对外经济贸易大学：《应用随机过程 Applied Stochastic Processes》课程教学资源（课件讲稿）第三章 随机过程定义和分类（随机过程的基本概念与类型）

1951 第三章： 随机过程的基本概念与 类型 ·随机过程的背景和基本概念 2/57 有限维分布与Kolmogorov.定理 ·随机过程的基本类型 ·正态过程 GoBack FullScreen Close Quit

2/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 1nŸµ ëÅL߃VgÜ a. • ëÅLßµ⁄ƒVg • kÅë©ŸÜKolmogorov½n • ëÅL߃a. • Lß

数传在☑ §3.1 随机过程的背景 1951 在许多实际问题中，不仅需要对随机现象做特定时间点 上的一次观察，且需要做多次的连续不断的观察，以观察研 究对象随时间推移的演变过程， 例3.1.1对某股票的价格进行T年的连续观察，记录 3/57 得 {Xt,0≤t≤T. 例3.1.2从杂乱电讯号的一段观察{Y(t), 0<t< T}中，研究是否存在某种随机信号S(t): 例3.1.3监听器上收到某人的话音记录{Z(t),a< t<B}试问他是否确实是追踪对象. GoBack FullScreen Close Quit

3/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §3.1 ëÅLßµ 3Nı¢SØK•, ÿ=IáÈëÅyñâA½ûm: ˛òg* , ÖIáâıgÎYÿ‰* , ±* Ô ƒÈñëûmÌ£¸CLß. ~ 3.1.1 È,¶dÇ?1TcÎY* , P¹  {Xt, 0 ≤ t ≤ T}. ~ 3.1.2 l,œ>’“ò„* {Y (t), 0 < t < T} •, Ôƒ¥ƒ3,´ëÅ&“S(t). ~ 3.1.3 ifÏ˛¬,<{—P¹{Z(t), α < t < β} £Ø¶¥ƒ(¢¥JlÈñ

数传在☑ 例3.1.4设某种细菌群体的个数在时段(t,t十△t)内 1951 只能增加，增加的数量与t时刻的细菌数成正比，且xo= x(0)>0. Proof 确定性下的模型：设t时刻的细菌数为x(t), 有 4/57 △x(t)=λc(t)△t,入>0. 当△t→0，可得到： de(t)=xa(t). dt 解得实值连续函数 x(t)=x(0)exp(入t). GoBack 随机下的模型： 设时刻t细菌数为随机变量X(t), FullScreen Close Quit

4/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 3.1.4 ,´[ˇ+NáÍ3û„(t, t + ∆t) S êUO\, O\ͲÜt ûè[ˇÍ§', Öx0 = x(0) > 0. Proof (½5e.µ tûè[ˇÍèx(t), k ∆x(t) = λx(t)∆t, λ > 0. ∆t → 0, åµ dx(t) dt = λx(t). )¢äÎYºÍ x(t) = x(0) exp(λt). ëÅe.µ ûèt [ˇÍèëÅC˛X(t)

数传有园 设(t,t+△t)内增加的细菌数与△t有关而与t无关，在X(t)= 1951 x条件下，X(t十t)变为x十1个的概率为 P(X(t+△t)=x+1X(t)=x)=λx△t+o(△t). 又设(t,t十△t)内增加不少于两个细菌的概率为o(t).根据 全概率公式可以得到： P(X(t+△t)=x)=(1-λx△t)P(X(t)=x) 5/57 +入(x-1)△tP(X(t)=x-1)+o(△t): 最后得到： P(X(t)=c)=C-exp(-λxot)(1-exp(-λt)-0,x≥xo. 注1(1)与确定性结果不同处在固定时刻t未给出确 定的细菌数，给定t时刻的概率分布：P(X(t)=x) GoBack FullScreen Close Quit

