微分方程与金融中的动态方法 课程名称：CUR2I4经济与金融中的动态方法Dynamic method in Economics and Finance 课程性质：方向选修课 学分课时：3学时48课时 主讲教师：杜冬云副教授 所属院系：金融学院金融工程系 电话：64495048 E-mail:dudongyun00@mails.tsinghua.edu.cn 教学对象：金融工程专业2年级以上本科生 考核方式：考勤和课堂表现(10%)针对考勒和课堂讨论参与情况： 平时作业(25%)针对各章内容布置的书面作业，至少两周一次作业： 期末考试(65%) 其中平时成绩包括考勤10%，平时作业占25%，期末考试占65% 学术诚信：本课程对于学生的学术诚信的要求遵从《对外经济贸易大学学生违纪处分条例》、《对外经济贸易大学学生学习违纪处分 实施细侧》、《对外经济贸易大学考场纪律》的规定。 教学方式：课堂讲授占比80%，课堂讨论及练习占20%，采取导入式教学、讨论教学相结合的教学方式。课堂教学使用PPt和课堂板 书相结合。 出勤要求：遵从《对外经济贸易大学本科生课堂学习规范》，要求学生关闭一切电子设备：不能无故缺席上课：上课专心听讲，积极 参与课堂讨论：课后认真复习课堂上讲授内容，独立完成教师布置的任务：并预习新课。学生缺勤不得多于总课时的四 分之一。教师可以根据考勒情况决定学生是否可以参加考试、是否扣分。 课程简介 经济金融中的很多问题本质上是动态的，从动态的角度来研究经济、金融问题已被广泛地接受。本课程试图为经济金融中的动态 问题的分析提供方法论上的支持，目的是使学生学握经济、金融研究中主流的动态方法。本课程将以经济学、金融学中常见的确定性 连续动态和离散动态方法为脉络，通过宏、微观经济学的例子阐述离散和连续动态过程的主要现象，还将开设求解动态经济问题的计 算机实验课。课程主要内容包括差分方程、微分方程、变分法、偏微分方程等，涉及的经济学主题包括消费者理论、局部均衡理论、 增长理论、通货膨胀理论。通过该课程的学习，加深学生对经济学、金融学基本理论的理解，培养学生对动态问题的数量化分析能 力，提高学生运用计算机技术解决经济金融中的动态问题的能力。 二、教学目标 本课程的定位是：培养学生数学思维、掌握分析金融问题的数理方法，为进一步学习金融工程其他专业课打下坚实的数理基础。 因此，本课程的教学目标是，通过教学使学生对常微分方程和差分方程方面的基本概念和基本理论有正确的理解并能熟练应用， 深刻理解经济与金融中的经典方法，初步培养通过建立数学模型解决和分析经济与金融实际问题的能力。为进一步学习其他专业课程 打下必要的基础。 三、课程学习资料 1.教材 《常微分方程》王高雄等编，高等教育出版社，2006年第三版 2.参考资料 《常微分方程》东北师范大学常微分方程教研组，高等教育出版社，2005年第二版： 《数理经济学的基本方法》蒋中一，北京大学出版社，2006年第四版 《动态经济学》罗纳德.肖恩，中国人民大学出版社，2003 四、学习效果及达成途径 1.学习效果 通过本课程的学习，希望达成的学习效果如下： (1)熟知微分方程及其求解的相关基本概念；理解微分方程理论的历史发展脉络： (2)敏捷判断常微分方程的各种类型，并熟练掌握各类方程的解法，包括分离变量法，常数变易法，积分因子法等初等解法，注意 求解方法的技术性和灵活性； (3)理解并掌握解的存在唯一性定理，对实际模型会判断其初值解的存在唯一性区域，了解条件的变化对结论的影响： (4)学握延拓思想，条件及结论，会判断解的最大存在区间： (5)理解微分方程解的几何意义，能够使用线素场画出积分曲线，掌握方程近似解求法的基本思想，能够确定近似解法的截断误 美 (6)掌握高阶线性方程（齐次，非齐次）解的一般理论，重点是解的性质，通解结构，明确对于非线性方程没有这些结果： (7)掌握求解常系数高阶线性方程（齐次，非齐次）的各种解法：矩阵指数法，常数变易法，待定系数法：能够使用变换求解可 以化为常系数高阶线性常微分方程： (8)掌握利用拉普拉斯变换求解的基本思想及重要结论： (9)掌握线性微分方程组解的结构：熟练学握求解一阶常系数线性微分方程组的基本方法：理解利用拉普拉斯变换求解的基本 思想及重要结论： (10)掌握微分方程均衡解、极限环以及均衡解和极限环稳定性的基本概念： (11)对平面自治线性系统能够熟练进行稳定性和相图分析；能够使用极坐标变换、线性近似和V函数法对非线性自治系统的均衡 解进行稳定性分析； (12）)熟练掌握离散动力系统的求解及稳定性分析； (13)具备建立动态模型分析实际问题的建模能力： 2.达成学习效果的途径 上课跟着老师思路走，积极参与课堂讨论：课后阅读教师指定资料：适当多加练习：按时完成课后作业：认真准备期末考试。 五、教学进度计划表
本课程教学周为16周，具体安排如下 周 教 阅读 作业 次 内容提要 资料 与考 试 式 第一章：动态经 教材 1 济学方法概论 讲授 第1章 第二章：连续动 教材 课后作 态系统 第二 2.1可分离变量 方程求解 讲授 章 讲义 2.2齐次方程的 求解及其应用 2.4 阶线 课后作 3 性微分方程： 业 2.5 全微分方 讲授 程 2.5全微分万 程 (续) 一阶微分方程的 4 应用实例：索罗 讲 经济增长模型和 名画伪造案鉴定 等模型 第三章微分方 课后作 程解的基本理论 业 3.1柯西问题 0 解的存在唯一性 基本定理 讲授 3.2解的延拓 及解的最大存在 区间 3.3微分方程 解的几 何解释 6 及近似 解的解 法 第四章高阶线 教材 性微分 四 方程 章 4.1高阶线性 讲 微分方 程解的 基本理 4.2高阶线性 课后作 常系数齐次线性 业 微分方程的求解 单实特征根重 特征根复特征 讲授 4.3 求解高阶 常系数线性微分 方程的拉普拉斯 变换法
阅读 作业 次 内容提要 资料 与考 试 式 4.3求解高阶 教材 常系数线性微分 第五 方程的拉普拉斯 章 变换法（续） 参考 9 第五章微分方 讲授 教材 程组 第 5.1微分方程 组阶的基本理论 5.2齐次常系 课后作 数线性微分方程 业 组的求解：单特 征根（实根和复 10 根) 5.3齐次常系 讲授 数线性微分方程 组的求解：重特 征根 微分方程组及高 课后作 11 阶微分方程应用 讲授 及讨 举例 论 第六章微分方 教材 程解的定性理 第六 论 章 12 6.1基本概念 讲授 6.2平面自治线 性系统的不动点 分类 6.4极限环 课后作 6.5平面自治非 业 13 线性系统的相图 分析 授、 6.6李雅普诺 夫函数法 离散动态系统 参考 一阶和高阶差分 教材 方程的求解 《 蛛网膜型 讲 经 14 乘数加速数模 济 型 讨论 本方 法》 离散方程组 课后作亚 线性离散方程组 17、 的求解 18章 15 和相图 讲授 及讲 分析 义 非线性离散方程 组的相 图分析 16 综合应用举例 讲 复习 17- 期末考试（学校统一安排考试时间及地 18 点) 六、教学内容 第一章初等积分法 【教学目标和要求】 、 了解微分方程的基本概貌与背景：掌握基本概念。 二、初步培养如何把实际问题归纳为微分方程的建模能力。 三、 敏捷判断常微分方程的各种类型，并熟练掌握各类方程的解法，包括分离变量法，常数变易法，积分因子法等初等解法。 四、掌握用变量变换、积分因子方法求解，注意求解方法的一些技巧性和灵活性。 五、理解微分方程在解决经济问题，社会问题方面的作用，并能运用简单模型分析金融中的特定问题。 【主要内容】 第一节微分方程基本概念
