对外经济贸易大学：《应用随机过程 Applied Stochastic Processes》课程教学资源（课件讲稿）第五章 泊松过程（Poisson过程）

1951 第五章：Poisson过程 ●3.1 Poisson过程 ·3.2与Poisson过程相联系的若干分布 2/100 ·3.3 Poisson过程的推广 GoBack FullScreen Close Quit

2/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 1 Ÿµ PoissonLß • 3.1 PoissonLß • 3.2 ÜPoissonLßÉÈXeZ©Ÿ • 3.3 PoissonLßÌ2

数传在☑ 泊松过程（一) 1951 一、计算过程与泊松过程 在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密 码学等许多领域，都有关于随机事件流的计数问题，如： ·盖格记数器上的粒子流； ·计算机网络上的（图象，声音)流； ·编码（密码）中的误码流； 3/100 ·交通中事故流； 。细胞中染色体的交换次数，… ●均构成以时间顺序出现的事件流A1,A2,… 定义5.0.1随机过程{N(t),t≥0}称为计数过程(Counting process),如果N(t)表示在[0，t内事件A出现的总次数. 计数过程应满足： GoBack FullScreen Close Quit

3/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit —tLߣò§ ò!OéLßÜ—tLß 3U©ß/nß‘nß)‘ßœ&ßöÆßOéʼnßó ËÆNı+çß—k'uëÅØá6OÍØKßXµ • XÇPÍÏ˛‚f6¶ • Oéʼn˛£„ñß(—§6¶ • ?Ë£ó˧•ÿË6¶ • œ•Ø6¶ • [ú•/⁄NÜgÍ,· · · • ˛§±ûm^S—yØá6A1, A2, · · · ½¬ 5.0.1 ëÅLß{N(t), t ≥ 0}°èOÍLß(Counting process),XJN(t)L´3[0, t]SØáA—yogÍ. OÍLßA˜vµ

在。 (1)N(t)≥0； 1951 (2)N(t)取非负整数值； (3)如果s<t,则N(s)≤N(t); (4)对于s<t,N(t)一N(s)表示时间间隔(s,t内事件出现 的次数. 一类很重要的计数过程是Poisson过程 4/100 GoBack FullScreen Close Quit

4/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit (1) N(t) ≥ 0; (2) N(t)öKÍä¶ (3) XJs < tßKN(s) ≤ N(t)¶ (4) Èus < t, N(t) − N(s)L´ûmmÖ(s, t]SØá—y gÍ. òaÈ­áOÍLߥPoissonLß

数在 Poisson过程数学模型 1951 电话呼叫过程：设N(t)为O,t)时间内到达的呼叫次数， 其状态空间为 E={0,1,2,…} 此过程有如下特点： ●1)零初值性：N(0)=0; ·2)独立增量性：任意两个不相重叠的时间间隔内到达的 5/100 呼叫次数相互独立； ·3)齐次性：在(S,t)时间内到达的呼叫次数仅与时间间隔 长度t一s有关，而与起始时间s无关； ●4)普通性：在充分小的时间间隔内到达的呼叫次数最多 GoBack FullScreen Close Quit

5/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit PoissonLßÍÆ. >{
Lß: N(t)è[0, t)ûmSà
gÍ, ŸGòmè E = {0, 1, 2, · · · } dLßkXeA:µ • 1) "–ä5µN(0) = 0; • 2) ’·O˛5µ?ø¸áÿÉ­UûmmÖSà
gÍÉp’·; • 3) ‡g5µ3(s,t)ûmSà
gÍ=ÜûmmÖ ›t − sk'ß Ü©ûmsÃ'; • 4) œ5µ3ø©ûmmÖSà
gÍÅı

数在 仅有一次，即对充分小的△t,有 1951 P{N(△t)=0}=Po(△t)=1-入△t+o(△t), P{N(△t)=1}=P(△t)=λ△t+o(△t), 0O P{N(△t)≥2}=>P(△t)=o(△t), k=2 其中入>0. 6/100 例5.0.2(Poisson过程在排队论中的应用)在随机服 务系统中排队现象的研究中，经常用到Poisson过程模型， 例如，到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施的顾客数， 都可以用Poisson过程来描述，以某火车站售票处为例，设 从早上8：00开始，此售票处连续售票，乘客依10人/小时的 平均速率到达，则从9：00到10：00这1小时内最多有5名乘 GoBack 客来此购票的概率是多少？从10：00-11：00没有人来买票的 FullScreen Close Quit

6/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit =kògß=Èø©∆t,k P{N(∆t) = 0} = P0(∆t) = 1 − λ∆t + o(∆t), P{N(∆t) = 1} = P1(∆t) = λ∆t + o(∆t), P{N(∆t) ≥ 2} = X ∞ k=2 Pk(∆t) = o(∆t), Ÿ•λ > 0. ~ 5.0.2 (PoissonLß3¸Ëÿ•A^) 3ëÅ— ÷X⁄•¸ËyñÔƒ•ß²~^Poisson Lß.ß ~X,à>{oÅ
Í8ßà,—÷ñêÍß —å±^PoissonLß5£„ß±,ªê’»¶?è~ß l@˛8:00m©ßd»¶?ÎY»¶ß¶êù10</û ²˛Ñ«àßKl9:0010:00˘1ûSÅık5¶¶ ê5d ¶V«¥ıºl10:00-11:00vk<5Ô¶

数传在☑ 概率是多少？ 1951 我们用一个Poiss0n过程来描述.设8：00为0时刻，则9：00 为1时刻，参数入=10.由Poiss0n过程的平稳性知 P(W(2)-N)≤)=∑e-o10.” 5 n! n=0 P(N(3)-N(2)=0)=e-10.10° e-10 0！ 7/100 例5.0.3（事故发生次数与保险公司接到的索赔数) 若以N(t)表示某场所在(0，时间内发生不幸事故的数目， 则Poisson过程就是{N(t),t≥0}的一种很好近似.例如， 保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索 赔)都是可以应用Poisson.过程的模型。我们考虑一种最简 单情况，设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接到索赔 GoBack 要求4次，则一年中它要付出的金额平均为多少？ FullScreen Close Quit

7/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit V«¥ıº ·Ç^òáPoissonLß5£„. 8:00è0ûè,K9:00 è1ûè,ÎÍλ = 10. dPoissonLß²­5 P(N(2) − N(1) ≤ 5) =X 5 n=0 e −10·1 (10 · 1)n n! , P(N(3) − N(2) = 0) = e −10 · (10)0 0! = e −10 . ~ 5.0.3 (Øu)gÍÜx˙i¢Í) e±N(t)L´,|§3 (0, t]ûmSu)ÿ3ØÍ8ß K PoissonLß“¥{N(t), t ≥ 0}ò´È–Cq. ~Xß x˙iÄû¶gÍ£ògØ“óòg¢ §—¥å±A^PoissonLß."·Çƒò´Å{ ¸ú¹ßx˙izgG—¥1ßz²˛¢ á¶4gßKòc•ßáG—7²˛èıº

数在 设一年开始为0时刻，1月末为时刻1,2月末为时刻2， 1951 .··,则年末为时刻12 P(N(12)-N(0)=n)= (4×12e4x12 n! 均值 E[N(12)-N(0)]=4×12=48. 为什么实际中有这么多的现象可以用Poisson过程来反 8/100 映呢？其根据是小概率事件原理.我们在概率论的学习中 已经知道，Bernoullii试验中，每次试验成功的概率很小而 试验的次数很多时，二项分布会逼近Poisson分布.这一想法 很自然地推广到随机过程情况.比如上面提到的事故发生的 例子，在很短的时间内发生事故的概率是很小的，但假如考 虑很多个这样很短的时间的连接，事故的发生将会有一个大 GoBack 致稳定的速率，这很类似于Bernoulli试验以及二项分布逼 FullScreen Close Quit

8/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit òcm©è0ûèß1"èûè1ß2"èûè2ß · · · , Kc"èûè12 P(N(12) − N(0) = n) = (4 × 12)n n! e −4×12 . ˛ä E[N(12) − N(0)] = 4 × 12 = 48. èüo¢S•k˘oıyñå±^PoissonLß5á NQºŸä‚¥V«Øán. ·Ç3V«ÿÆS• ƲßBernoulli£•ßzg£§ıV«È £gÍÈıûßë©Ÿ¨%CPoisson©Ÿ.˘òé{ Èg,/Ì2ëÅLßú¹.'X˛°JØu) ~fß3È·ûmSu)ØV«¥ÈßbX ƒÈıá˘È·ûmÎßØu)Ú¨kòáå ó­½Ñ«ß˘ÈaquBernoulli£±9ë©Ÿ%

