对外经济贸易大学：《应用随机过程 Applied Stochastic Processes》课程教学资源（学习资料）教学杂记帮助理解

AND THIS IS HOW IT I5 Idon't buy much anymore nent stores doors brush into place And the ore filling hunger 随机过程杂记 作者：邓军 组织：对外经济贸易大学 时间：May5,2020 版本：0.1

随机过程杂记 作者：邓军 组织：对外经济贸易大学 时间：May 5, 2020 版本：0.1

目录 0-0- 1概率论基础 1 11为什么需要概率空间·····.· 1 1.l.l理发师悖论Barber paradox)· 1 l.l.2贝特朗悖论Bertrand's Paradox) 1 1.1.3非悖论，生日问题 3 12概率空间·········· 3 1.2.1可测空间.... 4 1.2.2概率空间········ 8 12.3条件概率··········。 10 1.2.4全概率公式和Bayes公式 11 13随机变量和分布函数········· 13 1.3.1数字特征 17 1.3.2矩函数(Moment Generating Function) 17 l.3.3特征函数(Characteristic function) 18 1.3.4反演公式及唯一性定理 21 1.3.5 多维随机变量的特征函数 24 1.4独立性与条件期望 25 1.4.1独立性 25 1.4.2条件期望.. 26 1.4.3条件分布 。。。。 27 1.4.4一般条件期望* 31 2随机过程的基本概念与类型 34 2.1随机过程的背景 34 22基本概念..·..·... 34 2.3有限维分布与Kolmogorov定理 36 2.3.1随机过程的数字特征 37 2.4随机过程的基本类型 40 2.4.1平稳过程.·.· 40 2.4.2独立增量过程 41 3 Brown运动（维纳过程） 44 3.1基本概念与性质··. 44 32维纳过程的分布····· 48

目录 1 概率论基础 1 1.1 为什么需要概率空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 理发师悖论 (Barber paradox) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 贝特朗悖论 (Bertrand’s Paradox) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.3 非悖论, 生日问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 概率空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 可测空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 概率空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 条件概率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 全概率公式和 Bayes 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 随机变量和分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 数字特征 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 矩函数 (Moment Generating Function) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 特征函数 (Characteristic function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 反演公式及唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.5 多维随机变量的特征函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 独立性与条件期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 独立性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2 条件期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.3 条件分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.4 一般条件期望 ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 随机过程的基本概念与类型 34 2.1 随机过程的背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 有限维分布与 Kolmogorov 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 随机过程的数字特征 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 随机过程的基本类型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.1 平稳过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.2 独立增量过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Brown 运动（维纳过程） 44 3.1 基本概念与性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 维纳过程的分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

目录 -iⅲ- 3.3维纳过程的数字特征 49 3.3.1二次变差 51 3.4 Brown运动的鞅性质......·.··· 55 3.5 Brown运动的最大值变量及反正弦律 56 3.6 Brown运动的几种变化 58 3.6.1 Brown桥.··. 58 3.6.2几何Brown运动.· 59 4 Poisson过程 61 41齐次泊松过程········· 61 4.1.1 Poisson过程数学模型... 。。 61 4.1.2齐次泊松过程的数字特征 66 4.1.3时间间隔与等待时间的分布 68 4.1.4到达时间的条件分布 70 4.1.5更新计数过程 70 4.2复合泊松过程..... 73 4.2.1复合Poisson过程······ 73 4.3非齐次泊松过程（了解内容，不考察） 75 5鞅(Martingale)过程 77 5.1基本概念·..···· 77 5.2鞅的停时定理及其应用 83 5.2.1鞅的停时定理... 83 5.3连续鞅.··。········ 87

目录 – iii – 3.3 维纳过程的数字特征 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.1 二次变差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 Brown 运动的鞅性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5 Brown 运动的最大值变量及反正弦律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.6 Brown 运动的几种变化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.1 Brown 桥 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.2 几何 Brown 运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4 Poisson 过程 61 4.1 齐次泊松过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.1 Poisson 过程数学模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.2 齐次泊松过程的数字特征 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.1.3 时间间隔与等待时间的分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.1.4 到达时间的条件分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.5 更新计数过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2 复合泊松过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2.1 复合 Poisson 过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3 非齐次泊松过程 (了解内容，不考察) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5 鞅 (Martingale) 过程 77 5.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 鞅的停时定理及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2.1 鞅的停时定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3 连续鞅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

