第一章概率论基础 内容提要 口悖论 口随机变量 口样本空间 口分布函数 口代数 口特征函数 口可测空间 口独立性 口概率空间 口条件数学期望 口测度完备化 1.1为什么需要概率空间 我们需要概率空间的目的有三个：(1)避免语言描述的模糊性(2)模糊性带来的概 率悖论，(3)严格的定义随机变量和随机过程。 1.l.1理发师悖论(Barber paradox) 小城里的理发师要为所有不给自己刮脸的人刮脸。那么理发师是否应该给自己刮脸 呢？显然，如果理发师不给自己刮脸，那么根据他的话，他应该自己刮脸，所以矛盾了。 如果理发师给自己刮脸，根据他的描述，他不应该给自己刮脸，这样也矛盾了。 这个例子告诉我们：语言描述模糊性带来了悖论。 1.1.2贝特朗悖论(Bertrand's Paradox) 问题描述：在一个半径为1的圆内画一个内接等边三角形。如果在圆的周长上随机 选择两点，并连接这两个点。求这条弦比内接等边三角形边长要长的概率？ 。第一种计算方式：如下图所示，固定内接等边三角形的一个顶点作为弦的一个点。 因此随机选取另外一个点，作为这条弦的另外一个点。显而易见，当这条弦在60 度-90度这个范围内比三角形的边长要长。如下图的红色线段。因此，概率为13。 。第二种计算方式：我们选择和内接等边三角形一条边平行的弦。因此，我们可以过 圆心作三角形一条边的垂线。与三条线边平行线中有一半比三条线的边长要长。因 此，概率为1/2。 。第三种计算方式：我们再作一个等边三角形的内切圆。只有当弦穿过了内切圆，弦 才比三角形的边长要长。因此，概率为 小圆面积1 大圆面积=4第 一 章 概率论基础 内容提要 h 悖论 h 样本空间 h σ 代数 h 可测空间 h 概率空间 h 测度完备化 h 随机变量 h 分布函数 h 特征函数 h 独立性 h 条件数学期望 1.1 为什么需要概率空间 我们需要概率空间的目的有三个：（1）避免语言描述的模糊性（2）模糊性带来的概 率悖论，（3）严格的定义随机变量和随机过程。 1.1.1 理发师悖论 (Barber paradox) 小城里的理发师要为所有不给自己刮脸的人刮脸。那么理发师是否应该给自己刮脸 呢？显然，如果理发师不给自己刮脸，那么根据他的话，他应该自己刮脸，所以矛盾了。 如果理发师给自己刮脸，根据他的描述，他不应该给自己刮脸，这样也矛盾了。 这个例子告诉我们：语言描述模糊性带来了悖论。 1.1.2 贝特朗悖论 (Bertrand’s Paradox) 问题描述：在一个半径为 1 的圆内画一个内接等边三角形。如果在圆的周长上随机 选择两点，并连接这两个点。求这条弦比内接等边三角形边长要长的概率？ 第一种计算方式：如下图所示，固定内接等边三角形的一个顶点作为弦的一个点。 因此随机选取另外一个点，作为这条弦的另外一个点。显而易见，当这条弦在 60 度-90 度这个范围内比三角形的边长要长。如下图的红色线段。因此，概率为 1/3。 第二种计算方式：我们选择和内接等边三角形一条边平行的弦。因此，我们可以过 圆心作三角形一条边的垂线。与三条线边平行线中有一半比三条线的边长要长。因 此，概率为 1/2。 第三种计算方式：我们再作一个等边三角形的内切圆。只有当弦穿过了内切圆，弦 才比三角形的边长要长。因此，概率为 小圆面积 大圆面积 = 1 4