对外经济贸易大学：《应用随机过程 Applied Stochastic Processes》课程教学资源（课件讲稿）第四章 Brown布朗运动（维纳过程）

数传在习 1951 第四章 Brown运动（维纳过 程) 2/41 GoBack FullScreen Close Quit

2/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 1oŸ Brown $ƒ£ëBL ߧ

在园 Brown运动进入金融的历史 65454N 1951 WN 62415 lo) 0204 Paul Samuelson 3/41 Louis Bachelier GoBack FullScreen Close Quit

3/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Brown $ƒ?\7K{§ Paul Samuelson Louis Bachelier

在☑ sample paths of Brownian motion 2 1951 1.5 0.5 -0.5 -1 4/41 1.5 名 0.5 1 1.5 2 time 无W ✉ 4 GoBack FullScreen Close Quit

4 /41 k J I k J I GoBack FullScreen Close Quit √ t !!!

数在 §4.1 基本概念与性质 1951 我们从讨论简单的随机游动开始.设有一个粒子在直线 上随机游动，在每个单位时间内等可能地向左或向右移动一 个单位的长度.现在加速这个过程，在越来越小的时间间隔 中走越来越小的步子.若能以正确的方式趋于极限，我们就 得到Brown运动.详细地说就是令此过程每隔△t时间等概 5/41 率地向左或向右移动△x的距离.如果以X(t)记时刻t粒子的 位置，则 X(t)=△x(ξ1+·+t/△) (4.1.1) 其中[t/△t表示t/△t的整数部分，其中 +1, 如果第步向右 GoBack 如果第步向左 FullScreen Close Quit

5/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §4.1 ƒVgÜ5ü ·Çl?ÿ{¸ëÅiƒm©.kòá‚f3ÜÇ ˛ëÅiƒß3zḆûmSåU/ïܽïm£ƒò Ḇ›. y3\Ñ˘áLßß35ûmmÖ •r5⁄f. eU±(ê™™u4Åß·Ç“ Brown$ƒ. ç[/`“¥-dLßzÖ∆tûmV «/ïܽïm£ƒ∆xÂl. XJ±X(t)Pûèt‚f †òßK X(t) = ∆x(ξ1 + · · · + ξ[t/∆t]) (4.1.1) Ÿ•[t/∆t]L´t/∆tÍ‹©ßŸ• ξi = ( +1, XJ1i⁄ïm −1, XJ1i⁄ïÜ

数在 且假设诸ξ：相互独立 1 1951 P{&=1}=P{=-1}= -2 由于E[=0,Var[=E[]=1及(4.1.1)， 我们有 E[X(t)]=0,Var[X(t)]=(△x)2[t/△t: 现在要令△x和△趋于零，并使得极限有意义 ·如果取△x=△t,令△t→0，则Var[X(t)]→0，从 6/41 而X(t)=0,a.s.… ·如果取△t=(△x)3,则Var[X(t)]→o,这是不合理 的.因为粒子的运动是连续的，不可能在很短时间内远 离出发点 ·因此，我们作下面的假设：令△x=o√△t,o为某个 正常数，从上面的讨论可见，当△t→0时，E[X(t)]= GoBack 0,Var[X(t)]→o2t. FullScreen Close Quit

6/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ÖbÃξiÉp’· P{ξi = 1} = P{ξi = −1} = 1 2 duE[ξi] = 0, V ar[ξi] = E[ξ 2 i ] = 19(4.1.1)ß·Çk E[X(t)] = 0, V ar[X(t)] = (∆x) 2 [t/∆t]. y3á-∆x⁄∆t™u"ßø¶4Åkø¬. • XJ∆x = ∆tß-∆t → 0ßKV ar[X(t)] → 0ßl X(t) = 0, a.s.. • XJ∆t = (∆x) 3 ßKV ar[X(t)] → ∞ߢ¥ÿ‹n . œè‚f$ƒ¥ÎYßÿåU3È·ûmS l—u:. • œdß·Çäe°bµ-∆x = σ √ ∆tß σè,á ~Íßl˛°?ÿåÑß∆t → 0ûßE[X(t)] = 0, V ar[X(t)] → σ 2 t

数在 下面来看这一极限过程的一些直观性质.由式(4.1.1)及 1951 中心极限定理可得： (1)X(t)服从均值为0，方差为o2t的正态分布 此外，由于随机游动的值在不相重叠的时间区间中的变 化是独立的，所以有 (2){X(t),t≥0}有独立增量 又因为随机游动在任一时间区间中的位置变化的分布只 7/41 依赖于区间的长度，可见 (3){X(t),t≥0}有平稳增量. GoBack FullScreen Close Quit

7/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit e°5w˘ò4ÅLßò Ü*5ü.d™(4.1.1)9 •%4Žnåµ (1)X(t)—l˛äè0,êèσ 2 t©Ÿ. d ßduëÅiƒä3ÿÉ­Uûm´m•C z¥’·ߧ±k (2){X(t), t ≥ 0}k’·O˛. qœèëÅiƒ3?òûm´m•†òCz©Ÿê ù6u´m›ßåÑ (3){X(t), t ≥ 0}k²­O˛