第一章概率论基础 内容提要 口悖论 口随机变量 口样本空间 口分布函数 口代数 口特征函数 口可测空间 口独立性 口概率空间 口条件数学期望 口测度完备化 1.1为什么需要概率空间 我们需要概率空间的目的有三个：(1)避免语言描述的模糊性(2)模糊性带来的概 率悖论，(3)严格的定义随机变量和随机过程。 1.l.1理发师悖论(Barber paradox) 小城里的理发师要为所有不给自己刮脸的人刮脸。那么理发师是否应该给自己刮脸 呢？显然，如果理发师不给自己刮脸，那么根据他的话，他应该自己刮脸，所以矛盾了。 如果理发师给自己刮脸，根据他的描述，他不应该给自己刮脸，这样也矛盾了。 这个例子告诉我们：语言描述模糊性带来了悖论。 1.1.2贝特朗悖论(Bertrand's Paradox) 问题描述：在一个半径为1的圆内画一个内接等边三角形。如果在圆的周长上随机 选择两点，并连接这两个点。求这条弦比内接等边三角形边长要长的概率？ 。第一种计算方式：如下图所示，固定内接等边三角形的一个顶点作为弦的一个点。 因此随机选取另外一个点，作为这条弦的另外一个点。显而易见，当这条弦在60 度-90度这个范围内比三角形的边长要长。如下图的红色线段。因此，概率为13。 。第二种计算方式：我们选择和内接等边三角形一条边平行的弦。因此，我们可以过 圆心作三角形一条边的垂线。与三条线边平行线中有一半比三条线的边长要长。因 此，概率为1/2。 。第三种计算方式：我们再作一个等边三角形的内切圆。只有当弦穿过了内切圆，弦 才比三角形的边长要长。因此，概率为 小圆面积1 大圆面积=4

第 一 章 概率论基础 内容提要 h 悖论 h 样本空间 h σ 代数 h 可测空间 h 概率空间 h 测度完备化 h 随机变量 h 分布函数 h 特征函数 h 独立性 h 条件数学期望 1.1 为什么需要概率空间 我们需要概率空间的目的有三个：（1）避免语言描述的模糊性（2）模糊性带来的概 率悖论，（3）严格的定义随机变量和随机过程。 1.1.1 理发师悖论 (Barber paradox) 小城里的理发师要为所有不给自己刮脸的人刮脸。那么理发师是否应该给自己刮脸 呢？显然，如果理发师不给自己刮脸，那么根据他的话，他应该自己刮脸，所以矛盾了。 如果理发师给自己刮脸，根据他的描述，他不应该给自己刮脸，这样也矛盾了。 这个例子告诉我们：语言描述模糊性带来了悖论。 1.1.2 贝特朗悖论 (Bertrand’s Paradox) 问题描述：在一个半径为 1 的圆内画一个内接等边三角形。如果在圆的周长上随机 选择两点，并连接这两个点。求这条弦比内接等边三角形边长要长的概率？ 第一种计算方式：如下图所示，固定内接等边三角形的一个顶点作为弦的一个点。 因此随机选取另外一个点，作为这条弦的另外一个点。显而易见，当这条弦在 60 度-90 度这个范围内比三角形的边长要长。如下图的红色线段。因此，概率为 1/3。 第二种计算方式：我们选择和内接等边三角形一条边平行的弦。因此，我们可以过 圆心作三角形一条边的垂线。与三条线边平行线中有一半比三条线的边长要长。因 此，概率为 1/2。 第三种计算方式：我们再作一个等边三角形的内切圆。只有当弦穿过了内切圆，弦 才比三角形的边长要长。因此，概率为 小圆面积 大圆面积 = 1 4