5有草☑ 近Poisson分布时的假定 1951 定义5.0.4设计数过程{N(t),t≥0}满足： (1)N(0)=0; (2)是平稳独立增量过程； (3)P{N(△t)=1}=λt+o(△t),入>0； (4)P{N(△t)≥2}=o(△t). 9/100 称{N(t),t≥0}是参数（或速率，强度）为λ的齐次泊松过 程. 注1事实上，把[0，t划分为n个相等的时间区间，则 由条件(4)'可知，当n→o时，在每个小区间内事件发生 两次或两次以上的概率趋于0，因此，事件发生一次的概率 p≈（显然p会很小)，事件不发生的概率为1-p≈1-入， 这恰好是一次Bernoulli试验.其中事件发生一次即为试验 GoBack FullScreen Close Quit

9/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit CPoisson©Ÿûb½.  ½¬ 5.0.4 OÍLß{N(t), t ≥ 0}˜vµ   (1)N(0) = 0; (2)¥²­’·O˛Lß; (3)P{N(∆t) = 1} = λt + o(∆t), λ > 0; (4)P{N(∆t) ≥ 2} = o(∆t). °{N(t), t ≥ 0}¥ÎÍ(½Ñ«,r›)èλ‡g—tL ß. 5 1 Ø¢˛ßr[0, t]y©ènáÉûm´mßK d^á(4)0åßn → ∞ûß3zá´mSØáu) ¸g½¸g±˛V«™u0ßœdßØáu)ògV« p ≈ λ t n (w,p¨È)ßØáÿu)V«è 1−p ≈ 1−λ t nß ˘T–¥ògBernoulli £.Ÿ•Øáu)òg=è£

在☑ 成功，不发生即为失败，再由条件(2)'给出的平稳独立增量 1951 性，N(t)就相当于次独立Bernoulli试验中试验成功的总 次数，由Poisson分布的二项分布逼近可知N(t)将服从参 数为入t的Poisson分布. 定理5.0.5齐次泊松过程{N(t),t≥0}在时间间 隔(to,to十t)内事件出现n次的概率为： 10/100 P+)-N==”e0m=01,2） 证明： P(t)=P{N(t)=n}=P{[N(t)-N(o】=n} =P{N(to+t)-N(to)=n}(1) GoBack FullScreen Close Quit

10/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §ıßÿu)=èî}ß2d^á(2)0â—²­’·O˛ 5ßN(t)“Éung’·Bernoulli £•£§ıo gÍßdPoisson ©Ÿë©Ÿ%CåN(t)Ú—lÎ ÍèλtPoisson©Ÿ. ½n 5.0.5 ‡g—tLß{N(t), t ≥ 0}3ûmm Ö(t0, t0 + t)SØá—yn gV«è: P{[N(t0 + t) − N(t0)] = n} = (λt) n n! e −λt , (n = 0, 1, 2, · · · ) y²µ Pn(t) = P{N(t) = n} = P{[N(t) − N(0)] = n} = P{N(t0 + t) − N(t0) = n} (1)

传有草 由条件(2)~(4)，得： 1951 Po(t+h)=PIN(t+h)=0}=PIN(t)=0,N(t+h)-N(t)=0} =P{N(t)=0}P{N(t+h)-N(t)=O} =P(t)[1-λh+o(h)] Po(t+h)-Po( → h 2=-An(e)+o h 令h→0，得 d@=-Po(t)入 11/100 dt P(0)=1, 条件(1)N(0)=0. 解得 P(t)=e-t,t≥0. 2.当n>1,根据全概率公式有 Pn(t+h)=Pn(t)Po(h)+Pn-1(t)Pi(h)+o(h) Pn(t+h)=(1-λh)Pn(t)+λhPn-1(t)+o(h) Pn(t+h)-Pn(t 2=-P.(0+P-10+ o(h) GoBack h h FullScreen Close Quit

11/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit d^á(2)∼(4),µ P0(t + h) = P{N(t + h) = 0} = P{N(t) = 0, N(t + h) − N(t) = 0} = P{N(t) = 0}P{N(t + h) − N(t) = 0} = P0(t)[1 − λh + o(h)] → P0(t + h) − P0(t) h = −λP0(t) + o(h) h -h → 0, (dP0(t) dt = −P0(t)λ P0(0) = 1, ^á£1§N(0) = 0. ) P0(t) = e −λt, t ≥ 0. 2. n ≥ 1,ä‚V«˙™k Pn(t + h) = Pn(t)P0(h) + Pn−1(t)P1(h) + o(h) Pn(t + h) = (1 − λh)Pn(t) + λhPn−1(t) + o(h) → Pn(t + h) − Pn(t) h = −λPn(t) + λPn−1(t) + o(h) h