5/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit (t, t+∆t) SO\[ˇÍÜ∆t k' Üt Ã', 3X(t) = x ^áe, X(t + t) Cèx + 1 áV«è P(X(t + ∆t) = x + 1|X(t) = x) = λx∆t + o(∆t). q(t, t + ∆t) SO\ÿu¸á[ˇV«èo(t). ä‚ V«˙™å±µ P(X(t + ∆t) = x) = (1 − λx∆t)P(X(t) = x) +λ(x − 1)∆tP(X(t) = x − 1) + o(∆t). Å￾µ P(X(t) = x) = C x−x0 x−1 exp(−λx0t)(1 − exp(−λt))x−x0 , x ≥ x0. 5 1 (1) Ü(½5(Jÿ”?3½ûèt ôâ—( ½[ˇÍ , â½t ûèV«©ŸµP(X(t) = x)

(2)细菌个数X(t)随时间的推移而改变，是一族随机 1951 变量 83.2 基本概念 定义3.2.1随机过程是概率空间(2，F,P)上的一族 随机变量{X(t),t∈T,其中t是参数，它属于某个指标 6/57 集下，T称为参数集. 注： 当T={0,1,2,·}时称之为随机序列或时间序列 。 ·随机过程{X(t,w),t∈T,w∈2}是定义在T×2上的二 元函数. GoBack 定义3.2.2用E表示随机过程的值域，称E为过程的 FullScreen Close Quit

6/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit (2) [ˇáÍX(t)ëûmtÌ£ UC, ¥òxëÅ C˛ §3.2 ƒVg ½¬ 3.2.1 ëÅLߥV«òm(Ω, F, P)˛òx ëÅC˛{X(t), t ∈ T}ߟ•t¥ÎÍßß·u,áçI 8T, T°èÎÍ8. 5µ • T = {0, 1, 2, · · · } û°ÉèëÅS½ûmS. • ëÅLß{X(t, ω), t ∈ T, ω ∈ Ω}¥½¬3T × Ω˛ ºÍ. ½¬ 3.2.2 ^E L´ëÅLßäç, °E èLß

数传有 状态空间」 1951 例3.2.3设(2，F,P)是对应于抛均匀硬币的概率空 间： 2={w,w2},{w}={head},{w2}={tail}. 做N次抛硬币独立试验，引入随机变量（ω=(w1,·,w,ww) 7/57 X(t,ω)= 1,w4=w2. 则X(t)是一随机过程.其参数集T={0,1,2,·},状态空 间E={0,1} 定义3.2.4随机过程的理解称T×2={(t,w): t∈T,w∈2}为集合T与2的积集(product set). GoBack FullScreen Close Quit

7/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Gòm. ~ 3.2.3 (Ω, F, P) ¥ÈAu˛!M1V«ò m: Ω = {ω1, ω2}, {ω1} = {head}, {ω2} = {tail}. âNgM1’·£, ⁄\ëÅC˛(ω = (ω1, · · · , ωt, · · · ωN)) X(t, ω) = ( 0, ωt = ω1 1, ωt = ω2. KX(t)¥òëÅLß. ŸÎÍ8T = {0, 1, 2, · · · }, Gò mE = {0, 1}. ½¬ 3.2.4 ëÅLßn) ° T × Ω = {(t, ω) : t ∈ T, ω ∈ Ω}è8‹TÜΩ»8 (product set)

在发园 随机过程可看成定义在积集T×2上的二元函数. 1951 ·当固定t∈T,X(w)=X(t,w)是一个随机变量. ●当固定w,作为t∈T的函数，X(t,w)是一个定义在T上 的普通实值函数。 X(t1,@) X(t2,⊙) 8/57 X(t,o) X(t,02) X(t,03) t t tn GoBack FullScreen Close Quit

8/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ëÅLßåw§½¬3»8 T × Ω˛ºÍ. • ½t ∈ T, Xt(ω) = X(t, ω)¥òáëÅC˛. • ½ω , äèt ∈ T ºÍß X(t, ω)¥òὬ3T˛  œ¢äºÍ"