1.1为什么需要概率空间 -2- 图1.1：贝特朗悖论第一种计算方式 图1.2：贝特朗悖论第二种计算方式 图1.3：贝特朗悖论第三种计算方式

1.1 为什么需要概率空间 – 2 – 图 1.1: 贝特朗悖论第一种计算方式 图 1.2: 贝特朗悖论第二种计算方式 图 1.3: 贝特朗悖论第三种计算方式

1.2概率空间 -3- 这个例子告诉我们：三种计算的概率都是正确的，但是得到的结论呢却不一致。这 是因为语言模糊性带来随机选取的不一致，从而带来概率计算的不确定性。 1.1.3非悖论，生日问题 生日问题是指，如果在一个房间要多少人，则两个人的生日相同的概率要大于50？ 答案是23人。这就意味着在一个典型的标准班级(30人)中，存在两人生日相同的可 能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99。这个问题有时也被称做生日悖 论，但从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，它被称作悖论只是因为这 个数学事实与一般直觉相抵触而已。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应 该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已 被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。 1 c0.7 50.6 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 102030405060708090100 Number of people 图1.4：生日问题 理解11.悖论 从这些例子，我们看到为了严格的说明什么是随机的，为了避免语言描述带来的 模糊性。我们需要严格的定义所讨论的随机所定义的空间！ 1.2概率空间 当我们做一系列的随机试验，能够得到不同的结果，为了研究这些可能的结果。我 们把随机试验所有的可能性放在一起，成为样本空间。例如，我们抛掷一个六面的骰子， 可能会得到{1,2，…，6}中的任何一个数字。因此，我们用2={1,2，·，6}表示抛骰 子这个实验的样本空间。 定义1.1.样本空间2 我们感兴趣的实验所有结果放在一起构成的集合，称为样本空间2。其中的元素称 为样本空间D的点。 例1.1如果我们想研究抛一次硬币的结果，我们可以用如下的2来表示样本空间。 2={正面，反面} (1.1)

1.2 概率空间 – 3 – 这个例子告诉我们：三种计算的概率都是正确的，但是得到的结论呢却不一致。这 是因为语言模糊性带来随机选取的不一致，从而带来概率计算的不确定性。 1.1.3 非悖论, 生日问题 生日问题是指，如果在一个房间要多少人，则两个人的生日相同的概率要大于 50%? 答案是 23 人。这就意味着在一个典型的标准班级（30 人）中，存在两人生日相同的可 能性更高。对于 60 或者更多的人，这种概率要大于 99%。这个问题有时也被称做生日悖 论，但从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，它被称作悖论只是因为这 个数学事实与一般直觉相抵触而已。大多数人会认为，23 人中有 2 人生日相同的概率应 该远远小于 50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已 被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。 图 1.4: 生日问题 理解 1.1. 悖论 ♣ 从这些例子，我们看到为了严格的说明什么是随机的，为了避免语言描述带来的 模糊性。我们需要严格的定义所讨论的随机所定义的空间！ 1.2 概率空间 当我们做一系列的随机试验，能够得到不同的结果，为了研究这些可能的结果。我 们把随机试验所有的可能性放在一起，成为样本空间。例如，我们抛掷一个六面的骰子， 可能会得到 {1, 2, · · · , 6} 中的任何一个数字。因此，我们用 Ω = {1, 2, · · · , 6} 表示抛骰 子这个实验的样本空间。 定义 1.1. 样本空间 Ω ♣ 我们感兴趣的实验所有结果放在一起构成的集合，称为样本空间 Ω。其中的元素称 为样本空间 Ω 的点。 例 1.1 如果我们想研究抛一次硬币的结果，我们可以用如下的 Ω 来表示样本空间。 Ω = {正面, 反面}. (1.1)