一、介绍某些物理过程和经济中的数学模型： 、常微分方程，偏微分方程，常微分方程的阶，线性 三、非线性，微分方程的解，隐式解，通解特解定解问题 四、积分曲线和轨线等基本概念： 第二节标准形式的简单常微分方程求解 一、变量可分离方程： 齐次方程： 三 一阶线性方程： 四、贝努利方程，黎卡提方程介绍 第三节全微分方程 一、全微分方程 二、积分因子 第四节经济金融模型举例及Matlab在简单微分方程中的应用 三袋 三、matlab应用实例 教学总时数：11学时 教学方式：讲授、学生练习 准备知识：微积分，宏观经济学 参考资料： 《常微分方程》（东北师大）高等教育出版社，第一版p1-p66, 《数理经济学的基本方法》蒋中一，p20-p100: 《常微分方程》王高雄等编，高等教育出版社，2006年第三版，p1-p74: 作业与练习： p181(4):2(3)(4):3:6: p261(3)(5)(6):2(2)(4);3:4;p341(2)(8):3(1)(3)(5);4:6; p471(3)(5);2(1)(4):3:5: D561(2):3: p671(2)(3)(4)(7)(8):2 第二章基本定理 【教学目标和要求】 理解并学握解的存在唯一性定理 二、 了解解的存在唯一性定理和解对初值的连续依赖性定理是求近似解的前提和依据： 三、 通过奇解、包络的概念，进一步理解解的唯一性概念： 四、对实际模型会判断其初值解的存在唯一性区域，了解条件的变化对结论的影响，从而理解存在唯一性条件及奇解求法： 五、掌握延拓思想，条件及结论，会判断解的最大存在区间： 六、理解微分方程解的几何意义，能够使用线素场画出积分曲线： 七、掌握方程近似解求法的基本思想，能够确定近似解法的截断误差： 【教学内容】 第一节解的存在唯一性定理 、 基本定理 逐步逼近法 三、近似解的误差估计 第二节延拓定理 一、 延拓定理， 、定理进一步解释及例子 三、判断解的最大存在区间 第三节方向场 ”、 方向场的概念 二、通过方向场的有规律的分布说明解的图象（轨道） 三、微分方程的近似求解法 教学总时数：7学时 教学方式：讲授、学生讨论 准备知识：数学分析 参考资料： 《常微分方程》（东北师大）高等教育出版社，第一版，p80-p113; 《常微分方程》王高雄等编，高等教育出版社，2006年第三版，p85-p115, 作业与练习： p953:7:10 p1032;4 p1142:3 第三章高阶线性微分方程 【教学目标和要求】 掌握高阶线性方程（齐次，非齐次）解的一般理论，重点是解的性质，通解结构，明确对于非线性方程没有这些结果： 掌握求解常系数高阶线性方程（齐次，非齐次）的各种解法：矩阵指数法，常数变易法，待定系数法： 掌握利用拉普拉斯变换求解的基本思想及重要结论： 四、 掌握欧拉方程的求解方法，能够使用变换求解可以化为常系数高阶线性常微分方程： 五、培养建立数学模型，进而分析问题、解决问题的能力，理解解的经济意义。 【教学内容】
第一节一般高阶微分方程解的理论 高阶线性齐次微分方程的一般理论和求解 一、解的一般理论 二、特征多项式 三、单实根 四、单复根 五、重根 高阶线性非齐次方程的一般理论和求解 、解的性质与结构 二、常数变易法 模型举例 教学总时数：10学时 教学方式：讲授、学生讨论 准备知识：线性代数 参考资料： 《常微分方程》（东北师大）高等教育出版社，第一版，p120-p193 《动态经济学》罗纳德.