数传在☑ 下面我们就给出Brown:运动的严格定义， 1951 定义4.1.1随机过程{X(t),t≥0}如果满足： (1)X(0)=0; (2){X(t),t≥0}有平稳独立增量： (3)对每个t>0,X(t)服从正态分布N(0,σ2t) 则称{X(t),t≥O为Brown运动，也称为Vieneri过程. 8/41 常记为{B(t),t≥0或{W(t),t≥0}. 如果o=1,我们称之为标准Brown运动，如果o≠1， 则可考虑{X(t)/o,t≥0}，它是标准Brown运动.故不失一 般性，可以只考虑标准Brown运动的情形 由于这一定义在应用中不是十分方便，我们不加证明地 给出下面的性质作为Brown运动的等价定义，其证明可以 在许多随机过程的著作中找到： GoBack FullScreen Close Quit

8/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit e°·Ç“â—Brown$ƒÓǽ¬. ½¬ 4.1.1 ëÅLß{X(t), t ≥ 0}XJ˜vµ (1) X(0) = 0; (2) {X(t), t ≥ 0}k²­’·O˛¶ (3) Èzát > 0, X(t)—l©ŸN(0, σ2 t). K°{X(t), t ≥ 0}èBrown$ƒßè°èWienerLß. ~Pè{B(t), t ≥ 0} ½ {W(t), t ≥ 0}. XJσ = 1ß·Ç°ÉèIOBrown$ƒßXJσ 6= 1ß Kåƒ{X(t)/σ, t ≥ 0}ßߥIOBrown$ƒ.ÿîò Ñ5ßå±êƒIOBrown$ƒú/. du˘ò½¬3A^•ÿ¥õ©êBß·Çÿ\y²/ â—e°5üäèBrown$ƒd½¬ßŸy²å± 3NıëÅLßÕä•È

传有复， 性质7.1.1 Brown运动是具有下述性质的随机过程{B(t),t 2 1951 0}. (1)(正态增量)B(t)-B(s)~N(0,o2(t-s),即B(t) B(s)服从均值为0，方差为σ(t-s)的正态分布.当s=0时， B(t)-B(0)~N(0,σ2t) (2)(独立增量)B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u),0≤ u≤s. 9/41 (3)(路径的连续性)B(t),t≥0是的连续函数 注：性质7.1.1中我们并没有假定B(0)=0,因此我们 称之为始于x的Brown运动，所以有时为了强调起始点，也 记为{B(t)}.这样，定义4.1.1所指的就是始于0的Brown:运 动{B(t)}.易见， B(t)-x=B(t) (4.1.2) GoBack FullScreen Close Quit

9/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 5ü7.1.1 Brown$ƒ¥‰ke„5üëÅLß{B(t), t ≥ 0}. (1) (O˛)B(t)−B(s) ∼ N(0, σ2 (t−s))ß=B(t)− B(s)—l˛äè0,êèσ 2 (t − s)©Ÿ. s = 0ûß B(t) − B(0) ∼ N(0, σ2 t). (2) (’·O˛)B(t)−B(s)’·uLßLGB(u), 0 ≤ u ≤ s. (3) (¥ªÎY5)B(t), t ≥ 0 ¥tÎYºÍ. 5µ5ü7.1.1•·Çøvkb½B(0) = 0ßœd·Ç °Éè©uxBrown$ƒß§±kûè rN©:ßè Pè{Bx (t)}.˘ß½¬4.1.1§ç“¥©u0Brown$ ƒ{B0 (t)}. ¥Ñß B x (t) − x = B 0 (t) (4.1.2)

在 (4.1.2)式按照下面的定义？？称为Brown运动的空间齐次 1951 性.此性质也说明，Bx(t)和x+B(t)是相同的，我们只需研 究始于O的Brown:运动就可以了，如不加说明，Brown运 动就是始于0的Brown运动 10/41 GoBack FullScreen Close Quit

10/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit (4.1.2)™UÏe°½¬?? °èBrown$ƒòm‡g 5.d5üè`²ßBx (t)⁄x + B0 (t)¥É”ß·ÇêIÔ ƒ©u0 Brown$ƒ“å± ßXÿ\`²ßBrown$ ƒ“¥©u0Brown$ƒ

数有 三、维纳过程的分布 1951 ·维分布：B(t)~N(0,σ2*t); ·增量分布：B(t)-B(s)~N(0,2t-s);设t>s,因B(0)= 0,且B(t)是平稳独立增量过程，故B(t)-B(s)=B(t- s+s)-B(s)与B(t-s)-B(0)=B(t-s)相同分 布N(0,σ2(t-s) 11/41 引理4.1.2维纳过程是正态过程. Proof 设维纳过程{B(t),t≥0的参数是o2,任取n及t1< t2<···<tn, Xk=B(tk)-B(tk-1),to=0,k=1,2,·,n 则Xk~N(0,o2(tk-tk-),且相互独立，有 GoBack B(tk)=X1+X2+·+Xk FullScreen Close Quit

11/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit n!ëBLß©Ÿ • ë©ŸµB(t) ∼ N(0, σ2 ∗ t); • O˛©ŸµB(t)−B(s) ∼ N(0, σ2 |t−s|); t > s,œB(0) = 0,ÖB(t)¥²­’·O˛Lßß B(t) − B(s) = B(t − s + s) − B(s) Ü B(t − s) − B(0) = B(t − s) É”© ŸN(0, σ2 (t − s)). ⁄n 4.1.2 ëBLߥLß. Proof ëBLß{B(t), t ≥ 0}ÎÍ¥σ 2 , ?n9t1 < t2 < · · · < tn, Xk = B(tk) − B(tk−1), t0 = 0, k = 1, 2, · · · , n K Xk ∼ N(0, σ2 (tk − tk−1)), ÖÉp’·ßk B(tk) = X1 + X2 + · · · + Xk