在发园 定义3.2.5对每一固定w∈2，称X(w)是随机过程 1951 {X(t,w),t∈T}的一个样本函数，或则轨道，路径，实现。 例3.2.6利用抛硬币的试验定义一个随机过程 X)=} cos(πt),出现正面 2t,出现反面 设出现正反面的概率相同，写出X(t)的所有样本函数. 9/57 Proof 记： w1={出现正面}，w2={出现反面} 则X(t)的所有现实为 X(w1,t)=cos(nt),X(w2,t)=2t. GoBack FullScreen Close Quit

9/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 3.2.5 Èzò½ω ∈ Ω ß°Xt(ω)¥ëÅLß {X(t, ω), t ∈ T}òáºÍ, ½K;ߥªß¢y" ~ 3.2.6 |^M1£½¬òáëÅLß X(t) = ( cos(πt), —y° 2t, —yá° —yá°V«É”, —X(t)§kºÍ. Proof Pµ ω1 = {—y°}, ω2 = {—yá°}. KX(t)§ky¢è X(ω1, t) = cos(πt), X(ω2, t) = 2t

数传有 随机过程的分类： 1951 (1)x(t)表示系统在时刻t所处的状态. (2)X(t)的所有可能状态构成的集合为状态空间，记为S (3)依照状态空间可分为连续状态和离散状态； 10/57 (4)依照参数集，可分为离散参数过程和连续参数过程 注：一般如果不作说明都认为状态空间是实数集R或R的 子集. GoBack FullScreen Close Quit

10/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ëÅLß©a: £1§X(t)L´X⁄3ûèt§?G. £2§X(t)§kåUG§8‹èGòmßPèS. £3§ùÏGòmå©èÎYG⁄l—G¶ £4§ùÏÎÍ8ßå©èl—ÎÍLß⁄ÎYÎÍLß. 5µòÑXJÿä`²—@èGòm¥¢Í8R½R f8

传南复， 例3.2.7 (随机游动)一个醉汉在路上行走，以概 1951 率p前进一步，以概率1一p后退一步（假定其步长相同） 以X(t)记他在路上的位置，则X(t)就是直线上的随机游动 例3.2.8(Brown运动)英国植物学家Brown注意到 飘浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动，这种运 动后来称为Brown运动.它是分子大量随机碰撞的结果.若 11/57 记(X(t),Y(t)为粒子在平面坐标上的位置，则它是平面上 的Brown运动. 例3.2.9 (排队模型)顾客来到服务站要求服务.当 服务站中的服务员都忙碌，即服务员都在为别的顾客服 务时，来到的顾客就要排队等候.顾客的到来、每个顾客 所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t时刻 GoBack 的队长，用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需的等待时间， FullScreen Close Quit

11/57 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 3.2.7 £ëÅiƒ§òáÄ«3¥˛1rß±V «pc?ò⁄ß±V«1 − p￾Úò⁄£b½Ÿ⁄É”§. ±X(t)P¶3¥˛†òßKX(t)“¥ÜDzëÅiƒ. ~ 3.2.8 (Brown$ƒ) =Iá‘Æ[Brown5ø £23ó°˛á‚fÿ‰?1Ã5K$ƒ, ˘´$ ƒ￾5°èBrown$ƒ. ߥ©få˛ëÅ-E(J.e P(X(t), Y (t))è‚f3²°ãI˛†òßKߥ²°˛ Brown$ƒ. ~ 3.2.9 £¸Ë.§ê5—÷’ᶗ÷.  —÷’•—÷ —a²ß=—÷ —3èOê— ÷ûß5ê“á¸Ëˇ. ê5!záê §I—÷ûm—¥ëÅߧ±XJ^X(t)L´tûè Ëß^ Y (t)L´tûè5ê§Iñûmß