VoL.25 No.I 范玉妹等：多目标局部残差平方和的定阶方法 ·93· =0,-0,0。=l,0[S/(n-2k-1)]+0S+…+a,Sg取 得最小值时，S(n-2k-1)取最小值. 证明：当a,=0=…a,=0,0。=1时，S/(n-2k-1)= aS/n-2k-1)]+0,S++0,S所以，a[Sn-2k -k]+0S++⑦，S取最小值时，Sn-2k-1)也 取最小值. 定理2和3表明，残差方差图定阶方法是多 目标局部残差平方和的定阶方法的一种特殊情 2 345 6 k 况.多目标局部残差平方和的定阶方法是残差方 图2残差方差 差图定阶方法的一个推广.需要说明的是，当使 Fig.2 Residual variance 用线性加权和的方法求解时，因为S/(n-2k-1) 1.5 的值一般比S(1≤i≤q)要大许多，所以为实现 局部残差平方和在定阶时的作用，∂，应该取得 1.0 较小. 用主要目标法解决多目标问题(4)时，如果把 0.5 ■Y 第一目标函数S,(n-2k-1)作为主要目标，则原 问题即化为带约束的残差方差图定阶方法；如果 把某个S(1≤i≤g)作为主要目标时，则原问题就 456 化为带约束的纯局部残差平方和的定阶方法. k 图3区间残差平方和 2实例计算 Fig.3 Residual sum of squares in the interval 欧佩克组织自1980年以来的日平均产油量 表10=1和=0.13时模型阶数与回归系数表 数据见图1.现根据这些数据拟合出自回归方 Table 2 Order and the regression coefficient of the model 程，并预报未来几年的产油量.建立无约束多目 ∂模型阶数 回归系数 残差方差 标规划： 32.1853,-0.3844,0.3212,0.99491.3361 minS.=c'c/(n-2k-1) (6) 0.13 6 3.8839,0.0443-0.2033,0.14041.7840 IsksM -0.1430,0.2609,0.7767 minS.=Σy,-y,-》) 其中，n=18,c'c表示回归残差平方和，p(p>k)表示 表2预测结果分析表 所考虑区间的起点，pp≤n)表示所考虑区间的 Table 2 Analysis of the forecast results 终点.模型可用多种方法求解，这里考虑权重把 年份实际值 一3时的预测结果6时的预测结果 多目标问题转化为单目标问题求解.即 预测值相对误差预测值相对误差 min OS.+(1-0)S. (7) 199830.81528.96270.060129.16490.0535 其中，0是常数，且0≤a≤1.显然，当⑦=1时式(7)就 199929.29529.47790.0062 29.38270.0030 200030.82529.79660.0334 29.77970.0339 转化为残差方差图定阶方法；当0≤a<1时，其定 均值 0.0332 0.0302 阶方法就是本文介绍的多目标局部残差平方和 的定阶方法.此外，P,p,和0的值可以凭经验或者 从表2可以看出，通过引人局部残差平方和 通过观察数据图来确定.本例中取p=n-2,p=n, 以及多目标规划，尽管模型的总残差和略有增 计算结果如表1. 加，但是模型的预测性能却有所提高 当0=1时，k=3,F=16.3269>F(15,11)=2.72; 3结论 当0=0.13时，k=6,F=9.0538>Fas(12,5)=4.68.可 见回归方程在=0.05水平下都有显著意义.残差 (1)多目标的局部残差平方和定阶方法是残 方差和所选区间残差如图2和图3所示.其中， 差方差图定阶方法的推广，运用多目标的局部残 S.(z上S./(n-2k-1),S.(0=S。.用此模型进行3年预 差平方和定阶方法可以提高模型的预测精度 测结果如表2. (2)用残差方差图定阶或者用局部残差平方Vb l . 2 5 N o . l 范 玉妹 等 : 多 目标局 部残 差 平方 和 的 定阶方 法 一 司 峥内j``é月,1 1 ǎ)z时 一a 厂0 , a 。 = l , 日 。 〔义 ` )/( n 一 Zk 一 l ) ] + 己 l义 k) + … + 刁淤 ,取 得最 小 值 时 , :kS ,(/ n 一 k2 一 l) 取最 小 值 . 证 明 : 当己二1 己 2= … a厂 O , 刁 。 =l 时 , 醋V(n 一 2k 一 l =) 刁 。 [义 ` , /( n 一 Z k一 l ) ] + a汉 ` ,+ … + 己淤 ,所 以 闷 。 [义 ` , /( n 一 Z k 一 k) 」+ 刁汉 们 +. 二 + 己粼乡取 最 小 值 时 , 叉>(/ n 一 2k 一 l) 也 取最 小 值 . 定 理 2 和 3 表 明 , 残 差方 差 图定 阶方 法是 多 目标 局 部残 差 平 方 和 的定 阶方 法 的 一种 特殊 情 况 . 多 目标局部 残差 平方 和 的定 阶方 法是 残 差方 差 图定 阶方 法 的一 个推广 . 需 要说 明的 是 , 当使 用 线 性加 权 和 的方 法 求解 时 , 因 为:kS ,(/ n一 k2 一 l) 的 值一 般 比醋 ) ( l` 迷动要 大 许 多 , 所 以 为 实现 局 部残 差 平方 和 在 定 阶 时 的 作用 , 刁 。 