第二类曲线积分(对坐标的曲线积分) 设L的参数方程为x=( 则 y(1) Px,y)dx+Q(x,y)y={Po(m).v()()+o(,vjw()dt 两类曲线积分之间的关系JP+Qh=j(Posa+QsB)d其中a和B分别为 L上积分起止点处切向量的方向角。 格林公式」(-01)dd=手P+Q格林公式 )dxdy=pPd+Ody 当P=1:Q=x,即:2一=2时,得到D的面积:4=b=手x 平面上曲线积分与路径无关的条件 1、G是一个单连通区域 2、P(xy,Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数,且2=0。注意奇点,如00,应 减去对此奇点的积分,注意方向相反! 二元函数的全微分求积: 在2=①时,P2+Qh才是二元函数u(xy)全微分,其中: (x,y)=「P(x,y)t+g(x,y),通常设=y=0 曲面积分: 对面积的曲面积分/(x,=)=/x,=(x)+:(x)+:(x, 对坐标的曲面积分P(xy,)d+Q(x,y,)td+R(x,y,)h,其中: ∫(x,y)dhy=xy,(xyd取曲面的上侧时取正号 ∫P(x,y)k=+pxy,)y,1v取曲面的前侧时取正号 ∫Q(x,y)kdk=士xy(=,x,1ta取曲面的右侧时取正号 两类曲面积分之间的关系:Pd+g+Rhp=(Pcsa+os+Reos，通常设 。 在 ＝ 时， 才是二元函数 的全微分，其中： 二元函数的全微分求积： 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 、 ， 在 内具有一阶连续偏导数，且 ＝ 。注意奇点，如 ，应 、 是一个单连通区域； 平面上曲线积分与路径无关的条件： 当 ，即： 时，得到 的面积： 格林公式： 格林公式： 上积分起止点处切向量的方向角。 两类曲线积分之间的关系： ，其中 和 分别为 设 的参数方程为 ，则： 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) · 2 ( , ) ( , ) (0,0) 1 · 2 1 , 2 ( ) ( ) ( cos cos ) ( , ) ( , ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( ) ( ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 = + = = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = − ∂ ∂ − ∂ ∂ = − = = + ∂ ∂ − ∂ ∂ = + ∂ ∂ − ∂ ∂ + = + + = ′ + ′ ⎩ ⎨ ⎧ = = ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ u x y P x y dx Q x y dy x y Pdx Qdy u x y y P x Q y P x Q P x y Q x y G G D A dxdy xdy ydx y P x Q P y Q x dxdy Pdx Qdy y P x Q dxdy Pdx Qdy y P x Q L Pdx Qdy P Q ds P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt y t x t L x y x y D L D L D L L L L α β α β ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ ψ ϕ β α 曲面积分： ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ + + = + + = ± = ± = ± + + = + + Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx P x y z dydz P x y z y z dydz R x y z dxdy R x y z x y dxdy P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy f x y z ds f x y z x y z x y z x y dxdy zx yz xy xy D D D D x y ( cos cos cos ) ( , , ) [ , ( , ), ] ( , , ) [ ( , ), , ] ( , , ) [ , , ( , )] ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) 2 2 两类曲面积分之间的关系： α β γ ，取曲面的右侧时取正号。 ，取曲面的前侧时取正号； ，取曲面的上侧时取正号； 对坐标的曲面积分： ，其中： 对面积的曲面积分：