对外经济贸易大学：《应用随机过程 Applied Stochastic Processes》课程教学资源（课件讲稿）第八章 Ito积分（随机积分）

3e UNBE 1951 第8章 随机积分 2/50 8.1 关于随机游动的积分 8.2 关于Brown运动的积分 8.3 Ito积分过程 8.4 Ito公式 8.5 随机微分方程 8.5 Black-Scholes模型 GoBack FullScreen Close Quit

2/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 18Ÿ ëÅ»© • 8.1 'uëÅiƒ»© • 8.2 'uBrown$ƒ»© • 8.3 Itˆo»©Lß • 8.4 Itˆo˙™ • 8.5 ëÅá©êß • 8.5 Black-Scholes

数传有 本章的目的是引入关于Brown运动的积分，讨论其性 1951 质并给出在随机分析及金融学中有着重要应用的It6公式. $8.1 关于随机游动的积分 3/50 我们从讨论关于简单的随机游动的积分开始.设X1,X2, 是独立的随机变量，P{X:=1}=P{X=-1}=, 令Sn表示相应的游动 Sn=X1+X2+·+Xn GoBack FullScreen Close Quit

3/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Ÿ8¥⁄\'uBrown$ƒ»©ß?ÿŸ5 üøâ—3ëÅ©¤97KÆ•kX­áA^Itˆo˙™. §8.1 'uëÅiƒ»© ·Çl?ÿ'u{¸ëÅiƒ»©m©.X1, X2, · · · ¥’·ëÅC˛ßP{Xi = 1} = P{Xi = −1} = 1 2ß -SnL´ÉAiƒ Sn = X1 + X2 + · · · + Xn

各传在习 我们可以这样看这组独立随机变量，Xn为第n次公平赌 1951 博的结果(Xn=1为赢1元，Xn=-1为输掉1元).Fn= o(X1,·,Xn)(由{X,1≤i≤n}生成的o代数)，也可以 理解为包含X1,·,Xn的信息.令Bn是Fn-1可测的随机变 量序列，比如它表示第次赌博时所下赌注，则它只能利用 第n一1次及以前的信息，而不能利用第次赌博的结果.于 是到时刻n的收益Zm为 4/50 2 Zm=∑B,X=∑B:(S:-S-1)=∑B△S i=1 i-1 i=1 这里△Si=S;-S;-1,S0=0.我们称Zm为Bn关于Sn的积 分. GoBack FullScreen Close Quit

4/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ·Çå±˘w˘|’·ëÅC˛ßXnè1ng˙²Ÿ Æ(J(Xn = 1èI1ßXn = −1è—K1). Fn = σ(X1, · · · , Xn)(d{Xi, 1 ≤ i ≤ n})§σìÍ)ßèå± n)èù¹ X1, · · · , Xn&E.-Bn¥Fn−1åˇëÅC ˛Sß'XßL´1ngŸÆû§eŸ5ßKßêU|^ 1n − 1g9±c&Eß ÿU|^1ngŸÆ(J.u ¥ûèn¬ÃZnè Zn = X n i=1 BiXi = X n i=1 Bi(Si − Si−1) = X n i=1 Bi∆Si ˘p∆Si = Si − Si−1, S0 = 0. ·Ç°ZnèBn'uSn» ©.

数传在 容易看出{Zm}是关于Fn的鞅，即对于所有的n 1951 E[Zn+1 Fn]Zn 特别地，E[Z]=0.此外，如果假定E[B]<∞，则 2 Var[n]=EZh=∑EB] i=1 事实上， 5/50 Z=∑BX好+2 BiBiXiXj i=1 1≤i<j≤n 再注意到X=1,如果i<J,则B,X,B都是F-1可测 的，且X独立于F-1,得 E BiBXiXi=EE BiBiXiXi Fi-1=E BiBiXiE(Xi=0 GoBack FullScreen Close Quit

5/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit N¥w—{Zn}¥'uFnß=Èu§kn E[Zn+1|Fn] = Zn AO/, E[Zn] = 0. d ßXJb½E[B2 n ] < ∞ßK V ar[Zn] = E[Z 2 n ] = X n i=1 E[B 2 i ] Ø¢˛ß Z 2 n = X n i=1 B 2 i X2 i + 2 X 1≤i<j≤n BiBjXiXj 25øX2 i = 1ßXJi < jßKBi, Xi, Bj—¥Fj−1åˇ ßÖXj’·uFj−1ß E[BiBjXiXj] = E[E[BiBjXiXj|Fj−1]] = E[BiBjXiE(Xj)] = 0

在发园 §8.2 关于Brown运动的积分 1951 本节定义关于Brown运动的积分∫X(t)dB(t)(或简 记为∫XdB),这里{B(t)}是一维标准Brown运动，有时 也记为{W).首先考虑一个非随机的简单过程{X(t)}, 即X(t)是一个简单函数（不依赖于B(t).由简单函数的 定义，存在[0，T]的分割0=to<t<··<tn=T及常 6/50 数c0,C1,·,Cn-1,使得 Co, 如果t=0 X(t)= Ci, 如果t<t≤t+1,i=0,1,·,n-1 GoBack FullScreen Close Quit