应 该 取 得 较 小 . 用 主要 目标法解 决 多 目标 问题(4) 时 , 如果 把 第一 目标 函数:kS ) /(n 一 2k 一 l) 作 为 主要 目标 , 则 原 问题 即化 为带 约束的残 差方 差 图定 阶方 法 ; 如 果 把 某 个畔 ) ( 1` 迷 动作为主要 目标时 , 则原 问题就 化 为 带约 束 的纯 局部 残 差 平方 和 的定 阶方 法 . 2 3 4 5 k 图 2 残差 方 差 F i g . 2 R e s i d u a l v a r i a n c e 6 7 典的 勺} 2 实例计算 欧佩克 组织 自 19 80 年 以 来 的 日平 均 产 油 量 数据 见 图 1 . 现 根据 这 些 数据 拟 合 出 自回 归 方 程 , 并 预 报未 来 几年 的产 油量 . 建立无约 束多 目 标规 划 : 思梦 一 扩c/ ( n 一 Z k 一 l ) ( 6 ) m in 及一 艺 如一夕)妙厂夕) 户 . “ 匀, . 其 中 , n = 18 , 己c 表 示 回 归残 差 平方 和 , 0P 勿>0 k) 表示 所 考 虑 区 间 的 起点 , lP 勿 1` n) 表 示 所 考 虑 区 间 的 终 点 . 模 型可 用 多种方 法 求解 , 这 里 考 虑权重 把 多 目标 问题转化 为 单 目标问题求解 . 即 m i n 刁eS + ( l 一 己) eS ( 7 ) 其中 , a 是常数 , 且 0 ` 己` 1 . 显然 , 当 D=l 时式( 7) 就 转化 为残差方 差 图 定 阶方 法 ; 当 0 ` a l< 时 , 其定 阶 方 法 就是 本 文 介 绍 的 多 目标 局 部 残 差 平 方 和 的定 阶方 法 . 此 外 , 0P , p l和 刁的值可 以凭经验 或 者 通过 观察 数据 图来 确定 . 本 例中取尸。 = n 一 2 , p , = n , 计算结 果如 表 1 . 当 a 二 l 时 , =k 3 , 介 16 . 32 6 9 > 0F 仍 ( 15 , 1 1) = 2 . 7 2 ; 当刁= 0 . 13 时 , k = 6 , 尸 = 9 . 0 5 3 8 ) oF o s ( 12 , 5 ) = 4 . 6 8 . 可 见 回归方 程 在 a = .0 05 水 平 下 都有 显 著意 义 . 残 差 方差 和 所选 区 间 残差 如 图 2 和 图 3 所 示 . 其中 , eS (z ) = 及(/ n 一 Z k一 1) , eS 仍 二 及 . 用 此模 型 进行 3 年 预 测 结 果如 表 .2 0 匕 ~ 一 一 - 一 ~ 一` — 一 - 』一 一 一 - 满 1 2 3 4 5 6 7 k 图 3 区 间残差 平 方和 F i g . 3 R e s id u a l s u m o f s q u a er s i n t h e i n t e vr a l 表 1 己= 1 和 a =0 J 3 时模型 阶数 与 回 归 系 数 表 aT b l e 2 o r d e r a n d t h e r e g er s s io n e o e if c i e n t o f t h e m o d e l a 模型 阶数 回 归 系数 残差 方差 1 3 2 . 18 5 3 , 一 0 . 3 8 4 4 , 0 . 3 2 1 2 , 0 . 9 9 4 9 0 . 1 3 6 3 · 8 8 3 9 , o · 0 4 4 3 , 一 0 . 2 0 3 3 , 0 . 14 0 4 一 0 . 14 3 0 . 0 . 26 0 9二0 . 7 7 6 7 1 . 3 3 6 1 1 . 7 8 4 0 表 2 预 测 结果 分析 表 aT b l e 2 A n a ly s is o f t h e of re e a s t re s u lt s 年份 实 际值 卜3 时 的预测 结 果 预测 值 相 对误差 =k 6 时 的预 测结 果 预 测值 相 对误差 19 9 8 19 9 9 2 0 0 0 均值 3 0 . 8 15 2 8 . 9 6 2 7 2 9 . 2 9 5 2 9 . 4 7 7 9 3 0 . 8 2 5 2 9 . 7 9 6 6 0 . 0 6 0 1 0 . 0 0 6 2 0 . 0 3 3 4 0 . 0 3 3 2 2 9 . 1 6 4 9 2 9 . 3 8 2 7 2 9 . 7 7 9 7 0 . 0 5 3 5 0 . 0 0 3 0 0 . 0 3 3 9 0 . 0 3 0 2 从表 2 可 以 看 出 , 通 过 引人 局部 残 差平 方 和 以 及 多 目标 规 划 , 尽 管模 型 的总 残 差 和 略有增 加 , 但是 模型 的 预测 性 能却有所 提 高 . 3 结论 ( l) 多 目标 的局 部残差 平 方 和 定 阶方 法 是残 差 方 差 图定 阶方 法 的推 广 . 运 用 多 目标 的局 部残 差 平 方 和 定 阶方 法 可 以 提 高模型 的预 测 精度 . (2) 用 残差 方 差 图定 阶或 者用 局 部 残差 平 方