(图1-1是X=R时的示意图)则称∫为E上的可测函数(简称为E上的可测函数)特 别地,X上的可测函数也称为可测空间(X,分)上的可测函数.(x,)上的可测函数和非 负可测函数的全体分别记为M(X,)和M(x,丌) R f(x) E {x:f(x)<a}=E1∪E2 注1设(x,)为一可测空间,E是一个可测集.容易知道 ={A:A∈E,A∈界}是一个σ-代数因此(E,TE)是一个可测空间.显然f是E上 的可测函数当且仅当∫是可测空间(E,E)上的可测函数因此在讨论一般可测函数的性 质时,不妨只讨论定义在全空间上的可测函数 特别地,若可测空间(X,)取为是R”上的 Lebesgue可测空间(R",M(R"),E是 R中的 Lebesgue可测集,则E上的可测函数称为 Lebesgue可测函数.类似地,若可测空间 (X,分)取为是R”上的 Borel可空间(R",(R"),E是R”中的 Borel可测集,则E上的 可测函数称为 Borel可测函数.按定义,∫是E上的 Lebesgue可测函数(或者 Borel可测函 数),若对任意实数a, {x∈E:f(x)<a} 是 Lebesgue可测集(相应地, Borel可测集).以后 Lebesgue可测函数可以简称为L可测函数 显然每个 Borel可测函数是 Lebesgue可测函数 一般地,设和是X上的两个a-代数并且C丌,则由可测函数的定义知 道,每个可测函数都是2可测函数 例1设(X,)是一可测空间,f(x)≡c是X上的常数函数.则∫是(X,)上的可测 函数.这是因为对任意实数a68 (图 1—1 是 1 X = R 时的示意图) 则称 f 为 E 上的F -可测函数(简称为 E 上的可测函数). 特 别地, X 上的可测函数也称为可测空间(X , F ) 上的可测函数. (X , F ) 上的可测函数和非 负可测函数的全体分别记为 M (X , F ) 和 M (X , F ). + 图 1—1 注 1 设 (X , F ) 为一可测空间 , E 是一个可测集 . 容易知道 F = {A : A ⊂ E, A∈F } E 是一个σ − 代数. 因此( , ) E FE 是一个可测空间. 显然 f 是 E 上 的可测函数当且仅当 f 是可测空间 ( , ) E FE 上的可测函数. 因此在讨论一般可测函数的性 质时, 不妨只讨论定义在全空间上的可测函数. 特别地, 若可测空间(X, F ) 取为是 n R 上的 Lebesgue 可测空间( , ( )) n n R M R , E 是 n R 中的 Lebesgue 可测集, 则 E 上的可测函数称为 Lebesgue 可测函数. 类似地, 若可测空间 (X , F ) 取为是 n R 上的 Borel 可空间( , ( )) n n R B R , E 是 n R 中的 Borel 可测集, 则 E 上的 可测函数称为 Borel 可测函数. 按定义, f 是 E 上的 Lebesgue 可测函数(或者 Borel 可测函 数), 若对任意实数 a, {x ∈ E : f (x) < a} 是 Lebesgue 可测集(相应地, Borel 可测集). 以后 Lebesgue 可测函数可以简称为 L 可测函数. 显然每个 Borel 可测函数是 Lebesgue 可测函数. 一般地, 设F1 和F2 是 X 上的两个σ − 代数 并且F1 ⊂ F2 , 则由可测函数的定义知 道, 每个F1 -可测函数都是F2 -可测函数. 例 1 设(X, F ) 是一可测空间, f (x) ≡ c 是 X 上的常数函数. 则 f 是(X, F ) 上的可测 函数. 这是因为对任意实数 a, X 1 R f (x) a E1 1 2 {x : f (x) < a} = E ∪ E E2