6/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §8.2 'uBrown$ƒ»© !½¬'uBrown$ƒ»© R T 0 X(t)dB(t) (½{ Pè R XdB)ߢp{B(t)}¥òëIOBrown$ƒßkû èPè{Wt}. ƒkƒòáöëÅ{¸Lß{X(t)}ß =X(t)¥òá{¸ºÍ (ÿù6uB(t)). d{¸ºÍ ½¬ß3[0, T]©0 = t0 < t1 < · · · < tn = T9~ Íc0, c1, · · · , cn−1, ¶ X(t) = ( c0, XJt = 0 ci , XJti < t ≤ ti+1, i = 0, 1, · · · , n − 1

在发☑ 或表示为 1951 X()=colo()+∑cl6+(t) (8.2.1) 2=0 于是，可定义其积分为 T n-1 X()dB()=∑ceBt+1）-B()】 (8.2.2) 2=0 7/50 由Brown运动的独立增量性可知，公式(8.2.2)所定义的积 分是Gauss分布的随机变量，其均值为0，方差为 GoBack FullScreen Close Quit

7/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½L´è X(t) = c0I0(t) +X n−1 i=0 ciI(ti,ti+1](t) (8.2.1) u¥ß彬Ÿ»©è Z T 0 X(t)dB(t) = X n−1 i=0 ci[B(ti+1) − B(ti)] (8.2.2) dBrown$ƒ’·O˛5åß˙™(8.2.2)§½¬» ©¥Gauss©ŸëÅC˛ßŸ˛äè0ßêè

在发☑ -ul n-1 2 1951 var(fxin)- 1-0 n-1n-1 -E GeB(t+i)-B(tB(t+1)-B(G】 1=0 m-1n-1 ∑ ccE[(B(t+1)-B(t)(B(t+1)-B(t)】小 8/50 石艺 1=0 c(t+1-t) =0 GoBack FullScreen Close Quit

8/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit V ar( Z XdB) = E "X n−1 i=0 ci(B(ti+1) − B(ti))#2 = E  X n−1 i=0 X n−1 j=0 cicj[B(ti+1) − B(ti)][B(tj+1) − B(tj)]   = X n−1 i=0 X n−1 j=0 cicjE[(B(ti+1) − B(ti))(B(tj+1) − B(tj))] = X n−1 i=0 c 2 i (ti+1 − ti)

数传在☑ 用取极限的方法可以将这一定义推广到一般的非随机函 1951 数X().但是我们要定义的是随机过程的积分，因此将简单 函数中的常数c,用随机变量：来代替，并要求ξ：是F,可测的， 这里Ft=σ{B(u),0≤u≤t}.于是，由Brown运动的鞅性 质得 E[(B(t+1）-B(t)川F]=E[B(t+1)-B(t)川F]=0 9/50 因此 E[5(B(t+1)-B(t)]=0. GoBack FullScreen Close Quit

9/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ^4Åê{å±Ú˘ò½¬Ì2òÑöëź ÍX(t).¥·ÇὬ¥ëÅLß»©ßœdÚ{¸ ºÍ•~Íci^ëÅC˛ξi5ìOßøá¶ξi¥Ftiåˇ. ˘pFt = σ{B(u), 0 ≤ u ≤ t}.u¥,dBrown$ƒ5 ü E[ξi(B(ti+1) − B(ti))|Fti ] = ξiE[B(ti+1) − B(ti)|Fti ] = 0 œd E[ξi(B(ti+1) − B(ti))] = 0.

在习 定义8.2.1设{X(t),0≤t≤T}是一个简单随机过 1951 程，即存在[0，T的分割0=tot},并且 n-1 X()=-1lo(t)+∑I6,+(t) (8.2.3) i=0 10/50 此时，Ito积分TXdB定义为 X()dB(④)=∑s(Bt+)-B6》 m-1 (8.2.4) i=0 GoBack FullScreen Close Quit

10/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 8.2.1 {X(t), 0 ≤ t ≤ T}¥òá{¸ëÅL ßß =3[0, T]©0 = t0 ti}ßøÖ X(t) = ξ−1I0(t) +X n−1 i=0 ξiI(ti,ti+1](t) (8.2.3) dûßItˆo»©R T 0 XdB½¬è Z T 0 X(t)dB(t) = X n−1 i=0 ξi(B(ti+1) − B(ti)) (8.2.4)

传有年☑ 简单过程的积分是一个随机变量，满足下述性质， 1951 (1)线性 如果X(t),Y(t)是简单过程，则 'ax0+sy0aB0-a人XoaBo+s Y(t)dB(t 这里，B是常数， (2) 11/50 Ifa.(t)dB(t)=B(bAT)-B(avO) 其中Ia,b(t)是区间[a,b]的示性函数，bAT:=min(b,T),aV 0:=max(a,0). (3)零均值性 如果E[<∞，(i=0,1,·,n-1), 则 可=0 GoBack FullScreen Close Quit

11/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit {¸Lß»©¥òáëÅC˛ß˜ve„5ü. (1) Ç5 XJX(t), Y (t)¥{¸LßßK Z T 0 (αX(t)+βY (t))dB(t) = α Z T 0 X(t)dB(t)+β Z T 0 Y (t)dB(t) ˘pα, β¥~Í. (2) Z T 0 I[a,b](t)dB(t) = B(b ∧ T) − B(a ∨ 0) Ÿ•I[a,b](t)¥´m[a, b]´5ºÍ, b∧T := min(b, T), a∨ 0 := max(a, 0). (3) "˛ä5 XJE[ξi] < ∞, (i = 0, 1, · · · , n − 1)ß K E[ Z T 0 X(t)dB(t)] = 0