1.2概率空间 -4 图1.5：抛骰子的样本空间 例12如果我们想研究抛两次硬币的结果，我们可以用如下的2来表示样本空间。 ={正面，正面}，{反面，正面}，{正面，反面}，{反面，反面}} (1.2) 思考抛无穷次硬币的结果的样本空间？ 当我们有了样本空间2，这时我们可以把研究对象限定在该指定的样本空间上。这 样就避免了随机选取带来的模糊性。例如在贝特朗悖论中，如果我们事先制定了如何去 画弦，这样就相当于固定了样本空间2，就能避免前面得到的三种不同的概率。 在样本空间2基础上，如果我们还感兴趣某几个事情一起发生或者都不发生的概 率，这时我们就希望能够把样本空间2一些结果当作一个整体放在一起来考虑。这就有 了子集、事件、σ代数的引入。例如我们想研究抛两次硬币第一次出现是正面的概率。在 例1.2的样本空间2上，我们可以选取A={正面，正面}，{正面，反面}作为一个整体事 件。下一节我们给出这些概念的详细定义。 1.2.1可测空间 定义12.事件（子集） 样本空间2中的点构成的集合，称为2的子集或者事件。 例13例如2={1，w2,·,w10}。我们称w,i=1,2,…,10为样本空间2中的点或者 元素。类似A={w1,3},B={w4,w7,wg}这样由其元素构成的子集就称为事件。注意 以后我们在使用符号：时，它可以表示任意的含义，例如硬币的正反面，骰子的点数， 一个班级的同学。它只是一个抽象的符号。 有了事件的概念，接下来我们想研究一系列事件发生的概率或者两个事件交集发生 的概率，这时我们就需要σ代数的概念。例如在上面例子1.3中，如果我们想知道A,B同 时发生的概率，这时我们就需要研究A∩B;如果想研究A,B有一个发生的概率，这时

1.2 概率空间 – 4 – 图 1.5: 抛骰子的样本空间 例 1.2 如果我们想研究抛两次硬币的结果，我们可以用如下的 Ω 来表示样本空间。 Ω = {{正面, 正面}, {反面, 正面}, {正面, 反面}, {反面, 反面}}. (1.2) 思考抛无穷次硬币的结果的样本空间？ 当我们有了样本空间 Ω，这时我们可以把研究对象限定在该指定的样本空间上。这 样就避免了随机选取带来的模糊性。例如在贝特朗悖论中，如果我们事先制定了如何去 画弦，这样就相当于固定了样本空间 Ω，就能避免前面得到的三种不同的概率。 在样本空间 Ω 基础上，如果我们还感兴趣某几个事情一起发生或者都不发生的概 率，这时我们就希望能够把样本空间 Ω 一些结果当作一个整体放在一起来考虑。这就有 了子集、事件、σ 代数的引入。例如我们想研究抛两次硬币第一次出现是正面的概率。在 例1.2的样本空间 Ω 上，我们可以选取 A = {{正面, 正面}, {正面, 反面}} 作为一个整体事 件。下一节我们给出这些概念的详细定义。 1.2.1 可测空间 定义 1.2. 事件 (子集) ♣ 样本空间 Ω 中的点构成的集合，称为 Ω 的子集或者事件。 例 1.3 例如 Ω = {ω1, ω2, · · · , ω10}。我们称 ωi , i = 1, 2, · · · , 10 为样本空间 Ω 中的点或者 元素。类似 A = {ω1, ω3}, B = {ω4, ω7, ω9} 这样由其元素构成的子集就称为事件。注意 以后我们在使用符号 ωi 时，它可以表示任意的含义，例如硬币的正反面，骰子的点数， 一个班级的同学。它只是一个抽象的符号。 有了事件的概念，接下来我们想研究一系列事件发生的概率或者两个事件交集发生 的概率，这时我们就需要 σ 代数的概念。例如在上面例子1.3中，如果我们想知道 A, B 同 时发生的概率，这时我们就需要研究 A ∩ B; 如果想研究 A, B 有一个发生的概率，这时

