·92 北京科技大学学报 2003年第1期 回归方程能较好地预测该组织未来几年的石油 (n-1)/2的正整数 生产产量时，则希望得到的拟合方程能更多地反 证明：设观测值序列{x},t=1,2,3,,n,建立 映较近时期变化趋势，因此希望方程对近年拟合 AR()模型见(1)，则有 得较好，而允许它对前些时期的拟合稍微差 [11x2… XA o Xe- a 些.基于实际背景，可以采取如下的基于多目标 x2X3…Xk-1 X+2 a 规划的局部残差平方和的定阶方法. 1Xw-xa-… xa-tJ儿ps」x a 2多目标局部残差平方和的定阶 写成矩阵形式为Xwgp=Ym-ta.其中，X-) 为行满秩，α的各分量都是独立随机变量，且服 2.1局部残差平方和的定义 从N(0,G).下面用反证法，假设k2(n-1)/2,即 定义对于实测值y与回归值，参数估计值 (n一)≤(k+1),关于p的方程组Xm0=Yn-,中 B,称 的方程个数小于未知数的个数且系数矩阵行满 S.=Ey.-)=YY-BXiY (3) 秩，因此线性方程组X。-1p=Ym有解，不妨 I={p,p2,…,pnl1≤p1≤p≤…≤p≤n}, 设为B. 为局部残差平方和（或称局部剩余平方和） 由式(2)和局部残差平方和定义(3)，得 22多目标局部残差平方和的定阶方法 Sn-2k-1)=0且S=0(1si≤q,所以对于这样 该方法可以归结为下面几个步骤： 的k值，min(Sgn-2k-l),S盟，S,,5)-0,a的估 第1步观察和分析数据（图），确定需考虑的 计e=Y-一Xm-B-O,从而残差平方和E'g=0. 局部个数q的值和每个局部I(=1,2,·,q)的取值 这与模型(1)的假设（α的各分量都是独立随机变 范围. 量，且服从N(O,)相矛盾.所以在AR(k)模型的 第2步建立多目标规划问题.目标函数的一 假设前提下必有k<(n-1)/2. 般形式可以表示为 事实上，当(n-1)/2时，(n-k<(k+1), min(S./(n-2k-1),So,S,.S) (4) rank(a-taue≤(n-k水dim(X--rhw）=k+l, ]≤tM 其中，山，2，…，，不相交（下同） 矩阵(Xn-4水n-ww)的逆矩阵已经不存在，所以 第3步求解多目标规划问题(4) 最小二乘法不再适用，根据定理1，应将M取为 第4步模型显著性检验 [小-”]之间的某个整数. 进行算法设计时，可以把第2步与第4步合 下面讨论多目标局部残差平方和的定阶方 并在一起考虑.这样，计算机输出的模型阶数k 法与残差方差图定阶方法二者之间的关系.若用 值，就是满足模型显著条件下的最优解，从而得 线性加权和的方法解多目标问题（④）时，则有： 出该定阶方法的另一种形式： 定理2①若问题(4)有绝对最优解，则存 第1步观察和分析数据（图），确定需考虑的 在阶数k使a[S/(n-2k-1)]+0S+…+0Sa与S/ 局部个数g的值和每个局部1(i=1,2,,9)的取 (n一2k-1)同时取最小值；②若问题(4)不存在绝 值范围. 对最优解，则不存在阶数k≤M使a[S(n-2k- 第2步建立带约束条件的多目标规划问题 1)]+01S++0S与S/(n-2k-1)同时取最小值. 为： 证明：①设多目标问题(4)的全局最优解集 min(Sn-2k-1),S,S,,)） (5) 为R,问题(2)的最优解集为R,单目标规划(P: St/(n-k) s.t.F-5/m 2k1)F(n-k.n-2k-1), minS,l,2,,9的最优解集为R.当问题(4存 其中，S为回归平方和，即S=Σ位-). 在全局最优解时R=RnR≠中，因而3k∈R=R:n 第3步求解多目标规划问题(5). R→k∈R.②不妨设q1,因为问题(4)不存在绝对 对于多目标局部残差平方和的定阶方法，显 最优解，所以R=RnR=中，即不存在阶数k≤M使 然有： a[Sg/n-2-2k-1)]+(1-a)S与Sgn-2k-1)同 定理1若用多目标局部残差平方和的方法 时取最小值 定阶，设M是阶数k的一个上界，则M为小于 定理3权重满足0+0++0，=1，当a,=0,=北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 0 3 年 第 1期 回归 方程 能 较 好地 预测 该 组 织 未来 几 年 的 石油 生 产产 量 时 , 则 希望 得到 的拟合方 程 能更多地反 映 较近 时期 变化 趋势 , 因此 希望 方程 对近 年拟合 得 较 好 , 而允 许它 对 前些 时期 的 拟 合稍 微差 一 些 . 基 于实际 背景 , 可 以采 取如 下 的基 于 多 目标 规 划 的局 部残 差平 方 和 的定 阶方 法 . (n 一 1)/ 2 的正 整数 . 证 明 : 设观测 值序列 {xt } , t = 1 , 2 , 3 , … , n , 建立 A R (k) 模型 见 ( l) , 则有 } { ` 1 瓜 “ ` “ 1! , 。 {! x +k 1 {「 a :: 1 Xk 一 1 ! 丫 ” 艇 一 ’ …川 一 …丫… 、 t I Xn 一 * 凡 一 川 ` · ` 丸一 j L尹` J Lx 。 」 La , 一 * J… 2 多 目标局 部残 差 平 方 和 的定 阶 .2 1 局 部残 差 平方 和 的定 义 定 义 对 于 实测 值iy 与 回归值夕 , 参 数估计值 声 , 称 及 i 一 汐 I 子) 2 = 歼醉一网 卜 (3) I = 切 1 , p Z , … , p , 1 1印 .印 2 ` … 印 。 ` n } , 为 局部残 差平 方 和 (或称 局 部剩 余平 方 和 ) . .2 2 多 目标局 部残 差 平方 和 的定 阶 方法 该 方 法可 以 归结 为 下 面几个步 骤 : 第 1 步 观察和 分析数据 ( 图 ) , 确定 需 考 虑 的 局部个 数 q 的 值和 每个 局 部 去(=1 1 , 2 , … ,动的取 值 范 围 . 第 2 步 建 立 多 目标规 划 问题 . 目标 函 数 的一 般形式 可 以 表 示 为 m i n (义 ` , /( n 一 Zk 一 l ) , 酬 , 瞬彭 , … , 裂) ( 4 ) 其中 , I , , 几 , … , qI 不 相 交 ( 下 同 ) . 第 3 步 求解 多 目标 规 划 问题 ( 4) . 第 4 步 模型 显著性 检 验 . 进 行算法 设计时 , 可 以 把 第 2 步与第 4 步合 并在 一 起考 虑 . 这样 , 计算机 输 出 的模 型阶 数 k 值 , 就 是 满 足模型显 著条件下 的最 优解 , 从而得 出该 定 阶 方法 的另一 种 形式 : 第 1 步 观 察和分析 数据 ( 图 ) , 确定需 考 虑 的 局 部个 数 q 的 值和 每 个局 部 去i( = 1 , 2 , … , 妇的 取 值范 围 . 第 2 步 建 立 带 约束 条件 的多 目标 规划 问题 为 : m i n (义 ` , /( n 一 Zk一 l ) , 义交 , , 瞬分 , … , 义} , ) ( 5 ) S · t · F咬徽措尸 】一 `一` , 一2` 一 ` , , 其中 , 从 为 回归平方 和 , 即从 二 艺价一力 . 第 3 步 求解 多 目标规 划 问题 ( .5) 对 于多 目标 局 部残 差平 方 和 的定 阶方法 , 显 然 有 : 定 理 l 若用 多 目标 局 部残 差 平方和 的方 法 定 阶 , 设 M 是 阶 数 k 的 一 个 上 界 , 则 M 为 小 于 写 成矩 阵形式 为戈 n 一 k)x +(k l)9 = 称 一 k) 、 ,+ a . 其中 ,戈 n 一 k)x +(k , ) 为行 满秩 , a 的各 分量 都 是独 立 随机 变 量 , 且 服 从N (0 , 扩) . 下 面 用 反 证 法 , 假设 k到 n 一 1)/ 2 , 即 (n 一 k) ` (卜 l) , 关 于 价的方 程 组笨 , 一 k)x +(k .牵 = 称 一 k) 、 , 中 的方 程 个 数小 于未 知 数的个数且 系 数矩 阵行 满 秩 , 因此线性 方程组笨 。 一 k)x +(k l尸 二 称 一 k) 、 1有 解 , 不妨 设为 P . 由式 (2) 和 局 部 残 差 平 方 和 定 义 ( 3) , 得 义 ` , z( n 一 2无一 l ) 二 0且 黔 = o ( l ` i ` 叮) , 所 以 对 于这 样 的k值 , m i n 仅 ` , /( n 一 Z k一 l ) , 酬 , 蹭 , … , 义聋) = 0 , a 的估 计 e = 从 。 一 *〕 、 一戈 。 一* , 、 (+k 1)户0 , 从而 残差 平 方 和扩『 0 . 这 与模 型 ( l) 的假 设 ( a 的各 分量 都是 独立 随机 变 量 , 且 服从 N (0 , 护) )相 矛盾 . 所 以 在 A (R k) 模型 的 假 设前提下 必有 k< (n 一 1)/ .2 事 实 上 , 当>k (n 一 1)2/ 时 , (n 一 k) (< +k l) , r a nk 以 , 一 *》 、 (+k , ) ) ` ( n 一 k) < d im (蛛 一* 〕 , `+k .浅 。 一* ) 、 。川 , ) = 无十 l , 矩 阵(蛛 一 k)x 归浅 n 一 k)x +(k1 ) ) 的逆 矩 阵已 经不存在 , 所 以 最 小 二乘法不 再适 用 . 根 据 定 理 1 , 应将材取为 〔静 〕 一 〔宁 〕之 间的某 个整数 . 下 面 讨论 多 目标 局 部 残 差 平 方 和 的定 阶方 法 与 残差方 差 图定 阶方法 二 者之 间 的关系 . 若用 线 性 加权和 的方 法 解 多 目标 问题( 4) 时 , 则有 : 定理 2 ①若问题 ( 4) 有绝对 最 优解 , 则存 在 阶数 k 使 a 。【义 ` , /( n 一 Zk一 l ) ] + 刁汉 ` ,+ … + 刁粼) , 与义 ` , / (n 一 Z k一 l) 同时取 最 小值 ; ②若 问题 ( 4) 不 存在 绝 对 最 优 解 , 则 不 存 在 阶 数 k ` M 使 氏[畔 ,(/ n一 k2 一 l ) ] + 刁 1义 ` ,+ … + a裂 , 与义 ` , / ( n 一 Zk 一 l )同时取 最小 值 . 证明 : ①设多 目标 问题 (4) 的 全局 最 优解 集 为’R , 问题 ( 2) 的最优解 集为:R , 单 目标 规 划 (P, ) : m in 酬 , 间 , 2 , … , q 的最 优解 集为尾 . 当问题 (4) 存 在全 局 最 优解 时’R =R 二9尾` 叭 因而 日k ’ 任 ’R =R ;Q :R 冷*k 任:R . ②不妨 设 q =l , 因为 问题 (4) 不 存在 绝 对 最优 解 , 所 以’R =R : n :R 神 , 即不存在 阶 数k ` 材使 D 。 [义 ` , /( n 一 2 一 Z k一 l ) ] + ( l 一 a 。 )义 ` , 与 又 ` , /( n 一 Zk 一 l ) 同 时 取最 小 值 . 定 理 3 权 重 满足 刁 。 + 刁 1+ … + 刁 ; = l , 当 a ,= 己 2=