§4基变换与坐标变换 在n维线性空间中,任意n个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不 同的基,同一个向量的坐标一般是不同的.随着基的改变,向量的坐标是怎样变 化的 设1,2…,En与1,2,…,En是n维线性空间V中两组基,它们的关系是 1=a1E1+a2E2+…+anEn, E2=a12E1+a22E2+…+an2E 设向量在这两组基下的坐标分别是(x1,x2,…,xn)与(x1,x2,…,x),即 5=x1E1+x252 +nEn=x, 1+x2E2+.trna 现在的问题就是找出(x1,x2…,xn)与(x2x2…x)的关系 首先指出,(1)中各式的系数 ),j=1,2,…,n 实际上就是第二组基向量s(=1,2,…,m)在第一组基下的坐标.向量 s1,2…e的线性无关性就保证了(1)中系数矩阵的行列式不为零.换句话说,这 个矩阵是可逆的 为了写起来方便,引入一种形式的写法.把向量 5=xE1+x2E2+…+xnEn 写成 也就是把基写成一个1×n矩阵,把向量的坐标写成一个n×1矩阵,而把向量看作 是这两个矩阵的乘积所以说这种写法是”形式的”,在于这里是以向量作为矩 阵的元素,一般说来没有意义.不过在这个特殊的情况下,这种约定的用法是不 会出毛病的§4 基变换与坐标变换 在 n 维线性空间中，任意 n 个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不 同的基，同一个向量的坐标一般是不同的.随着基的改变，向量的坐标是怎样变 化的. 设 n  , , , 1 2  与 n   ,  , ,  1 2  是 n 维线性空间 V 中两组基，它们的关系是         = + + +  = + + +  = + + + . , , 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 n n n nn n n n n n a a a a a a a a a                 (1) 设向量  在这两组基下的坐标分别是 ( , , , ) 1 2 n x x  x 与 ( , , , ) 1 2 n x  x   x  ，即 . 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n  = x  + x  ++ x  = x  + x  ++ x  (2) 现在的问题就是找出 ( , , , ) 1 2 n x x  x 与 ( , , , ) 1 2 n x  x   x  的关系. 首先指出，(1)中各式的系数 (a1 j ,a2 j ,  ,anj) , j = 1,2,  ,n 实际上就是第二组基向量 ( j 1 ,2 , ,n)   j =  在第一组基下的坐标.向量 n   ,  , ,  1 2  的线性无关性就保证了(1)中系数矩阵的行列式不为零.换句话说，这 个矩阵是可逆的. 为了写起来方便，引入一种形式的写法.把向量 . 1 1 2 2 n n  = x  + x  ++ x  写成               = n n x x x   2 1 1 2  ( , , , ) , (3) 也就是把基写成一个 1n 矩阵，把向量的坐标写成一个 n1 矩阵，而把向量看作 是这两个矩阵的乘积.所以说这种写法是”形式的”，在于这里是以向量作为矩 阵的元素，一般说来没有意义.不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不 会出毛病的