第一章复数和复变函数 第7页 81.3复数序列 按照一定顺序排列的复数 1,2,3 称为复数序列,记为{an} 复数序列的性质和实数序列完全相同 一个复数序列完全等价于两个实数序列 聚点给定序列{zn},若存在复数z,对于任意给定的ε>0,恒有无穷多个zn满足 zn-2<ε,则称z为{zn}的一个聚点(或极限点) 个序列可以有不止一个聚点,例如序列 23456 2’3’4’5’6’7 就有两个聚点,±1 特别是,对于实数序列xn的聚点(也必然是实数),其中 数值最大的,称为{xn}的上极限,记为imx 数值最小的,称为{xn}的下极限,记为imxn 上面的序列中,±1就分别是它的上、下极限 有界序列和无界序列给定序列{zn},如果存在一个正数M,使对于所有的n,都有 zn|<M,则序列称为有界的;否则就是无界的. bolzano- Weierstrass定理个有界的无穷序列至少有一个聚点 极限给定序列{zn},如果存在复数z,对于任意的ε>0,总能找到N(=)>0,使当 >N()时,有|zn-2<ε,则称{zn}收敛于z,记为 个序列的极限必然是序列的聚点,而旦是唯一的聚点 序列极限存在(序列收敛)的 Cauchy充要条件任意给定ε>0,存在正整数N()>0 使对于任意正整数p,有 z N 个无界序列不可能是收敛的✐❥❦ ￾✁❧￾♠♥✁ ✟ 7 ✠ §1.3 ✒ ✓ ü ý þÿ✥ ✹￾ ✧✁ ✮❀✽✩ zn = xn + i yn, n = 1, 2, 3, · · · , ✷✿✽✩✧✮✪✾✿ {zn} ❋ ✽✩✧✮❀åú❯★✩✧✮✂✄❉ ❱ ❋ ✥✼✽✩✧✮✂✄❊☎➶ ❅ ✼★✩✧✮ ❋ ✆✝ ✞ ✹ ✧ ✮ {zn} ✪✟✠✡✽✩ z ✪ ✦➶ èé✞ ✹❀ ε > 0 ✪☛ ✤☞✌✍✼ zn ➡➢ |zn − z| < ε ✪✲✷ z ✿ {zn} ❀ ✥✼✎❶ (➨✏✑❶ ) ❋ ✥✼✧✮ ❘❛✤●✒✥✼✎❶ ✪➑➒✧ ✮ 1 2 , − 2 3 , 3 4 , − 4 5 , 5 6 , − 6 7 , · · · ❪ ✤ ❅ ✼✎❶ ✪ ±1 ❋ ✓❈➊✪ ✦➶★✩✧✮ xn ❀ ✎❶ (➚✔➬ ➊★✩) ✪✕ ✖ ✩ ñ✗ ❑ ❀✪✷✿ {xn} ❀ ⑩ ✏✑✪✾✿ limn→∞ xn ✃ ✩ ñ✗ ▲ ❀✪✷✿ {xn} ❀✭✏✑✪✾✿ lim n→∞ xn ❋ ⑩⑨❀ ✧ ✮ ✖✪ ±1 ❪ ❇❈➊ç ❀ ⑩❆✭✏✑❋ ✘✙✚✛✜✢✙✚✛ ✞ ✹ ✧ ✮ {zn} ✪➒❨✠✡✥✼✣✩ M ✪✤ ✦➶❵✤ ❀ n ✪✥ ✤ |zn| < M ✪✲✧ ✮✷✿✤✦ ❀ ✃✧ ✲❪➊☞✦❀ ❋ Bolzano–Weierstrass ✜★ ✥✼✤✦ ❀ ☞✌✧ ✮✩✪✤✥✼✎❶❋ Ï✫ ✞ ✹ ✧ ✮ {zn} ✪➒❨✠✡✽✩ z ✪ ✦➶ èé❀ ε > 0 ✪✬ ❍✭➔ N(ε) > 0 ✪✤✮ n > N(ε) ✯✪ ✤ |zn − z| < ε ✪✲✷ {zn} ✰✱➶ z ✪✾✿ limn→∞ zn = z. ✥✼✧✮❀✏✑✔➬ ➊✧✮❀✎❶ ✪✲ ù➊æ✥❀ ✎❶❋ ✚✛Ï✫✳✴ (✚✛✵✶) P Cauchy ✷✸✹✺ èé✞ ✹ ε > 0 ✪✠✡✣ ê ✩ N(ε) > 0 ✪ ✤ ✦➶ èé✣ ê ✩ p ✪ ✤ |zN+p − zN | < ε. ✥✼☞✦✧ ✮ ●❘❍➊✰✱❀ ❋