UIBE 1951 第六章:Martingale 本章将介绍另一类特殊的随机过程—鞅.近几十年来, 鞅理论不仅在随机过程及其他数学分支中占据了重要的地 2/42 位,而且在实际问题诸如金融、保险和医学上也得到了广泛 的应用.在此我们将阐述鞅的一些基本理论,并以介绍离散 时间鞅为主. 鞅的定义是从条件期望出发的,所以对条件期望不熟悉 的读者请先学习第1章中的相关内容,这对于理解鞅理论是 至关重要的. GoBack FullScreen Close Quit
2/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 18Ÿµ Martingale ŸÚ0,òaAœëÅLß .CAõc5ß nÿÿ=3ëÅLß9Ÿ¶ÍÆ©|•”‚ á/ †ß Ö3¢SØKÃX7K!x⁄öÆ˛è 2ç A^. 3d·ÇÚ„ò ƒnÿßø±0l— ûmèÃ. ½¬¥l^áœ"—uߧ±È^áœ"ÿŸG ÷ˆûkÆS11Ÿ•É'SNߢÈun)nÿ¥ ñ'á.
在☑ 1951 0 3/42 GIRTH MARTINGALE GoBack FullScreen Close Quit
3/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit
§6.1 基本概念 1951 每个赌博者自然都对能使他在一系列赌博后获得期望收 益最大的策略感兴趣.然而在数学上可以证明,在“公平”的 博弈中,是没有这样的赌博策略的. 假设一个赌博者正在进行一系列赌博,每次赌博输赢的 概率都是号.令{Yn,n=1,2,·},是一列独立同分布的随机 4/42 变量,表示每次赌博的结果 1 P{Yn=1}=P{Yn=-1}= 这里{Yn=1}({Yn=-1})表示赌博者在第n次赌博时的 赢(输) GoBack FullScreen Close Quit
4/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §6.1 ƒVg záŸÆˆg,—ÈU¶¶3òXŸÆºœ"¬ ÃÅ帗a,., 3ÍÆ˛å±y²ß3/˙²0 Æâ•ß¥vk˘ŸÆ¸—. bòáŸÆˆ3?1òXŸÆßzgŸÆ—I V«—¥1 2 . -{Yn, n = 1, 2, · · · }, ¥ò’·”©ŸëÅ C˛ßL´zgŸÆ(J P{Yn = 1} = P{Yn = −1} = 1 2 ˘p{Yn = 1} ({Yn = −1})L´ŸÆˆ31ngŸÆû I(—)
数在 如果赌博者采用的赌博策略(即所下赌注)依赖于前面的 1951 赌博结果,那么他的赌博可以用下面的随机变量序列 bn=bn(Yi,·,Yn-1),n=2,3,. 描述,其中bnbiYi (6.1.1) i=1 是他在第次赌博后的赌资.可以断言 E[Xn+ilYi,…,Ynl=Xn 事实上,由式(6.1.1)我们可以得到 Xn+1 Xn on+1Yn+1, GoBack FullScreen Close Quit
5/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit XJŸÆˆÊ^ŸÆ¸—(=§eŸ5)ù6uc° ŸÆ(Jß@o¶ŸÆå±^e°ëÅC˛S bn = bn(Y1, · · · , Yn−1), n = 2, 3, · · · £„ߟ•bn < ∞¥1ngŸ5ßeŸIKº|bn߃K —Kbn. X0¥TŸÆˆ–©Ÿ]ßK Xn = X0 + X n i=1 biYi (6.1.1) ¥¶31ngŸÆŸ].å±‰Û E[Xn+1|Y1, · · · , Yn] = Xn. Ø¢˛ßd™(6.1.1)·Çå± Xn+1 = Xn + bn+1Yn+1
传有复, 因此 1951 E[Xn+1Y,…,Yn]=E[XnYi,·,Yn+E[bn+1Yn+1Y,·,Yn] =Xn ontiE[Yn+1 Y1,...,Yn] (因为Xn与bn+1由Y,·,Yn确定) =Xn on+1E[Yn+1] (因为{Y}是独立随机变量序列) 6/42 =Xn(因为E[Yn+1]=0,n≥0) 这证明了,如果每次赌博的输赢机会是均等的,并且赌博策 略是依赖于前面的赌博结果,则赌博是“公平的”.因此任 何赌博者都不可能将公平的赌博通过改变赌博策略使得赌博 变成有利于自己的赌博。 GoBack FullScreen Close Quit
6/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit œd E[Xn+1|Y1, · · · , Yn] = E[Xn|Y1, · · · , Yn] + E[bn+1Yn+1|Y1, · · · , Yn] = Xn + bn+1E[Yn+1|Y1, · · · , Yn] (œèXnÜbn+1dY1, · · · , Yn(½) = Xn + bn+1E[Yn+1] (œè{Yn}¥’·ëÅC˛S) = Xn (œè E[Yn+1] = 0, ∀n ≥ 0) ˘y² ßXJzgŸÆ—IŨ¥˛ßø֟Ƹ —¥ù6uc°ŸÆ(JßKŸÆ¥/˙²0. œd? ¤ŸÆˆ—ÿåUÚ˙²ŸÆœLUCŸÆ¸—¶ŸÆ C§k|ugCŸÆ
鞅的直观本质意义 1951 鞅描述的是“公平”的赌博,下鞅和上鞅分别描述了 “有利”赌博与“不利”赌博.下面我们定义关于σ代数的鞅. 域流Filtration 。给定样本空间2和时间指标集T,若存在一族σ-代数{F:: t∈T}使得对任意的0≤s<t都有FsCF,则称 {Ft:t∈T}为2上的一个域流(filtration). 7/42 ·对于概率空间(2,下,P),和S2上的一个域流{F}tT,则称 四元组(2,F,{F}tT,P)为一个带域流的概率空间,或 者过滤的(filtered probability space)概率空间。 ·域流的概念可以动态地刻画随机过程的可测性和信息递 增,为后面的条件期望的定义做好准备。 GoBack 。思考:带域流的概率空间的逻辑? FullScreen Close Quit
7/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Ü*üø¬ £„¥/˙²0ŸÆße⁄˛©O£„ /k|0ŸÆÜ/ÿ|0ŸÆ. e°·Ç½¬'uσìÍ. ç6 Filtration • â½òmΩ⁄ûmçI8T, e3òxσ-ìÍ {Ft : t ∈ T} ¶È?ø 0 ≤ s < t —k Fs ⊂ Ft, K° {Ft : t ∈ T} è Ω˛òá ç6 (filtration). • ÈuV«òm(Ω, F, P), ⁄Ω˛òáç6{Ft}t∈T , K° o| (Ω, F, {Ft}t∈T , P) èòáëç6V«òmß½ ˆL» (filtered probability space) V«òm" • ç6Vg屃/èxëÅLßåˇ5⁄&E4 Oßè°^áœ"½¬â–O" • gµëç6V«òm‹6º