第三章可测函数 在给定了一个测度空间以后,由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各种 各样的集.为用测度论的方法研究这个函数我们自然要求这些集是可测的.由此产生了可 测函数的概念在定义积分时候,对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可测的我 们将看到可测函数是一类很广泛的函数.特别地,欧氏空间R"上的 Lebesgue可测函数是比 连续函数更广泛的一类函数.而且可测函数类对极限运算是封闭的,这将使我们在讨论积 分的时候更加便利 本章§31和§32讨论可测函数的定义,可测函数的基本性质和收敛性.§3.3在欧氏空间 Rn上讨论可测函数与连续函数的联系 §3.1可测函数的基本性质 教学目的定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集为 用测度论的方法研究这个函数,特别是在定义积分时,必须要求这些集是可 测的.由此产生了可测函数的概念本节将给出可测函数的定义并讨论其基 本性质 本节要点可测函数有不同的等价定义.可测函数是一类很广泛的函数 并且有很好的运算封闭性。可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼 近,这是可测函数的构造性特征,在研究可测函数,特别是在积分理论中有 重要应用 本节和以后若无特别申明“函数”一词均指取值于R的广义实值函数,取值于R的函 数仍称为实值函数在§21我们已给出可测空间的定义.这里回顾一下.称二元组合 (X,)为一可测空间,若X是一个非空集,分是X上的a-代数.称中的集为-可 测集或者简称为可测集 可测函数的定义与等价特征 定义1设(X,丌)为一可测空间,E是一个可测集.f:E→R为定义在E上的函 数.若对任意实数a,总有 {x∈E:f(x)<a}∈界,67 第三章 可测函数 在给定了一个测度空间以后, 由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各种 各样的集. 为用测度论的方法研究这个函数,我们自然要求这些集是可测的. 由此产生了可 测函数的概念.在定义积分时候, 对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可测的.我 们将看到可测函数是一类很广泛的函数. 特别地, 欧氏空间 n R 上的 Lebesgue 可测函数是比 连续函数更广泛的一类函数. 而且可测函数类对极限运算是封闭的, 这将使我们在讨论积 分的时候更加便利. 本章§3.1 和§3.2 讨论可测函数的定义, 可测函数的基本性质和收敛性. §3.3 在欧氏空间 n R 上讨论可测函数与连续函数的联系. §3.1 可测函数的基本性质 教学目的 定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集.为 用测度论的方法研究这个函数, 特别是在定义积分时, 必须要求这些集是可 测的. 由此产生了可测函数的概念.本节将给出可测函数的定义并讨论其基 本性质. 本节要点 可测函数有不同的等价定义. 可测函数是一类很广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼 近, 这是可测函数的构造性特征, 在研究可测函数, 特别是在积分理论中有 重要应用. 本节和以后若无特别申明,“函数”一词均指取值于 ∗ R 的广义实值函数, 取值于 1 R 的函 数仍称为实值函数. 在§2.1 我们已给出可测空间的定义. 这里回顾一下. 称二元组合 (X, F ) 为一可测空间, 若 X 是一个非空集, F 是 X 上的σ − 代数. 称F 中的集为F -可 测集或者简称为可测集. 可测函数的定义与等价特征 定义 1 设(X , F ) 为一可测空间, E 是一个可测集. f : E → ∗ R 为定义在 E 上的函 数. 若对任意实数 a, 总有 {x ∈ E : f (x) < a}∈F