肖恩，中国人民大学出版社，2003，P219-p250; 《常微分方程》王高雄等编，高等教育出版社，2006年第三版，p120-p155: 作业与练习： p1351(3);2:5: p1422:3: p1551(2)(4)(6):2(1)(3):4: D1683:5:6:7:9: p1943;4 第四章一阶微分方程组的求解理论 【教学目标和要求】 一、学握线性微分方程组解的结构： 二、 熟练求解一阶常系数线性微分方程组的基本方法： 理解利用拉普拉斯变换求解的基本思想及重要结论： 四、了解微分方程组在经济和金融中的应用。 【教学内容】 第一节一阶微分方程组解的一般理论 齐次微分方程组的求解 一、不等实根 二、相等实根 三、复根 应用实例（学生报告讨论） 教学总时数：5学时 教学方式：讲授、学生报告和讨论 准备知识：线性代数、宏观经济学、微观经济学 参考资料： 《常微分方程》（东北师大）高等教育出版社，第二版，p197-p244: 《动态经济学》罗纳德.肖恩，中国人民大学出版社，2003，P268-p360: 《常微分方程》王高雄等编，高等教育出版社，2006年第三版，p186-p240 作业与练习： P215,2;4:5: P244,1:2:3;4; 第五章微分方程解的定性理论 【教学目标和要求】 “、掌握微分方程均衡解、极限环以及均衡解和极限环稳定性的基本概念： 二、对平面自治线性系统能够熟练进行稳定性和相图分析： 三、能够使用极坐标变换、线性近似和V函数法对非线性自治系统的均衡解进行稳定性分析； 【教学内容】 第一节定性理论一般概念 ·、均衡解的基本概念 二、 解的稳定性的基本概念 三、相图分析 第二节平面自治系统的相图分析 一、结点 二、鞍点 三、焦点和中心 第三节极限环和周期解 “、 周期解 、极限环的判定和分类 第四节非线性微分方程组解的稳定性 ·、线性近似法 李雅普诺夫函数法 三、应用举例
教学总时数：8学时 教学方式：讲授、学生讨论 准备知识：无 参考资料： 《常微分方程》（东北师大）高等教育出版社，第二版，p236-p296; 《常微分方程》王高雄等编，高等教育出版社，2006年第三版，p24-p308 《动态经济学》罗纳德.肖恩，中国人民大学出版社，2003，p268-p360: 作业与练习： P276,作业2；3： P282,1:3: P296,1:2;3: 第六章离散动力系统 【教学目标和要求】 一、学握差分方程的求解： 、了解其在经济和金融中的简单应用实例。 【教学内容】 第一节离散动力系统基本概念 第二节一阶和高阶差分方程求解 第三节蛛网模型、乘数加速器模型 第四节离散非线性差分方程的线性近似和离散时间下的索洛增长模型 第五节离散动力系统的均衡和稳定性分析 教学总时数：4学时 教学方式：讲授、学生讨论 参考资料： 《数理经济学的基本方法》蒋中一，p230-p280 《动态经济学》罗纳德.肖恩，中国人民大学出版社，2003，p63-p76: 作业与练习： P280,作业9；11；12；16 第七章离散方程组 【教学目标和要求】 掌握离散方程组的求解和相图分析。 【教学内容】 第一节线性离散方程组的求解和相图分析 第二节非线性离散方程组的求解和相图分析 第三节应用实例 教学总时数：3学时 教学方式：讲授、学生讨论 准备知识： 参考资料： 《动态经济学》罗纳德.肖恩，中国人民大学出版社，2003，p77-p101,p250-p267; 作业与练习： P263,作业4,5,6； 第八章线性偏微分方程初步（选讲） 【教学目标和要求】 理解线性偏微分方程基本理论。 【教学内容】 第一节基本概念 第二节一阶常微分方程组的首次积分 第三节一阶线性齐次偏微分方程与变分法 第四节一阶拟线性非齐次偏微分方程 教学总时数：机动待定 教学方式：讲授、学生讨论 准备知识： 参考资料： 《常微分方程》（东北师大）高等教育出版社，第一版，p301-p331: 《常微分方程》王高雄等编，高等教有出版社，2006年，第三版，P342-388: