对外经济贸易大学：《应用随机过程 Applied Stochastic Processes》课程教学资源（课件讲稿）第六章 鞅 Martingale

UIBE 1951 第六章：Martingale 本章将介绍另一类特殊的随机过程—鞅.近几十年来， 鞅理论不仅在随机过程及其他数学分支中占据了重要的地 2/42 位，而且在实际问题诸如金融、保险和医学上也得到了广泛 的应用.在此我们将阐述鞅的一些基本理论，并以介绍离散 时间鞅为主. 鞅的定义是从条件期望出发的，所以对条件期望不熟悉 的读者请先学习第1章中的相关内容，这对于理解鞅理论是 至关重要的. GoBack FullScreen Close Quit

2/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 18Ÿµ Martingale ŸÚ0,òaAœëÅLß .CAõc5ß nÿÿ=3ëÅLß9Ÿ¶ÍÆ©|•”‚ ­á/ †ß Ö3¢SØKÃX7K!x⁄öÆ˛è 2ç A^. 3d·ÇÚ„ò ƒnÿßø±0l— ûmèÃ. ½¬¥l^áœ"—uߧ±È^áœ"ÿŸG ÷ˆûkÆS11Ÿ•É'SNߢÈun)nÿ¥ ñ'­á.

在☑ 1951 0 3/42 GIRTH MARTINGALE GoBack FullScreen Close Quit

3/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit

§6.1 基本概念 1951 每个赌博者自然都对能使他在一系列赌博后获得期望收 益最大的策略感兴趣.然而在数学上可以证明，在“公平”的 博弈中，是没有这样的赌博策略的. 假设一个赌博者正在进行一系列赌博，每次赌博输赢的 概率都是号.令{Yn,n=1,2,·},是一列独立同分布的随机 4/42 变量，表示每次赌博的结果 1 P{Yn=1}=P{Yn=-1}= 这里{Yn=1}({Yn=-1})表示赌博者在第n次赌博时的 赢（输） GoBack FullScreen Close Quit

4/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §6.1 ƒVg záŸÆˆg,—ÈU¶¶3òXŸÆ￾ºœ"¬ ÃÅ帗a,., 3ÍÆ˛å±y²ß3/˙²0 Æâ•ß¥vk˘ŸÆ¸—. bòáŸÆˆ3?1òXŸÆßzgŸÆ—I V«—¥1 2 . -{Yn, n = 1, 2, · · · }, ¥ò’·”©ŸëÅ C˛ßL´zgŸÆ(J P{Yn = 1} = P{Yn = −1} = 1 2 ˘p{Yn = 1} ({Yn = −1})L´ŸÆˆ31ngŸÆû I(—)

数在 如果赌博者采用的赌博策略（即所下赌注）依赖于前面的 1951 赌博结果，那么他的赌博可以用下面的随机变量序列 bn=bn(Yi,·,Yn-1),n=2,3,. 描述，其中bnbiYi (6.1.1) i=1 是他在第次赌博后的赌资.可以断言 E[Xn+ilYi,…,Ynl=Xn 事实上，由式(6.1.1)我们可以得到 Xn+1 Xn on+1Yn+1, GoBack FullScreen Close Quit

5/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit XJŸÆˆÊ^ŸÆ¸—(=§eŸ5)ù6uc° ŸÆ(Jß@o¶ŸÆå±^e°ëÅC˛S bn = bn(Y1, · · · , Yn−1), n = 2, 3, · · · £„ߟ•bn < ∞¥1ngŸ5ßeŸIKº|bn߃K —Kbn. X0¥TŸÆˆ–©Ÿ]ßK Xn = X0 + X n i=1 biYi (6.1.1) ¥¶31ngŸÆ￾Ÿ].å±‰Û E[Xn+1|Y1, · · · , Yn] = Xn. Ø¢˛ßd™(6.1.1)·Çå± Xn+1 = Xn + bn+1Yn+1

传有复， 因此 1951 E[Xn+1Y,…,Yn]=E[XnYi,·,Yn+E[bn+1Yn+1Y,·,Yn] =Xn ontiE[Yn+1 Y1,...,Yn] (因为Xn与bn+1由Y,·,Yn确定) =Xn on+1E[Yn+1] (因为{Y}是独立随机变量序列) 6/42 =Xn(因为E[Yn+1]=0,n≥0) 这证明了，如果每次赌博的输赢机会是均等的，并且赌博策 略是依赖于前面的赌博结果，则赌博是“公平的”.因此任 何赌博者都不可能将公平的赌博通过改变赌博策略使得赌博 变成有利于自己的赌博。 GoBack FullScreen Close Quit

6/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit œd E[Xn+1|Y1, · · · , Yn] = E[Xn|Y1, · · · , Yn] + E[bn+1Yn+1|Y1, · · · , Yn] = Xn + bn+1E[Yn+1|Y1, · · · , Yn] (œèXnÜbn+1dY1, · · · , Yn(½) = Xn + bn+1E[Yn+1] (œè{Yn}¥’·ëÅC˛S) = Xn (œè E[Yn+1] = 0, ∀n ≥ 0) ˘y² ßXJzgŸÆ—IŨ¥˛ßø֟Ƹ —¥ù6uc°ŸÆ(JßKŸÆ¥/˙²0. œd? ¤ŸÆˆ—ÿåUÚ˙²ŸÆœLUCŸÆ¸—¶ŸÆ C§k|ugCŸÆ

鞅的直观本质意义 1951 鞅描述的是“公平”的赌博，下鞅和上鞅分别描述了 “有利”赌博与“不利”赌博.下面我们定义关于σ代数的鞅. 域流Filtration 。给定样本空间2和时间指标集T,若存在一族σ-代数{F:: t∈T}使得对任意的0≤s<t都有FsCF,则称 {Ft:t∈T}为2上的一个域流(filtration). 7/42 ·对于概率空间(2，下，P),和S2上的一个域流{F}tT,则称 四元组(2，F,{F}tT,P)为一个带域流的概率空间，或 者过滤的(filtered probability space)概率空间。 ·域流的概念可以动态地刻画随机过程的可测性和信息递 增，为后面的条件期望的定义做好准备。 GoBack 。思考：带域流的概率空间的逻辑？ FullScreen Close Quit

7/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Ü*üø¬ £„¥/˙²0ŸÆße⁄˛©O£„ /k|0ŸÆÜ/ÿ|0ŸÆ. e°·Ç½¬'uσìÍ. ç6 Filtration • â½òmΩ⁄ûmçI8T, e3òxσ-ìÍ {Ft : t ∈ T} ¶È?ø 0 ≤ s < t —k Fs ⊂ Ft, K° {Ft : t ∈ T} è Ω˛òá ç6 (filtration). • ÈuV«òm(Ω, F, P), ⁄Ω˛òáç6{Ft}t∈T , K° o| (Ω, F, {Ft}t∈T , P) èòáëç6V«òmß½ ˆL» (filtered probability space) V«òm" • ç6Vg屃/èxëÅLßåˇ5⁄&E4 Oßè￾°^áœ"½¬â–O" • gµëç6V«òm‹6º

数传有 适应过程(adapted process. 1951 给定一个带域流的概率空间(2，下，{}tT,P).如果一 个随机过程{X}tr满足对任意的t∈T都有 Xt∈F,亦即X是F可测的，或记为σ(X)CF, 则称{Xt}为关于域流{F}t∈r适应的(adapted)过程。 ·适应过程在每一时间处都可以由当前已知信息来描述 8/42 (而不是给定)。 ·本课程中的金融随机过程（资产价格、投资组合头寸等） 都是适应的。 GoBack FullScreen Close Quit

8/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ·ALߣadapted process§ • â½òáëç6V«òm (Ω, F, {Ft}t∈T , P). XJò áëÅLß{Xt}t∈T ˜vÈ?øt ∈ T—k Xt ∈ Ft, ½=Xt¥Ftåˇß½Pè σ(Xt) ⊂ Ft, K°{Xt}è'uç6{Ft}t∈T ·A (adapted) Lß" • ·ALß3zòûm?—å±dcÆ&E5£„ £ ÿ¥â½§" • ëß•7KëÅLߣ]dÇ!›]|‹fiħ —¥·A

数传在☑ 可料过程(predictable process 1951 给定一个带域流的概率空间(2，下，{Fn}n=0,1…,N,P).如 果一个随机过程{Xn}m=0,1,,v满足对任意的n都有 Xn∈Fn-l, 亦即Xn是Fn-1可测的， 则称{Xn}为关于域流{Fn}n=o,l,,w可料(predictable) 过程。 9/42 ● 可料过程在每一时间处都可以由前一期信息来描述（而 不是给定)。 。在离散时间框架下，我们讨论的策略都是可料的。 GoBack FullScreen Close Quit

9/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit åLߣpredictable process§ • â½òáëç6V«òm (Ω, F, {Fn}n=0,1,··· ,N, P). X JòáëÅLß{Xn}n=0,1,··· ,N ˜vÈ?øn—k Xn ∈ Fn−1, ½=Xn¥Fn−1åˇ , K°{Xn}è'uç6{Fn}n=0,1,··· ,N å (predictable) Lß" • åLß3zòûm?—å±dcòœ&E5£„£ ÿ¥â½§" • 3l—ûmµeeß·Ç?ÿ¸——¥å

数传在☑ 回忆条件数学期望的性质 1951 定理6.1.1 若X为一随机变量，G为σ一代数。则： (1)E[EX 9]]=E[X]. (2) 若X是g可测，则E[Xg]=X,a.s. (3) 设g={0,2},则E[X|g=E[X],a.s. (7) |E[Xg]≤E[X|g],a.s. 10/42 (9) 设X及XY的期望存在，且Y为G可测，则 EXY C]=YE X g],a.s. (10) 若X与9相互独立（即o(X)与G相互独立），则有 E[X g=EX]a.s. (11)若91,92是两个子σ代数，使得91C92CF,则 EEX C2 91=EX 91,a.s. GoBack FullScreen Close Quit

10/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ££^áÍÆœ"5ü ½n 6.1.1 eXèòëÅC˛ßGèσ−ìÍ"Kµ (1) E[E[X|G]] = E[X]. (2) eX¥GåˇßKE[X|G] = X, a.s.. (3) G = {∅, Ω}ßKE[X|G] = E[X], a.s.. (7) |E[X|G]| ≤ E[|X||G], a.s.. (9) X9XY œ"3ßÖY èGåˇßK E[XY |G] = Y E[X|G], a.s. (10) eXÜGÉp’·(=σ(X)ÜGÉp’·)ßKk E[X|G] = E[X], a.s. (11) eG1,G2 ¥¸áfσìÍ߶G1 ⊂ G2 ⊂ F, K E[E[X|G2]|G1] = E[X|G1], a.s

数在 定义6.1.2设{Fm,n≥0}是一个F中的单调递增的 1951 子o代数列.随机过程{Xm,n≥0}称为关于{Fn,n≥0}的 鞅，如果： ●{Xn}是{Fmn}适应的 ●E[Xnl]<o ●并且n≥0，有 11/42 E[Xn+1|Fn]=Xn (6.1.2) ·适应列{Xn,Fm,n≥0}称为下鞅，如果n≥0， E[X]<o且E[Xn+1Fm]≥Xm (6.1.3) ·上鞅可以类似定义， 在给出例子之前，先给出由定义直接推出的命题， GoBack FullScreen Close Quit

11/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 6.1.2 {Fn, n ≥ 0}¥òáF•¸N4O fσìÍ. ëÅLß{Xn, n ≥ 0}°è'u{Fn, n ≥ 0} ßXJµ • {Xn}¥{Fn} ·A • E[|Xn|] < ∞ • øÖ∀n ≥ 0ßk E[Xn+1|Fn] = Xn (6.1.2) • ·A{Xn, Fn, n ≥ 0}°è eßXJ∀n ≥ 0, E[X+ n ] < ∞ Ö E[Xn+1|Fn] ≥ Xn (6.1.3) • ˛å±aq½¬. 3â—~fÉcßkâ—d½¬ÜÌ—·K