运城学院应用数学系2022年1月抽象代数试题及答案(A) 一、填空题（每空3分，共30分） 1、规定整数集Z上的运算×为a×b=a+b-l(等号右边的运算是普通乘法和加法)， 则对于结合率和交换率而言，这个运算满足结合律、交换率 2、整数集Z关于运算×：a×b=a+b-ab(等号右边的运算是普通乘法和加法)是群， 则Z中的单位元是0。 3、己知群G中的元素a的阶等于6，则a的阶等于2。 4、10阶循环群有4个生成元。 5、N是群G的正规子群，在商群C以中aN的逆元为aN :G→% 6、群G到它的商群C以的自然同态映射为 a→aN 7、5元对称群S5有60个奇置换。 8、6阶群中必有1、2、3阶元。 9、环Z8中的零因子为 2,4,6 10、在Z5中多项式fx)=x2+1的根 2,3 为。 二、简答题（每小题10分，共40分） 1、设G是群，H是G的子群，a∈G,证明aHal是G的子群。 证明：对任意的s,t∈aHal,存在h,k∈H,使得s=ahal,t=akal。3分 又st=(aha(aka=aha'ak al=ahk-larl=ahka',由hkl∈H得stl∈ aHa。.6分 所以aHa是G的子群。1分 2、证明对有限交换群G中任意两个元素a、b总有abl≤abl。 证明：设a=m,bl=n,则am=e,b=e。由于G是交换群，所以 (ab)mn=amnbmn=(am)(bn)m=e 从而labl≤mn,即abl≤ab。..10分运城学院应用数学系 2022 年 1 月抽象代数试题及答案（A） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、规定整数集 Z 上的运算×为 a×b=a+b-1(等号右边的运算是普通乘法和加法)， 则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 结合律、交换率 。 2、整数集 Z 关于运算×：a×b=a+b-ab(等号右边的运算是普通乘法和加法)是群， 则 Z 中的单位元是 0 。 3、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 6，则 a 9 的阶等于 2 。 4、10 阶循环群有 4 个生成元。 5、N 是群 G 的正规子群，在商群 G N 中 aN 的逆元为 a -1N 。 6、群 G 到它的商群 G N 的自然同态映射为 G G N a aN  → → ： 。 7、5 元对称群 S5 有 60 个奇置换。 8、6 阶群中必有 1、2、3 阶元。 9、环 Z8 中的零因子为 2 4 6 ，， 。 10、在 Z5 中多项式 2 f x x ( ) 1 = + 的根 2, 3 为。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 1、设 G 是群，H 是 G 的子群，a∈G，证明 aHa-1 是 G 的子群。 证明：对任意的 s, t∈aHa-1，存在 h, k∈H，使得 s = aha-1，t = aka-1。......3 分 又 st-1 = (aha-1 )(aka-1 ) -1 = aha-1 ak-1 a -1 = ahk-1 a -1 = a(hk-1 )a-1，由 hk-1∈H 得 st-1∈ aHa-1。......6 分 所以 aHa-1 是 G 的子群。......1 分 2、证明对有限交换群 G 中任意两个元素 a、b 总有 ab a b  。 证明：设 a m b n = = , ，则 a m=e，b n=e。由于 G 是交换群，所以 (ab)mn=amnb mn=(am) n (bn ) m=e 从而 ab mn  ，即 ab a b  。……10 分