的 阶数 . (4 ) 进行 模型 的显 著性检验 . 从 数学 规划 角 度看 , 这种 定 阶方 法 的实质 就 是 求 解 如 下 的 单 目标 问 题 , 设 观 测 值 序 列 {x, } , t = l , 2 , 3 , … , n , 则 目标 函 数为 : 收稿 日期 2 0 02 一 1一 8 范 玉妹 女 53 岁 , 教授 的 最小 二 乘估计 . 对是 拟合 的最高阶数 , 通 常取 。 l 、 。 2 、 一 , ~ 上 。 ~ ` 二` 、 。 , [夸n] 一 [夸n] 之间 的某个整 数 . L 3 ” J L 3 ” J ~ ’ 一 J 目 J 小 , ~ 扒 · 这 种 定 阶 方 法 是 从 总体 上 考 虑 模型 的 拟 合 情 况 . 但在研究 和解 决实 际 问题时 , 常常需 要 考 虑局 部 拟合情况 , 因 为这 些 实 际问题有 时候 希 望 某 些 时 间段 的残 差 尽 可能 地小 , 而 能容 忍 另一些 时 间段 的 残差 稍 大 些 . 在 进 行短 、 中期 石油 价 格分析 和 预测 时 就接 触 到 这 样 的 问题 . 从 19 8 0 年 19 97 年欧 佩克组 织 的石 油生 产产 量 图如 图 1 . 显然 , 当需 要得 到 的 自 一 一一 ǎ 一l 礼勺擎b一à、咽 年份 图 1 欧佩克 石 油产 t 图 F ig . l P e t邝卜 u m o u t P u t o f 0 P E C DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2003. 01. 025