1.2概率空间 我们就需要研究AUB。 定义13.o代数 2是一个样本空间，下是一些由2子集构成的集合。如果下满足如下三个条件 1.2∈F: 2.如果A∈F,则我们有A的补集Ac=2八A∈F: 3.如果一系列集合An∈F,n=1,2,…,o,则有U%1An∈F。 我们则称下为一个σ代数。并称(2，F)为可测空间。(2，F)中的元素称为可测集 或者可测事件。 我们用0表示空集。A∈F表示A在F中。对于两个集合A,B,我们用A八B表示 两个的差，即： A\B={ww∈A,w生B}. 理解12.o代数 定义σ代数是为了去研究2中单个事件或者事件组合所发生的概率。因此，我们 需要在下包含一系列的事件。但并不是所有的事件放在一起都对我们研究一般问 题有效。直观来说， 。F必须包含事件的全体，这样我们才能讨论必然会发生的事情。因此有了 2eF。 。如果一个事情的正面我们感兴趣，一般我们也对其反面（不发生）感兴趣。因 此有了如果A∈F,我们要求A的补集A=2A∈F; 。我们希望如果有无穷多个事情发生的情况或者极限下会怎么样。因此有了如 果一系列事件(An)n≥1∈F,我们希望U心1An∈F。 。只要一个集合在下中，我们就称为它为关于下的可测集合。所以一个集合 是否可测，依赖于我们定义的σ代数F。 。我们可以把σ代数下想象成我们所有知识的集合体。只有在下中的事件，我 们才能够认识！ 品 例1.4我们想研究抛一次六面骰子出现2或者3。这时我们可以把这个问题用可测空间 来严格描述出来。 2={1,2,3,4,5,6},F={0,2,{2,3,{1,4,5,6}} 因为是研究"2或者3”，因此我们把2,3放在一起作为一个整体。因此下包含了事件 {2,3}。为了让下成为o代数我们还包含了其他的事件。显然在上面的下中，{1}不在 里面，虽然{1}是{1,4,5,6}的一个子集。因此，我们说{1}不是上面下的可测集，我 们也无法认识她。同样{2}也不是下的可测集。 例1.5如果想研究抛一次六面骰子出现分别出现2和出现3的概率。这时我们可以把这 个问题用可测空间来严格描述出来。 2={1,2,3,4,5,6},F1={0,2,{2,{3},{2,3},{1,2,4,5,6},{1,3,4,5,6,{1,4,5,6}}

1.2 概率空间 – 5 – 我们就需要研究 A ∪ B。 定义 1.3. σ 代数 ♣ Ω 是一个样本空间，F 是一些由 Ω 子集构成的集合。如果 F 满足如下三个条件， 1. Ω ∈ F; 2. 如果 A ∈ F, 则我们有 A 的补集 Ac = Ω\A ∈ F; 3. 如果一系列集合 An ∈ F, n = 1, 2, · · · , ∞, 则有 ∪∞ n=1 An ∈ F。 我们则称 F 为一个 σ 代数。并称 (Ω, F) 为可测空间。(Ω, F) 中的元素称为可测集 或者可测事件。 我们用 ∅ 表示空集。A ∈ F 表示 A 在 F 中。对于两个集合 A, B, 我们用 A\B 表示 两个的差，即: A\B = {ω|ω ∈ A, ω /∈ B}. 理解 1.2. σ 代数 ♣ 定义 σ 代数是为了去研究 Ω 中单个事件或者事件组合所发生的概率。因此，我们 需要在 F 包含一系列的事件。但并不是所有的事件放在一起都对我们研究一般问 题有效。直观来说， F 必须包含事件的全体，这样我们才能讨论必然会发生的事情。因此有了 Ω ∈ F。 如果一个事情的正面我们感兴趣，一般我们也对其反面（不发生）感兴趣。因 此有了如果 A ∈ F, 我们要求 A 的补集 Ac = Ω\A ∈ F; 我们希望如果有无穷多个事情发生的情况或者极限下会怎么样。因此有了如 果一系列事件 (An)n≥1 ∈ F, 我们希望 ∪∞ n=1 An ∈ F。 只要一个集合在 F 中，我们就称为它为关于 F 的可测集合。所以一个集合 是否可测，依赖于我们定义的 σ 代数 F。 我们可以把 σ 代数 F 想象成我们所有知识的集合体。只有在 F 中的事件，我 们才能够认识！ 例 1.4 我们想研究抛一次六面骰子出现 2 或者 3。这时我们可以把这个问题用可测空间 来严格描述出来。 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, F = {∅, Ω, {2, 3}, {1, 4, 5, 6}}. 因为是研究"2 或者 3"，因此我们把 2，3 放在一起作为一个整体。因此 F 包含了事件 {2, 3}。为了让 F 成为 σ 代数我们还包含了其他的事件。显然在上面的 F 中，{1} 不在 里面，虽然 {1} 是 {1, 4, 5, 6} 的一个子集。因此，我们说 {1} 不是上面 F 的可测集，我 们也无法认识她。同样 {2} 也不是 F 的可测集。 例 1.5 如果想研究抛一次六面骰子出现分别出现 2 和出现 3 的概率。这时我们可以把这 个问题用可测空间来严格描述出来。 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, F1 = {∅, Ω, {2}, {3}, {2, 3}, {1, 2, 4, 5, 6}, {1, 3, 4, 5, 6}, {1, 4, 5, 6}}

1.2概率空间 -6- 因为是研究"分别出现2和出现3"，因此我们把2和3需要单独分离开来研究，而不能 放在一起作为一个整体。为了让F成为σ代数我们还包含了其他的事件。在σ代数万 中，{2}是万1的可测集，但不是例子1.4中F的可测集。 上面例子告诉我们，可测集依赖于我们定义的σ代数！ 例1.6一些-代数的例子。 。最小的o-代数：平凡(trivial)o-代数{0,2. 。最大的o-代数：全体子集22：={A:AC2}. 。分割形成的o-代数：令A1,A2,·,An为2的不相交的子集，并有U=1An=2 则由A1,A2,·,An进行有限并、补运算产生一个σ-代数，其中包含2n个集合。 。F={A,A9,0,2} 定义1.4.-代数的生成 对于2的一个子集族S,如果存在2上的0-代数F使得 。SCF 。对于任意包含S的2上的σ-代数F,都有FCF', 则称下是由子集系S生成的（最小的）σ-代数，记作F:=σ(S) 命题1.1 下面命题成立： (1)对①的任何子集系S,都存在F:=σ(S): (2)如果S本身是2上的一个o-代数，则σ(S)=S. 例1.7 。2={w1,w2,…,w4},S={1},{2,w3}。则：由S生成的-代数为 a(S)={0,2,{w1},{w2,w3,w4}, {w,w2,w3},{w4} {w2,w3},{w1,w4} 。如果S={w1},{w2}。则：由S生成的o-代数为： σ(S)= {0,2,{w1},{w2,w3,w4}, {w1,w2},{w3,w4} {w2},{w1,w3,w4} 定义1.5.集合上下极限 如果{A,n=1,2,·,o}为集合序列。我们定义 lim sup An (1.3) n→+cd 照4-0(04) 从上面定义可以看到如果定义Bn=UnAk,则Bn为一递减集合序列。因此

1.2 概率空间 – 6 – 因为是研究" 分别出现 2 和出现 3"，因此我们把 2 和 3 需要单独分离开来研究，而不能 放在一起作为一个整体。为了让 F 成为 σ 代数我们还包含了其他的事件。在 σ 代数 F1 中，{2} 是 F1 的可测集，但不是例子1.4中 F 的可测集。 上面例子告诉我们，可测集依赖于我们定义的 σ 代数！！ 例 1.6 一些 σ-代数的例子。 最小的 σ-代数：平凡（trivial）σ-代数 {∅, Ω}. 最大的 σ-代数：全体子集 2 Ω := {A : A ⊂ Ω}. 分割形成的 σ-代数：令 A1, A2, · · · , An 为 Ω 的不相交的子集，并有 ∪n i=1 An = Ω. 则由 A1, A2, · · · , An 进行有限并、补运算产生一个 σ-代数，其中包含 2 n 个集合。 F = {A, Ac , ∅, Ω}. 定义 1.4. σ-代数的生成 ♣ 对于 Ω 的一个子集族 S, 如果存在 Ω 上的 σ-代数 F 使得 S ⊂ F; 对于任意包含 S 的 Ω 上的 σ-代数 F ′ , 都有 F ⊂ F′ , 则称 F 是由子集系 S 生成的（最小的）σ-代数，记作 F := σ(S). 命题 1.1 ♠ 下面命题成立： (1) 对 Ω 的任何子集系 S, 都存在 F := σ(S). (2) 如果 S 本身是 Ω 上的一个 σ-代数，则 σ(S) = S. 例 1.7 Ω = {ω1, ω2, · · · , ω4}, S = {{ω1}, {ω2, ω3}}。则：由 S 生成的 σ-代数为： σ(S) = {∅, Ω, {ω1}, {ω2, ω3, ω4}, {ω1, ω2, ω3}, {ω4}, {ω2, ω3}, {ω1, ω4}} 如果 S = {{ω1}, {ω2}}。则：由 S 生成的 σ-代数为： σ(S) = {∅, Ω, {ω1}, {ω2, ω3, ω4}, {ω1, ω2}, {ω3, ω4}, {ω2}, {ω1, ω3, ω4}} 定义 1.5. 集合上下极限 如果 {An, n = 1, 2, · · · , ∞} 为集合序列。我们定义 lim sup n→+∞ An = + ∩∞ n=1 ( ∪∞ k=n Ak ) , lim inf n→+∞ An = + ∪∞ n=1 ( ∩∞ k=n Ak ) . (1.3) 从上面定义可以看到如果定义 Bn = ∪∞ k=n Ak，则 Bn 为一递减集合序列。因此

1.2概率空间 Bn的极限可以定义为无穷的交集，并且 +oo limsup An=lim Bn=∩Bn n→+ n-→+oo n=1 。如果定义Cn=∩nAk,则Cn为一递增集合序列。因此，Cn的极限可以定义 为无穷的并集，并且 十●0 =1 理解13.集合上下极限 类似于数列，数列的极限不一定存在，但是我们可以定义数列的上下极限。同理， 对于集合序列一样，其极限也不一定存在。 例1.8如果集合序列An如下 4,=0,1+ 显然，An是一个递减集合序列。可以得到 limsup An n(心a1+)=ho1+-o. lim inf An n-t0o U(a1+)-U0=a 例1.9如果集合序列An如下 4=0,2+h41=01+h 可以得到 B2n=Ak A2n U A2n+I UA2n+2 U... k=2n =(A2nUA2m+2U…)U(A2n+1UA2n+3U…) =0,2+U0,1+月=0,2+ B2n+1=Ak A2n+1 U A2n+2 U... k=2m+1 =(A2n+1UA2n+3U…U(A2n+2UA2n+4U…） =0,1+hU0,2+n+=o,2+n+ lim sup An ia=()jn(n (a2+)n(m2++)-a

1.2 概率空间 – 7 – ♣ Bn 的极限可以定义为无穷的交集，并且 lim sup n→+∞ An = lim n→+∞ Bn = + ∩∞ n=1 Bn 。如果定义 Cn = ∩∞ k=n Ak，则 Cn 为一递增集合序列。因此，Cn 的极限可以定义 为无穷的并集，并且 lim inf n→+∞ An = lim n→+∞ Cn = + ∪∞ n=1 Cn. 理解 1.3. 集合上下极限 ♣ 类似于数列，数列的极限不一定存在，但是我们可以定义数列的上下极限。同理， 对于集合序列一样，其极限也不一定存在。 例 1.8 如果集合序列 An 如下 An = [0, 1 + 1 n ]. 显然，An 是一个递减集合序列。可以得到 lim sup n→+∞ An = + ∩∞ n=1 ( ∪∞ k=n [0, 1 + 1 k ] ) = + ∩∞ n=1 [0, 1 + 1 n ] = [0, 1], lim inf n→+∞ An = + ∪∞ n=1 ( ∩∞ k=n [0, 1 + 1 k ] ) = + ∪∞ n=1 [0, 1] = [0, 1]. 例 1.9 如果集合序列 An 如下 A2n = [0, 2 + 1 n ], A2n+1 = [0, 1 + 1 n ]. 可以得到 B2n = ∪∞ k=2n Ak = A2n ∪ A2n+1 ∪ A2n+2 ∪ · · · = (A2n ∪ A2n+2 ∪ · · ·) ∪ (A2n+1 ∪ A2n+3 ∪ · · ·) = [0, 2 + 1 n ] ∪ [0, 1 + 1 n ] = [0, 2 + 1 n ]. B2n+1 = ∪∞ k=2n+1 Ak = A2n+1 ∪ A2n+2 ∪ · · · = (A2n+1 ∪ A2n+3 ∪ · · ·) ∪ (A2n+2 ∪ A2n+4 ∪ · · ·) = [0, 1 + 1 n ] ∪ [0, 2 + 1 n + 1 ] = [0, 2 + 1 n + 1 ], lim sup n→+∞ An = + ∩∞ n=1 Bn = (+ ∩∞ n=1 B2n )∩ (+ ∩∞ n=0 B2n+1) = (+ ∩∞ n=1 [0, 2 + 1 n ] )∩ (+ ∩∞ n=0 [0, 2 + 1 n + 1 ] ) = [0, 2]